TT ' ' (O) (.TT

Les formules (5ç)) » (6i) et (65) coïncident «foe^M éqoaUons que j'aî données idan» le Bulletio de la société philomatique de 1833 , dans le ig.* cahier du Journal de l'école royale polytechnique» et dans le mémoire sur les intégrales définies prises entre des limiles imaginaires. Il est essentiel d'observer qu'en évaluant l'expression

w ^ i ant)))

comprise dans le second membre de l'équation (5g) » on devra » m r» n'e^t pas nulle » réduire à moitié chacun des résidus relatifs aux valeurs de la variable I » qiii , étant propres è vérifier l'équation

auraient pour module l'une des quantités positives r^, R , ou correspondraiont à l'un des arcs p, , P. C'est une conrention que l'on est forcé d'admettre , si Ton veut que les formules

<M) i ((Ao))= r, ((r(0))+ z, ((r(0)).

(r.) (/».) {r.rC/».) (p) (p.)

(il) (P) W^M , ' (^) iP)

(r.)*^(p.) ('■.)*^(p.) '(roj^Cw)

s'étendent au cas même oii quelques-unes des racines de l'équation (67) correspondraient soit au module p , soit à l'arc w . De plus » pour que ces formules subsistent • dans le ^ cas où la valeur numérique de la dififérenca P — p« devient égale ou supérieure à n, il lai»t évidemment supposer que la notation (66) ropréaenle alors la samnie des résidus reiatift aux divers systèmes de valeurs de r et de p , qui rendent l'cxpreseion imaginaire

(70) l = r(cosp + 4/r7sin/>) ,

propre à vérifier l'éfiualion (67) ; d'où il suit que , dans cette somme , le résidu relatif à chaque racine devra être multiplié par le nombre m ^ s'il existe entre les

Innites po9 P» tn arcs différents correspondants h celle racine. Si un ou deux de ces arcs se réduisaient à Tune des limiles pof P , il faudrait remplacer le coefficient m ,

par m dans le premier cas , pir m — i dans le second. Ainsi , par exeinplt* ,

dans la aomme représentée par la noiaiioR

(70 l ((AO)).

un résidu relatif à une raeine négative de Téquation (67) prendrait pour coefficient Tunité, quoique cette racine répondu à-la-fois aux deux arcs p = — n , p==-fr. Ajoutons que » pOur étendre la formule (56) à toutes les hypothèses que l'on peut faire sur les valeurs des racines de Téquation (67) , il est à propos d'exclure toujours de la somme représentée ;par la notation

(7^) l {{fin ))

le résidu correspondant à une valeur nulle de t = ô* , ou , ce qui revient au même, à une valeur infinie et négative de la variable z. Ces diverses conventions étant admises, on reconnaîtra sans peine que la formule (5g) continue de subsister, 1.* lorsque la valeur numérique de la différence P — p, devient supérieure à air; 9.."* lorsque la limite r» s'évanouit.

La formule (65) fait dépendre l'évaluation de l'intégrale

t f\e jdp

de la recherche des résidus de la fonction f{t) correspondants à celles des racines de l'éqnatîon

(67) IW^'''

^ui présentent une valeur numérique ou un nK>dule inférieur à Tunité. Elle fournit, comme la formule (33) de la page io4 » les valeurs d'un grand nombre d'intégrales définies . et peut se déduire directement de la même formule * ainsi qu'on va le faire voir. ^

Si » dans la formule (33) de la page io4 » on pose

/W = TT^ ^ [t^] ■