SUR UN NOUVEAU GENRE DE CALCUL

ANALOGUE AD CALCDL INnNITÉSINAL.

Oa sait que le calcul différentiel qui a tant contribué aux progrès dé l'analyse » est fondé sur la considération des coeiBcients différentiels ou fonctions dérivées. Lorsqu'on attribue à une variable indépendante x un accroissement infiniment petit f , une fonction f{x) de cette variable reçoit elle-même en général un accroissement infiniffleut petit dont le premier terme est proportionnel à f , et le coefl(icieut fini de f dans faccroissement de la fonction est ce qu*on nomme le coefficient différentiel. Ce coeiBcient' subsiste » quelque soit as , et ne peut s'évanouir constanunent que dans le cas où la fonction proposée se réduit à une quantité constante. Il n'en est pas de même d'un autre coefficient dont nous allons parler, et qui est généralement nuU excepté pour des valeurs particulières de la variable 0 • Si » après avoir cherché les valeurs de X qui rendent la fonction f{so) infinie, on ajoute à l'une de ces valeurs, désignée par sr, , la quantité infiniment petite f , puis, que l'on développe /"(cr, 4*') suivant les puissances ascendantes de la même quantité, les premiers termes du développement renfermeront des puissances négatives de i , et l'un d'eux sera le produit

de - par un coefficient fini , que nous appellerons le résidu de la fonction y (x) relatif à la valeur particulière «, de la variable x • Lea résidus de cett« espèce se présentent naturellement dans plusieurs branches de l'analyse algébrique et de l'analyse infinitésimale. Leur considération fournit des méthodes simples et d'un usage facile , qui s'appliquent à un grand nombre de questions diverses , et des formules nouvelles qui paraissent mériter Tattention des géomètres. Ainsi , par exemple , on déduit immédiatement du calcul des résidus la formule d'interpolation de Lagrange , fa décomposition des fractions rationnelles dans le cas des racines égales ou inégales, des formules géné^ raies propres à déterminer les valeurs des intégrales définies , la sommation d'une multitude de séries et particulièrement de sérieS' périodiques , l'intégaation des équations linéaires aux différences finies ou infiniment petites et à coefficients constants, avec ou sans dernier terme variable, la série de Lagrange et d'autres séries du même genre ^Is' résolution des équations algébriques ou transcendantes» etc. •••

La recherche des résidus d'une fonction f(x) s'effectue d'ordinaire avec beaucoup de facilité. En effet, soit toujours x^ Tune des valeurs de x qui rendent cette fonction intfqie, ç'Qg|t-|i-<lire Pjipe des nÔDO^ .de réqu^^qn

La* valeur du produit (X'^Xi)f{x) , correspondante à x=x, , se présentera sous une forme indéterminée. Mais en réalité » elle sera très-souvent une quantité finie. Adoptons d'abord cette hypothèse , et disons

On tirera de Féqnation (s) '

et par suite

0 désigqant un nombre inférieur à l'unité. Par conséquent le résidu de la fonction f[x) , relatif à la valeur x=a;, , sera la quantité finie

(5) f(aîx) , ou , en d'autres termes , la valeur du produit

correspondante à 1=0. îhËùs le cas que noos venons de considérer , l'équation ( 1 ) est censée n'admettre qu^une seule racine égale à se, .

On dit que l'équation (1) admet m racines égales à œ. , m désignant un nombre entier quelcQuqup , lorsque le produit {x — a5,)"/(a5) obtient, pour ar=», , une valeur finie différente de zéro. ISoit , dans cette dernière hypothèse ,

(7) ix^X.)'^f{x)=:t{x) .

f ( Xt ) s^a one quantité finie , é^ Ton apra

puis Ton ea conclara, en posant âB=x<-4"^ «

- ,-^U«0+,T:;— î 1 ^•Ti.a.3.,.(m.i)^" i.a.5...in) '

{ désignant tonjoan on nombre inférieur h l'ànité. Donc le résida de la fonction f(x) , relatif à la valeor x=x, , sera la quantité finie

OU , en d'auirea termes , ce qae devient l'expression

^ ^ i.a,5...(m.i) rff-«

loreqo'on pose, après les dilTérentiations , c =0 .

Pour abréger le discours» nous appellerons résidu intégral de la fonction /{x) la somme des résidus de cette fonction relatifs aux di?erses racines réelles ou imaginaires de l'équation (1) , et résidu tniégral pris entre deê limites données la somme des résidus correspondants à des racines dans lesquelles les parties réelles et les coeflicients de |/rr ne devront pas dépasser certaines limites. Vextractian des résidus sera TopératioQ par laquelle nous les déduirons de la fonction proposée. Nous indiquerons cette extraction à l'aide de la lettre initiale £ qui sera considérée comme une nouvelle

caractéristique, et, pour exprimer le résidu intégral de f{x) , nous placerons la lettre £ devant la fonction entourée de doubles parenthèses , ainsi qu'il suit

Dans la notation (19) , les doubles parenthèses ^ dont nous avons précédemment fait QMgepour exprimer les valeurs multiples des fonctions [voyez la page 1], serviront à rappeler la multiplicité des valeurs que l'on devra en général attribuer successivement, non plus h la fonction donnée , mais à la variable elle-même. Lorsque la fonction f{ x) se présentera sous la forme. fractionnaire.

et que nous Yoadrons iadiquer la somme des résidus relatifs aux racines de l'équation

nous écrirons («5)

appliquaiit aînti les doubles parenthèses à la seule fonction F (») * . Au contraire la notation

Y{dff

repréSisntera la somme des résidus de f{x) , relatifs aux seules racines de l'équation

De même , si l'on suppose

(18) P(»ysï=>(«).x<«),

les deok notations

«iqpirimeroMjapNiBièr*,!» Manne dM résidus CMxMpondMito aux racioM ^{x)=o , et la seconde, la somme des résidus qui correspondent aux racines de x(^)^^^ ' ensorte qu'on aqra généralement

(ao)

(( f (*) • xC'^) )) ~ ^ ((?(«) ))x(^) "^ "^ f ('') ((x(*) )) '

De même encore » si l'on suppose

tai)

f(a!)=:,ta5).xta!)

«feMM*i

* Nous «Tons ki profité, pour rendre lef DotRtionf pla8lita{4«t> de quel^ui obsvfUioBs f|« 9oo> oot été ftlte^pllr H. Ostrogradiky.

(i5) on obtiendra rëqoatioQ

dans laquelle les deux termes du second membre représenteront , le premier , la somme des résidus de fix) , relatifs aux racines de . . =Oj et le second » la somme

des résidus relatifs aux racmes de — r-r- = o • Si l'on ùii, en particulier, x (®) =x— 'Sc. , la seconde des notations (19) se trouvera réduite à

•^■■MW

et représentera le résidu partiel rektif k une seule dos racines de Téquation (i). I>e plas , comme on aura dans cette hypothèse

il est clair que le résidu correspondant à la ▼alew a;=a;, pourra ea9ore être exprimé par la notation

"« ■ . -t^rS^'

ce que Ton pouvait conclure directement des conventions adoptées. Enfin» si nous voulons indiquer la somme des résidus de f{x) , relatifs à celles des racines de Téquation (1) , dans lesquelles les parties réelles demeurent comprises entre deux limites données Xo » X , et les coefficients de \/^ entre deux autres limites /« > Y , nous emploierons la notation

Xo J^o

Ainsi, par exemple , si Téquation (1) n'a que des racines imaginaires,

QD O

(»6) représentera la somme des résidas relatifs aux racines dans lesquelles le coefficient de * V^ ^^^ positif.

Ces diverses conventions étani admises, on aura évidemment

a?, désignant une valeur particulière de x , pour laquelle la fonction f(a?) ou f ^"'-')(a;) conserve une valeur finie. On trouvera encore , si l'équation (i) n'a qu'une seule racine égale h Xi ,

et , si réquatioo (i) fournit m racines, égales à x, ,

^ ' *-' ((«-«.)) 1.1,3.. (m-i) rfT^^^^ '

B devant être réduit à zéro , lorsqu'on aura eflectué les différentiations. Si la fonction f{x) se présente sous la forme fractionnaire \ \ , et que x, soit une racine de

l'équation F(a;) = o , on aura

F(a!. + e) = ,F'(a;. + ei),

9 désignant un nombre inférieur à l'unité. Donc alors la valeur du produit «y (iK> + * ) > correspondante à «=^0 , sera

et la formule (2g) donnera

( »7) Enfin , «i Ton nomme a une quantité comprise entre les limites a?» > X » et b une quantité comprise entre les limites ^o > Y , on aura généralement

et

Pour que ces dernières formules s'étendent à toutes les hypothèses que l'on peut faire sur les valeurs des quantités a , b , Xo , X 9 jo » T^ » il suffis de conceToir que , dans le résidu intégral représenté par la notation (aS) , on réduit chaque résidu partiel à la moitié de sa valeur , toutes les fois qu'il correspond k une racine dans laquelle la partie réelle coïncide arec une des limites x^ , X , ou le coefficient de \/7! aTecTune des limites jo , Y ; et au quart de cette môme valeur » toutes les fois que les deux conditions sont remplies. Gela posé » si l'équation ( 1 ) a des racines réelles et des racines imaginaires , la notation (96) représentera évidemment la demi-somme des résidus re- ((ktifs au racines réelles , augmentée de la somme des résidus correspondants aux racines imajpnaires dans lesquelles le coefficient de i/TT est positif.

Concevons présentement que l'on remplace la fonction f{x) par la somme Je plusieurs fonctions 9{x) , x{^) 9 etc.. On établira sans difficulté les formules

(54) l (( 9 (aj)+x(^) +••))= <î^((î(a^)))+ L ((X(a5))) + etc.,

On trooTcra de même

etc..»

Soit de plus /{x^z) une fonction des deux variables indépendantes x^z ; et sup^ posons que l'équation

(57) Tcàr^**"

résolue par rapport k x , foiifnUse des racines iddépendantes de ia variable z . Si

Ton désigne par Xt Tune de ces racines » il est clair que te résidu de la fonction dérivée

dfjx.z) ^ dx

correspondant à a9=a:s , ne différera pas de la dérivée relative h z Atx résidu de la fonction. /*(«»$) • Car cas deux quantités se réduiront l'une et l'autre au coefficient du rapport

dant le développement de l'eipression

suivant las puissances ascendantes des accroissements s » «\ Cette remarque pouvant s'étendre aux diverses racines de l'équation (57) , que l'on suppose indépendantes do la ' variable 2; , on en conclura

(S,) l {{Mm.)) = iM^

SoU maintenant

(59) ^ /(«.«)= /¥{x,z)dz,

z. désignant une valeur particulière de z . On aura, par suite »

(40) Mflil=F(x,.).

puis , en intégrant les deux membres de l'équation (58) à partir de- s = 2. » on trouvera

,( »9 ) On élaUirait pareitlemepi les formules

/l ((F(«,0))rf.= ^ (f A(x,s)d.)),

les deux intégrales relatives as étant prises entre les mêmes limita. Il résulte évidemment de ces diverses fi>rmales qne Yfin peut diffireacier et ini^;Mr sons le signe C,

aussi bien que sous le signe P , Si, dans la formule (9), on remplace i par s>^a?i >. et ■ ■ '^ par '^ {x) ,

on trouvera

La fonction 4(^) > compriM dans celte dernière formule > acquerra généralement' poor x=«, , une valeur finie, savoir

De plus « on tirera de Téquation (a8), ep 7 remplaçant m par m + i , et la lettre k par b lettre z »

^^ ^ 1. a.5..ift ~ ^{( (r-jj,)--^' ))

Cela posé » on aura

^^7; (a;-af,)" "'" 1 (»-»,)■•'"'' 1. a («-»,)■■•"''***■''" i.a.3... (m- 1) «-«.

D'ailleurs la notation

représente le résidu de la fonction

relatif à z=Xi ; et, comme ce résida est évidemment nai» attendu que ia fonction (48) conserve pour x=x, une valeur finie , savoir ,

f(«.) nous pouvons conclure que l'on a généralement

- <^ (*-.)(( (*-ir.)- )) •

On peut vérifier directement l'équation (49) > en observant que le second membre de cette équation représente la valeur de Texpression

.i.s.3...(m-i) dz

correspondante à s =»< • Comme on a d'autre part le second membre de l'équation (49) pourra être réduit à

on même à

Ptr suite , l'équation (44) donnera

(5.) /(«)-<r -li:fimil.=.+(a,) .

U résulte de cette dernière que, pour déduire dç la fonction y*(as) , qui devient infinie lorsqu'on suppose x:=Xt , une autre fonction qui conserve , dans la même hypothèse, une valeur finie, il suffit de retrancher de f{x) une somme de fractions rationnelles équivalente è l'expression

ç'esl-à-dire , le résidu de la fonction

relatif à 2 = a;. .

Concevons maintenant que l'on veuille déduire de la fonction f{x) une autre foDction qiii ne devienne jamais infinie pour aucune dos valeurs particulières ca=îx, , x=:x^ , etc. u suffira évidemment de retrancher de /{x) la sopmie des résidus de ia fonction (53) correspondants aux valeurs 9=2b, , 2=:2b,... , c'est-à-dire le résidu intégral représenté par la notation

(54) iMlûl.

Donc, si Ton pose

(55) /(a,)-<î:MM«,(x).

la fonction «(x) con^enrera une Taleur £nie pour â)T=a9i « fls=fl9^ « elc«..»etpar conséquent pour tontes les valeurs finies réelles ou imaginaires de la Yariable x .

Dans le cas partiedmr oii /*( s ) Àéngne une fraction rationnelle , * ( ^ ) ne peut être qu'une fraction de même espèce , dont le dénominateur ne doit jamai» s*évanonir , et par conséquent une Ihiction dont le dénominateur est constant , ou en d'autres termes , une fonction entière de x . Cela posé , soit

i(x) et F (ce) désignant deux fonctions entières» Si le degré de la seconde surpasse le degré de la première » la fonction f{x) s'épanouira pour des valeurs infinies do a; , et Ton pourra en dire autant des deux membres de Téquation (55) » d'où Ton conclura que la fonction entière « ( x) se réduit k zéro. On aura donc » dans cette &7pothèse ,

La formule ($7) fournit le moyen de décomposer dans tous les cas possibles la fraction rationnelle f{x) en fractions simples.

Concevons > pour fixer les idées ^ que Ton veuille décomposer en fractions simples la

fraction rationnelle

(x-i)*(a5+i) On tirera de la formule (57)

D'aUletm , si Vnm dé>i^ par f uae quantité tnfiaioMiit petite , ea aura , eo vertu de» formule* {i^) et (3o) , '

(^-i)(^.i)«((i4-i)) S^x^x et

r 1 (a+i)(jp-i-g) 1 I . I

(t5) Oo troofwa iom

Il .1 i

ce <iai est exact.

Si» dans la formule (S;) ^ on remplace f{x) par -j—^ , et si Ton suppose

m étant an nombre entier qoelcon^e, on trouvera

(60 ÎM =/ f(0 '

etpirsaile

Cette dernière équation eat la formule d'mterpolatîon de Lagrange.

Si, après «Toir multiplié par « lea deux nwmbras de l'équation («7) , on attribue ilafariable s une valeur infinie , et ai l'on déaigM p«r g Ja wleur «eweapondante du produit xf{x) , on obtiendra successivement les deu:( formules

el

Si la quantité g s'évanouit , on aura simplement t«^) X ((/(*) )) = o.

Celle dernière formule subsiste toutes les fois que , dans la fraction rationnelle désigné* P>r f{x) , la différence entre le degré du dénominateur et celui du numérateur de-

vient supérieure k l'unilé. Elle coïncide aTec-une équatinn établie dans le Journal de rÉcoIe polytechniqoe [voyez la page 5oo du 18.* cahier]. Si l'on y remplace y*(x)

par :i-L-i. , elle subsistera^ dans le cas même où la différence ci-dessus mentionnée

se réduirait à Tunité. On aura donc alors

et l'on se trouvera ainsi ramené k Téquation (57). Si, dans les formules (63) et (64) » on pose

(â;-â;i) (â;-^;, ) ... («-âPn)

on en conclura que la somme

est équivalente k zéro, lorsqu'on a n<m-i , et k l'unité lorsqu'on a n = m-i ; ce que l'on savait déjk.

Les équations (57) , (63) et (64) > que nous. avons établies, en supposant la fonction flx) réduite k une fraction rationnelle, subsistent encore dans beaucoup d'autres hypothèses. C'est ce que nous ferons voir dans de nouveaux articles , dans lesquels nous exposerons successivement les principales' applicatioos du calcul des résidus.