DANS LE CALCUL DES RÉSIDUS

SoieDt X f y deax variablei réàiks* Soient 4e fim

(0 « — «+jrv/tr

une varUble ima^oaire, et /(s) une fonçUoa quftlcoQque 4e z. Ea ^V%u dei conventioiif adoptées [po^» 1 5 ] » la notation

représentera le résida de la fonction /{z) pris entre les Kmllea as = â?o , x:= X ^ j^=^j^9 j^=Y 9 c'est-k-dire la somme des résidus de f{fi) relatUa aux racines de l'équatioa

dans lesqadles la partie réelle demeure comprise entre les limites x^^X , et le cocfficieal d« f/TT entre les Iknlles y.^Y.

GonceTons maintenant que j ^[x^j^ ot x^x^y) désignant deux fonctions réelles ésa variaklea »%yt en vemlle indiquer fai somme der résidas de /*(s) correspotidants k miles 4ea racines de féquation (S) que Ton peut dédQik*e de h formulo

(^) « = t(«,J')+l/ïï>i(a3,j),

en attribuaml à la fmrtable â» dioa ftakur» comprises entre les Knrftas x^, X ^ et k Is ntiable ^ daa ▼alears eomprisea entre les limiiDa y^ , 1^ Alors notti ferons usage 4e la notalsen

à la suite de laquelle noi^s placerons eotre deux crochets l'équation (4) # que nous nommerons V équation èaraotérisliquô, parce qu*elle caractérise la relation établie entre la variable imaginaire z et les rariables réelles x^y qui ne doivent pas dépasser ks limites exprimées dans la notation (5) ou (6). Ainsi > par exemple» la notation

(7) ^'^ ^^ ((/(O))* [* = e'(cosjr + |/:rsinj.)]

indiquera la somme des résidus de f^,^") relatifs à celles des racines de Téquation (3) , que Ton déduit de la formule

(8) 3» = e'(cosj<+V/n'sinj)

en attribuant à a; des valeurs intermédiaires entre les quantités x^^X^ et à j des valeurs intermédiaires entre les quantités y^ , Y. Ajoutons que les variables réelles et la variable imaginaire pourront être représentées indi£féremment soit par les lettres ^fj* ^ » soit par d'autres lettres arbitrairement choisies. Par conséquent, on pourra employer la notation

(9) ~ <[^ ~ ((/(*))) » [« = r(co»p + l/:7"nf>)]

pour exprimer fa somme des résidus de f{z) relatifs à celles des racines de l'équation (3) que Ton déduit de la formule

(10) « = r(cosp 4" i/Hsinp) ,

en attribuant à la variable r supposée réelle des valeurs comprises entre les limites r^,n, et à la variable p supposée réelle des valeurs comprises entre les limites po»^*

i tf

Il est. bon d'observer , que,, dans les notations (7), {g), etc...., on peut échanger entre elles » coinq^è on l'a fait en passant de la notation (5) à la notation (6) , les lettres placées à droite et à gaucho du signe £, , et destinées à indiquer les variables réelles

ainsi que leurs limita.

Lorsque l'équation caractéristique se réduira simplement à^la formule (1) » nous remplacerons , comojLe nous l'avons fait josqu'à présent , la notation (5) ou (6) par la notalion (3) , dans laquelle les limites placées à gauche du signe £, indiqueront toujours

les valeurs extrêmes de la partie réelle de la variable z .

Lorsque l'équation caractéristique se réduit à la formule (10) , et que la variable r

( «07 ) demeure positive entre les limites r^,li , celte variable est précisément le module de Texpression imaginaire désignée par la lettre z. Dans ce cas particulier, auquel se rapportent des formules dignes de remarque » et qui niérite une allcntion spéciale, nous remplacerons , pour abréger , la notation (9) par la suivante

(ro) iPo) '

dans laquelle les limites placées entre parenthèses k la gauche du signe C indiqueront

toujours les valeurs extrêmes du module de la variable imaginaire z • Gomme , pour obtenir toutes les valeurs possibles de cette même variable , il suiBt de faire varier, dans la formule (i o) , le module r entre les limites r = o , r = éo , et Fangle p entre deux limites de la forme p:=pt^, pz= Pznp^'^ ^ir, il est clair que le résidu intégral de fi^) pourra être désigné par la notation

qoi se réduit , lorsqu'on prend p^'^ — ^9 k la suivante

(00) (tt)

On aura en conséquence

-00 -00 (0) (-ir)

On troarerait de b même manière

00 0 (qd) (0)

-GO -co . (o) (-ir)

00 QO (oo) (ir)

-ee o (o) (0)

( tl»8 )

^ -iè

Admettons encore que Ton yeuillè iaAiqiier la s omme des résidus de f{z) correspondants k celles des racines 3e Téquation (S) que Ton peut déduire de la formule (4), 4ew le daa ob l'on pvtnd pdur <oei y 4es ooordoiméeè reetilignes de peints situés dans le plan des x, j^ entre 4^ux courbes et deux droites représentées par les quatre équations ... -

('9) 7 = f(^)' (20) jr=;F(»), (21) X = X., (22) a5 = X

Alors à la notation (5) ou (6) nous substituerons Ta^ne ou Vautre des deut suifantes

(«4) '^£ ((/(»))). [* = T(«.j') + t/Tx(»,7)].

Ces dernières se présenteront elles-mêmes sous les formes

ou

(«6) <[:((/(»))). l* = T(*,j)-hv/:Tx(«.7)].

si Ton pose, pour abréger, l{x) =jo , F(^) = ^- P^i" conséquent» les notations (5) et (6) peuvent être étendues à des cas ^ns lesquels y^ et Y désignent des fonctions de la variable o^ » tandhqûe ^ <^ X continuent de représenter des quanthé» constantes. Si Ton supposait , au contraire , que x^ , X désignent deux fonction» f(jr),F(j^) de la variable /> et y^^tY deux quantités constantes , chacune def notations

exprimerott la somme des résidus de f{z), correspondaDts k miles des racines de i'éqaalion {S) qttô l'on peut déduire de la formule (4) $ daas le cas ûji l'on prend poer X ei y des coordonnées relatives k des points situés dans le plan des x, j, entre éeiit oMirkes él deux droites représentées par les (fiiatre éqoatioiu»

(ag) aî = f(jr), (5o) x = T{y). (5i) jr=jr., ($a> j. = K

D'après les conyentions que MOi ^sbobs dUoptur , il est fiioila da reir ce qa eiprî-

nieraient les notations (aS) ou (s4)» et (sS) ou (96) , etc » si l'on considérait les va-

riablçs réelles « » jr ou ^« p » etc..^. » comme représentant» non plus des coordonnées reciilignes , mais des mordoonées d*un autre genre. Ainsi , par exen^rie » si Ton désigne par r et p des coordonnées polaires , c'est-à-dire , le rayon vecteur mené d'un point fixe h m point «lobib, «C fafj^ fkmaé put ce ntyon reetovr avec un sm £at , on reconnaîtra sans peine que la notation

(55) ^ ((/(O)) . [^ = f(p,0+^V/nx(p,r)]

exprime la somme des résidus de f{z) Bektifii à^ceUea des racines de l'équation (3) qne l'on peut déduire de la formule

dans le cas oh l'on prend pour r et p les coordonnées polaires de points situés dans un plan fixe entre deux courbes et deux droites représentées par les quatre équations

(55) r = f(p), (56) r = F(p), (S7) p=p., (38) p = P. Ad contraire , la notation

(59) '^"^ l'^ jyf^^) )) ^ [* = f(p>.) + v^x(p,r;)i

exprimerait la somme des résidus de /(') relatifs à celles des racines de Téquation (5) que ron peut déduire de la formule (54) » en prônant pour r et p ' les coordonnées polaires de points situés dans un plan fixe entre deux cercles et deux courbes représentés par les quatre équations

( «ïo )

Lorsque Téquation (4) se réduira aimplemeni à la formule (i), nous remplacerdm , pour abréger, les notations (siS) et (37) par les suivantes

dans lesquelles nous placerons toujours, h ta gauche du signe C» 1^ limites de la partie réelle de la Tariable z.

De même, lorsque Téquation (34) se réduira simplement à la formule (10), nous remplacerons les notations (33) et (39) par les suivantes

dans lesquelles nous placerons toujours , à la gauche du signe £ , les limites du module de la variable z .

Les principes que nous venons d'exposer sont immédiatement applicables à ta transformation des résidus pris entre des limites données , dans le cas où l*o&-«père un changement de variable indépendante. Ainsi , par exemple , si Ton suppose que les variables imaginaires z et i soient liées entre elles par l'équation

et qu'à chaque valeur de z corresponde une valeur do i , on aura , en vertu des mêmes principes , et de ceux que nous avons précédemment établis [page 170 et suivOi

l'équation caractéristique , relative aux variables x,y, t, étant

Cooccvons en particulier que -^{t) représente une des valeurs de z propres à vérifier la formule

et soit en outre

(«Il)

Oa aura

et la formule (49) donoera

(54) « l ((eY(e-)))= <Î: ((MO)). h = ^ J*

oBo y» »=«o y=y« *-

puis , en posant » pour plus de commodilé »

(55) c'=r, c'*=r., c^ = iB, 7=;>. J^=Pop y=Pp on trouvera

(56) ^4!: *'((«• A«') ))='"V^''((A«) )) . [« = r(co.;» + V/:rsiB;))] ,

ou, c^ qui revient au mémej

(57) <î: ((e7(o))= ^iS, ((f(o)).

A l'aide de Téquation (67)4 on déduira sans peine de la formule (11) [page 98] de nouveaux résultats dignes de remarque. En effet , si » dans la formule dont il s'agit , on pose f{z) = e*f{t* ) , on en tirera

^ l X I X'^y^Tiy^ K. I «• + y|/"\ ) y^'

VZ-y je f[c )-e f[c Jje dy

e /^(e )-e /^(e ) U d«==«irv^-^^^^j(e-f(e-))

puis, en ayant ^ard aux équations (55) et \ày)p on trouvera

^f''\Bf{R/'')^r.f[r./'^)]/'\p

L'a formate (5g) suppose évideauneot que la fonction

f[r6 ) =f[r{coBp + \/rrrBmp)}

conserve une Valeur unique et déterminée i tant qu'elle ne devient pas infinie , au moÎQs pour toutes les valeurs réelles des variables r,p, comprises entre les Kmites r=zr., r-=iR , p^l^'f f=^P' Si l'on pose date ki mteM formule

r,=:0, 11 = 1, P = 0, /»S=ir,

on obtiendra la suirante

(61) v/^rv*''v(/*'*)rfp+r'[A')-/'(-'')]«''=«»v^ L «m».

que l'on peut encore écrire comme il suit

c fit ]dp = y/r, I f{r)4r + *n ^ Si l'on posait , au contraire P = p, -^ 2 « , on aurait

fO (*)

et la formule (Sg) donnerait

Cette dernière ; dont les deux membres ont des valeurs indépendantes de l'angle désigné par po > se réduira simplement à

si Ton prend )i* = ir. Enfin , ai l'en prend r,==o,if=i; et , si Ton admet que leptoduil tf{t) rfiSTamuisM pour tssKo, on tarera de l'équation (69)

( 9>3 ) e f[e )rfp = .,r l {{fit)))