I -a*cosp+«* *•- I

Q a i-a*co8p+«* a*L**-i \s) J'

3.** en supposant la valeur numérique ou le module de s égal à l'unité » et chaque intégrale réduite à sa valeur principale

^Q a i-a*co8p+*« 4* i-**L v*/J a5 ' '

Il est bon d'observer que» pour tirer les formules (i la) et (i i5} des formules (i lo) et

(m), il sufGt de remplacer # par — • De plus, si l'on pose # = ±1 dans ia seconde des formules (i i5) » on trouvera

yCOt-£- ■ f ■ ■ r j^. ., rfp = ir[f(^) — f(o)] ,

Ajontons qne l'oa poarrait d^uire directement les équations (iio) (iii) et suivantes de la formule (86) ou (91) > en posant successirement

«'>=ô:7ôF7j- n'^-UuT)- ^<"=y4)-

si Ton posait au contraire

n désignant an nombre entier quelconque, la formule (91) déterminerait immédiatement quatre des six intégrales

(.17) r "cos-p. f^''"^"M'''"^') dp ,

' ft/*'')+f(«"''"^"*) cos-p.rfp

i-a*co8^+**

(119) I sin^f . — i '. '— dp ,

(lîo)

* ^(«'^"j+fCr'^") sin-p.rfp

l-S^COSp-ftf'

(1*1) I sin";». — i ^^ dp ,

(iji)

TT

ay/ri i-a*co9^+j*

saroir, les quatre premières » pour des valeurs paires du nombre n, et les deux premières avec les deux dernières pour des valeurs impaires du même nombre.

Si, après avoir remplacé, dans les formules (io4) • (io5) , etc. , « par d:«|/r7,

on combine ces. formules entre elles» de manière à faire disparaître les îmaf^oaires , on en déduira sans peine les valeurs des intégrales

J ^ , a \i-a»sinp+s' i+!»*sin/»+^» y '^

J Q 2y7i \l-a^SÎDp + «* 1 + 34810/9+5*/

(125) 1 — ^^ 1 1. : : ]COSpdp ,

, Jo ^ \ I-a*SlUp + 5* ^ l + 258Ul/7 + *»y ' '^ '^

(126) 1 -J^ i—1 L( . . Icosprff),

J Q *K-» \i-a«Hop+j» i+a*suip+«»/

et de plusieurs autres.

On peut déterminer Immédiatement» à l'aide des prtâclpes que nous venons d'exposer, Ic9 valeurs des six intégrales définies

CÙ$p.dp=: — r(o) ^

sin/>.rfp = — r(o) ,

Ç9tp.4p = w Uà^J^iZJJL^t^o)

( asS )

En eSel , on dédaira les formule» ( 1 37) deB équations (in), en posant ir = 0 » 61 U seconde des formules (i)8) ou (isg) des équations (116) combinées entre elles par voie d'addition ou de soustraction. Ajoutons que , pour obtenir la première des intégrales (laS) et la première des int^rales (129) , il suffira de réduire la çonsUnte s à l'unité dans les intégrales (laS) et (ia6). Au reste» on parviendra directement aux équations (137), (198) et (lag) , si, dans la formule (86 j ou (91) • on remplace la fonction f{t) par Tune des suivantes

Les diverses équations que nous venons d'établir, à l'aide des formules (85) et (9s)» peuvent se tirer , pour la plupart , du théorème de M. Parseval. Plusieurs de ces équations étaient déjà connues , et s*accordent avec celles qni ont été données par M. FruUani , dans un Mémoire publié en 1819 , par M. Guillaume Libri , dans le tome xxviii.* des Mémoires de l'Académie de Turin, enfin par M. Poisson et moi, dans le Bulletin de la Société philomathique de 1833, et dans le xix.* cahier du Journal de rËcoIe polytcckinquc. Si, pour fixer les idées, on réduit la fonction {{t) à Tune des suivantes

et, si Ton remplace, 1.^ la lettre $ par la lettre r ; s.* la variable p par 2p ,

on déduira des formules (io5)^ (106)', (107), etc , les résultats contenus dans la

page 39 du Mémoire sur les intégrales définies prbes entre des limites imaginaires.

Lorsque, dans la formule (jS) , on remplace p par sp» elle donne

Cela posé, concevons que, f{oc) et F(sd) désignant denx fonctions réelles et entières de la variable x, ci a une constante dont la valeur numérique ou le module soit inférieur à l'unité , on Substitue à la fonction f(t) , ou le rapport

OU l*uii des produits auxquels on parvient en multipliant ce même rapport par Tune des expressions

y CvC« • • •'

On tirera successivement des formules (qS) et (i3o)

f(cos,)^ . if(o) /'V^-^ ^[Î0^f)3

F(cosp) '' j F(o) %,*--(.,) ,^^F [^0+f )]))

f(cosap) . If

cos^p cosapdp = '

F (ces a p)

2 f{C0S2p) /tt \

r^ i sm«p cosa p dp

F(cosa/3) \2 I

f(cosap) F(cosa/i)

tang^pcfpm

acos

aT

7^ ^(o)^(-,) '(((..o'^[lCn)]))) '

Co) f,,((('-OF[K'.n)]))'

//N /* » f(co»a/>) lco8/>

^'*'' / F(co8ap) p' + (lcosp)« ''"

n»)ia) ,, ,.^(('(^)^[T('-7)]))r

î{cos2p) ptangp F(cosa/)) p» + (lco5p)

elc

Il est essentiel d'observer que les formules (i33) , (i&4) ^^ (^^9) peuvent ôlre étendues à des valeurs positives quelconques de la constante a .

Lorsque, dans les équations précédentes, on réduit les fonctions f(x) et F(x) Tunité, on en conclut

/ • co»' pcotap dp z= -^ ,

(i4A) / * «««pcoja^-^— p) rf;, = -^.

(i45) / » iaof 'p dp =

acos —

y* lco8;»d;»=-Jl(-^j , 047) / ' \»iupdp=^\U-\ ,

ir

(i48) / ltang;>rfp = o.

CO»— ?-r-^rfp=— — ■ O \,^ ^,. ~,

^"^^^ J p»+(lco8p)* '^ al(a)

Si Ton posait « dans Téquation (i45) taDgp = a;» et si Tod y remplaçait a par a — 1 , on retrouverait une {ordiuifi d'Euier» saroÉr, réi|uation (5o) de k page 109. On doit au même géomètre la formule (i47)» ^ laquaiie on déduit MBiê peine ka équations (i46)» 04^)* ^^ ^ M. Poisson, les formules (i43)« (i^i)» (i5>)* Ajoutons iju'on peut tirer ta formule (i44) de Téquation (i4^) # et que Tintégrale

a éTÎdemment » comme Tindique la formule (iSo), une valeur infinie. Quant à l'équation (149) f qu'il est &cite 4e Férifief iireotoment 4outot les feia que la constante a se réduit à un nombre entier » elle offre cela de remarquable » qu'on peut y faire varier arbitrairement la constante dont il s'agit, sans que le preunisr membre change de valeur.

L'intégrale (i4o) est l'une de celles d^nt j^ai appris à déterminer les vali^rs dans un Mémoire approuvé par l'Institut , sur un rapport de M. Legendre , daté du 7 novembre i8i4« Si l'on remplace f(x) pat (i-^2D*)f(a9) , cette même intégrale se transformera dans la suivante

/ -^v /*^ ffcosa;?) . ,

(«03) J^ F(co,.p) P^'^^VdVr

Les équations (iSa), (^^3) ^^ suivantes supposent» comme les formules (g5) et (i3o) » que l'expression (i3i) conserve uae videur fioie pour une valeur nulle de (; ce qui arrivera néoessairement , si , dans la fraction raiionnelle ,

le degré da nnmératflur est inférieur «« 4S|;aI an de^ré du déAomjnateor. SI le contraire avait lieu, les intégrales comprises dans les équations (1S2) , (i35) et suivantes pourraient facilement se déduire non plus de la formule (93) » mais de la formule (91). Ainsi y par exemple , si l'on prenait

f(a5)=a5'», et V[x)z^\,

m étant un nombre entier quelconque, le premier membre de la formule (i3s) se réduirait à l'int^ale

co%^ p dp o

et, pour déterminer cette intégrale « il suffirait de poser j dans la formule (91)

.....fâ-.

On troarerait ainsi

D'ailleurs , le coefficient de — , dans le développement de

est éyidemment égal à zéro , lorsque m désigne un nombre impair , et à

(m — !)•... f — + i) i,t.3...(m-i)in

dans le cas contraire. On aura donc, pour des valeurs impaires de m.

(i55) / cos'»pdp = o.

et , pour des valeurs paires de m ,

ce qui est exact.

Supposons encore

L*iniégrale (i40 deviendra

pcoipdp ,

et sa valeur, déduite de la formule (91), sera

( "9 ) Concevons maintenant quo l'on prenne saccessivement

S désignant une quantité positive, et {{t) uue fonction qui conserre une valeur finie pour toutes les Valeurs réelles ou imaginaires de t, dont les modules sont renfemaé» entre les limites o , i . On tirera de la formule (ga) , i> en supposant s<2n.

Uie"'^'')

-«(sin/y-^âcos^)

en supposant « = a ir ,

/ >^(co«p + /.7ùa;.) <»/> = f(o)4-

f(t/ro^-f(-t/r.)

-aw(»inf>-^" cosf^)

dp =