OD O

Si l'on substitue maintenant à la variable imaginaire z un autre variable imaginaire t, qui soit liée à z par Féquation

^7^^ 7^=*' *»" (77) '-- nr^'

et aux variables réelles p « r par la suivante

(78) I = r (cosp 4- y/TT sinp) ,

r étant positif « on trouvera

, . I - r cosp - rsjq/y . ^i ^ arsin/? , i-r«

'^' i+rcosp+rsinp.V^i •^"* (i+rcosp)* + (rsinp)* '* (i+rcosp)»+(rsîn/?)* •'^■*

Or, il résulte évidemment de l'équation (7g) que les diverses valeurs de z, dans lesquelles le coefficient de |/rr reste positif ^^ correspondent aux diverses valeurs de < , qui présentent un module r inférieur à Tunlté. Par conséquent , on tirera des équations (49) et (74)

-00*^0 l\,*+*'"'\i-*V/rJj/—»v^ï(o)'^(.,r)U f )}'

et ta formule (7S) pourra être réduite à

m Ê m m^ 7. n ^ m \ MM I.

/>(:-^4^=";:;<:fm)-

Si Ton fait dans cette .derôtère

(83) 2 = tong —p,

on aura

et l'on conclura de la formule (8s)

pui. en remplaçantla fonction /'(t) par le produit ^^(0. on retrouvera I, formule (65).

L'équation (85) peut encore s'écrire comme il suit

•^0 (O) (-ir)^^ ' ^/'

II est essentiel d'obserrer qu'en évaluant l'expression

on derra réduire à moitié chacun des résidus relatifs aux valeurs de la variable t, qui auront l'unité pour module ou pour valeur numérique. Ajoutons que tes formules (81) , (85) , (86) , doivent être restreintes au cas oii le résidu partiel

(88) l ^.== ,^ l ; \ /f i±îV^\

s'évanouit. Si ce même résidu acquerrait une Taledr (lif^rant» de zére. alors, , cluant do la somme représentée par la notation (87) le résidu correspondant k valeur nulle de t, on obtiendrait, à la place des formules (81) , (8§) , (86) , de relies équations, savoir.

en eX' une nou-

Enfin ^ si la fonction f{t) pi*end une valeur finie pour 1 = 0 , tes formules (90) et (91) pourront être réduites à

f:'^^^^^¥^^'-'[<Klim{

Noas termineron* cet article, en mootraot quelques appiicatioas des furinuics (85) e» (9*)-

Faisons d'abord successivement

(94) f{t) = {it + t). (95) f(^t) = !l^,

I désignant une constante réelle ou imaginaire, et f(l) une nouvelle fonction de t qui conserve une valeur finie » pour Routes les valeurs réelles ou imaginaires de i , dont les modules sont infiirieurs à Punité. Les ibnnniev (8$) et (9») donneront

r''([,+6''"^'}dp=!i^({,),

ry'{(.+ e'''')ép =

(g^) f ^ - ri.. -- iw »«. -^••fH

i.a.3...n ds'*

Si 1*00 fait en particulier f(s) :=e^', on tirera de ta Ibrihulc (97) (98) a?"

«( par suite, «n suf^osant A« = A ,

Si , dans la formule (96) , on réduit la constante s à zéro , on aura simplement (100) / ([e J rf/> = airf(o) ,

ou, ce qui retient au même.

f'jlil

')+fG-'^')

(101) I <f/g = irf(o)

^ Concerons maintenant que l'on fasse successivement

(•o«) f(t)=^, (.o5) f{t) = Jl±.,

3 désignant toujours une constante réelle ou imaginaire, et la fonction f(i) étant assujettie à la condition que nous ayons indiquée. Oh tirera de la formule (92) , 1/ en supposant la valeur numérique ou le module de s inférieur à Funité ,

S."" en supposant la Valeur numérique ou le module de s plus grand que l'unité ,

/;im.,=Jn.,-r(^)i,

%/ -w I - se Ç . ;

-il——, rf;, = o .

Si la valeur numérique ou le module de s devenait égal à Tunité , alors » en réduisant

( «"9 ) chacune des intégrales prises entre les limites — n , ^n à sa valeur principale , on tirerait des formules (85) et (gs)

Si Ton combine , par ?oie d'addition et de soustraction ^ les formules précédentes , on en déduira immédiatement » quel que soit « , les valeurs des intégrales

/ ^ i-jcos;? i\9 y-ffU ) j

et par suite, en ayant égard è l'équation (loi) , les valeurs des intégrales

fV^)+f(/'^') Hp

i*«cosp+«*

Jo * i-aicosp-»-** '^ jj al/Ti i-a^cosp-f-s*

On trouvera de cette manière» i."" en supposant la vaieor numérique ou le module d( < ioférienr à l'unité

r"fC/^")^f(e-^^') dp !(,)

J Q a i-^a^cosp-f-f* i-#»

ï\e )-¥î[ê J conpfip r Tu-*» -, . -, , H __ L I = I f(^) — f(o; I ,

lll Ll^ L ""/'^^ =JLrf(,)^f(o)1;

il.* en supposant la valeur numérique ou le module de $ supérieur à l'unité ,