HNÉAIRES ET A COEFFICIENTS CONSTANTS

Concevons d'abord qu'il s'agisse d'intégrer l'équation différentielle

a, , a, ,. . . r7„.. , a„ désignant des coefficients constants; et faisons» pour abréger (2) F (r) = r" -f âar*— « + a^r""' + . . . + «n-.r + a„.

II est clair que, pour vérifier l'équation (1) , il suffira de prendre

fp(r) désignant une fonction arbitraire de r qui ne devienne pas infinie pour des valeurs de r propres à vérifier la formule

Effectivement , si l'on substitue la valeur précédente de y dans le premier membre de l'équation (i) , ce premier membre se trouvera réduit à

(5) i \rz\\':: =<>>

D'ailleurs, les valeurs de f (r) , tf\r) , clc. . . • , qui correspondent aux diverses racines égales ou inégales de l'équation (4) • pouvant être choisies arbitrairement » il est aisé de reconnaître que la valeur de y, fournie par l'équation (3) , renfermera un nombre n de constantes arbitraires. Donc , l'équation (3) sera l'intégrale générale d« l'équation (i) .

Considérons maintenant l'équation différentielle

On posera

Pour que les dérivées de celte dernière valeur de y » depuis la dérivée du premier ordre jusqu'à celle de Tordre n-— i » conservent la forme qu'elles prendraient si Ton remplaçait ^{r,x) par v (r) , il suffira d'admettre que Ton a , pour toutes les valeurs entières de m inférieures à n — i ,

Ajoutons que , si cette condition est remplie » on tirera de l'équation (6) , en y substiluant la yaleur de y donnée par la formule (7) ,

Toute la question se réduit donc à déterminer la fonction >|'(r»x) de manière qu'elle vérifie les équations (8) et (9). Or, comme on aura généralement [en vertu de la formule (63) de la page s3] , et en prenant m < n — • i ,

il est clair que les conditions (8) et (9) seront remplies » si l'on suppose

X, désignant une valeur particulière de oOp et v ( r ) une fonction arbitraire de r . Par suite , l'équation (7) donnera

Cette dernière formule est précisémeQt rintégr'ale générale de l'éqUation (6) Exemple» Si l'équation (6) se rédait h

on trouvera F (r) = (r — i) ' , et la formule (i4) donnera

(.6) ,. r ^jr)..- çfy-'A^)'^^

= «'[t'(i) +»?(»)]+ / (a— s )«—/(=)«''. On aura donc , en désignant par C ' C' ^^ constantes arbitraires f (i) , ^'^i ) ,

(17) J'=(Ç'+Ga')c'+ / (x — ;)e'-/(j)rfr.

Ou voit par cet exemple avec quelle faciliié le calcul des résidus s*applique à l'intégration des équations (1) et (6), brs même que l'équation (4) a des racines égales.

Nous montrerons, dans un autre article , les avantages que présentent les formules (5) et (i4) > relativement à la détermination des constantes arbitraires.