EN NOMBRES ENTIERS
S i." Ritolutùm en tifimbm entiers de$ équations homogènes entre deux variables. Soit
une foociion homogène deê deux variables x,j» L'équation indéterminée
(i) F(aî,7)=o
pourra élre facilement résolue en nombres entiers. En effet » si l'on pose y=zpx, cette équation deviendra
et il ne restera plus qu'à résoudre cette dernière par rapport k p. Si l'équation (2) a des racines réelles et rationnelles , et si l'on désigne par
une quelconque de ces racines réduite à sa plus simple expression , 00 vérifiera l'équation ( 1 ) en posant
et par taite
(4) x = kU , y = klf ,
k désignant un nombre entier choisi arbitrairement.
Exemple. Supposons que » les quantilés réelles A,B^C ayant pour valeurs numériques des nomJbres ontiera » on propose do résoudre Téf uatioa indéterminée
(5) ^x* 4- Bxy 4- Cy* = o ; cm en ttrcra
(6) A + Bp-^Cp^^o , et par suite
Donc TéquafeioB {£) ne pourra être résoliie en fumibres «nlien que dans le cas où B*r^l^AC sera un carré parlait.
§ s.* Béeolutian en nombres entière dô C équation homogène du premier degré
à trois variables.
Soit donnée k résoudre Téquation indéterminée
(i) att + ^v +ctt> = <> »
a, b , c désignant trois quantités entières, c'est-à-dire trois quantités réelles qui aient pour valeurs numériques des nombres entiers , et u, v ,w trois inconnues. Si Ton exclut» comme on peut toujours le faire» le cas ofa les trois quantilés a, b, e ont on diviseur commun, on reconnaîtra sans peine non -seulement que Ton satis&it à l'équation (i), en prenant
u^^br-^cn , (2) l v=:cm^^ar ,
m, n, r étant trois quantités entières ; mais encore » que les valeuVs prèeérfieniss de u,v,w offrent toutes les solutions possibles de la question proposée. En effet, désignons par V 9 F, fF un quelconque des systèmes de valeurs entières de u,v,w propres à vérifier Téquation (1) , en sorle qu'on ait
|5) aV + bF+efF^o.
Soit d'ailleurs jg) le plus grand oommon diweur de a et de 6« ^, parlij-
pothèn , BCpMnva £nMr a; elon «oMtqueDce J^ dom AUW dMaiUe par .0. It GD résulte immédiatement qu'on pourra trouver des quastités eotières M et N qui Mtisfauent ^ la formule
ott.ce <|pi Mrieal «a mAiWj ti I* MÎTMÉe
(4) W — aN — bU..
De plus, si l'on élimine iV enlni les ét^atîons (5) et (4) . on en conclura
ou , ce qui revient au mémo ,
(5) ^^v + cI1) = ^(cU-y):
et, comme — =- • —z^r- n'auront pas de facteurs commuât, on tirera évidemment de S) S> '^
l'équation (S)
Jf iéà^iaf utie quautHfi enttSre. Enfin , c tV 0 n'ayant poM defôctcurs commuât , on pourra trouver encore deux quantités entièreB r et > qui vérilient la formule
Celapoié, Ict équations (6) donneront
Or, il oit clair que les valeurs de V,y,ff^- détermiûéea par les 'formules (4) et {%)
eoincideront avec les valcar» de u^v^w que Ton déduirail des équations (s) co posant
Donc ces équations fournissent toutes les solutions possibles de la formule (1).
Si Ton désignait par «o» t;», w^ un système particulier des Taleinrs de u^v^w propres è yérifier l'équation (i) , en sorte qu'on eût
(10) ac(o + 6vo + 0U^o = o , on pourrait remplacer l'équation (1) parla suivante
(11) a(a~ttp) + 6(t; — t;o)4-c(w — Wo) = o,
et substituer en conséquence aux premiers membres des formules (a) les trois différences u •— tto y V — • i;o 9 te — ti/o • Cela posé » les valeurs générales de ,u^v,w se présenteraient sous la forme
(13) \ v = Vo + ^î» — ar ,
w = 1^0 + an — bifn,
§ 3.* Sur la résolution en nombres entiers des équations homogènes entre trois variables.
Soit F{x,y,z)
une fonction homogène des trois variables œ,yfZi et supposons qu'étant donnée une solution en nombres entiers de l'équation indéterminée
(1) F(aj,j^.»)=o,
on propose de résoudre généralement la même équation. Soit
la solution donnée , en sorte qu'on ait x
( .57 ) a,b,e désîgoant trois quantités entières. Si Ton satisfait à Téquation (i) ,^ar dau-^ très quantités entières x,jr,z, on pourra encore en trouTer trois u, v ,w qui toient propres à vérifier les deux équations
desquelles on tire
au -4- 6 V 4- ^'tt' = o ,
tt
cy^bt
az^cm
ax^by
Car il suffira de prendre pour u, v ,w les trois difleronces
oa» si Von veut qu'il n'existe' pas de facteur commun aux trois quantités u^v^w^
les quotients qu'on obtiendra en divisant les mêmes différences par leur plus grand
commun diviseur. Si maintenant on substitue dans l'équation ('i)-la'Taleur de z tirée de la seconde des formules (4) » on trouTera
„/ ux'\-vy\
oa , parce que la fpnction Y {x^y ,z) est supposée homogène
F[was , wy, — (uas4-«jr)] = o
De plus» comme on vérifie l'équation (i) et la seconde des formules (4) en prenant x = a,y=6, z^szû^ on aura -encore
Enfin » si Ton pose
V\wa, ivb,'— («!<» + « 6)] i==o .
ie* formule* (7) et (8) donneront
F[w,»p,--(tt4-«p)]sso,
Oo akirft far saita
(la) F[w,w;> — (tt + v/ï)] — FCw.wP, — (f«4.t;P)] = o.
Ajoutons que» si l'on fait» pour abréger,
(i5) ♦(a5.jr,«)= — ^-^^^,x(x,y.s)t= » y ^Y(g,y,^)= ^^'/^ \
et» si Ton désigne par c>V^ le degré de la fonction homogène '¥{x^j,z) , on aura, en yertu du théorème des fonctions homogènes ,
et par suite
(i jk) a^{titb, a) + *X (a» fr ,« ) •+• aV (:«/| fc-^a) asio .
Calp posé , il est clair qv'oa vérifiera la première dea ioamulas. (4). noa^saidsoMiU ca supposant
(i6) tt=6r — en, v = ofn — ar , w=^an — bm ,
mais encore en prenant
et plus généralement
f« = «(a,.fc,£î) -f. Ar — en ^ .
m, n, r étant des quantités entières quelconques. II ne ^restera plus qu'à examiùer si Ton peut disposer de m, n et r» de manière que f équation (19) fournisse des valeurs rationnelles de p autres que p = P, Dana^ tous les cas où cette condition pourra être remplie» la méthode précédente fournira de nouxcAles" sobtreas db- réqiiation (1). En effet» pour chacune des nouvelles valeurs rationnelles de p, on tirera facilement des équations
(19) jr^px. .(20). z — —^=^^—JLjx,
OU, ce qui revient au même, de la seule foffwikle
w wp ^u-vp
des systèmes de valeurs entières de x^y^z; et il est clair que cbacuu de ces systèmes sera propre à vérifier Féquation (6) , et par conséquent l'équation (i).
Nous aUons maintenant appliquer la méthode qui précède aux équations homogènes du second et du troisième degré.
% 4** *S^^ ^ riêolution en nombres entiers de téquaîwn homogène du second degré
entre trois variables.
Quoique le problème , qui va {aire l'objet de ce paragraphe, puisse être ramené à une qoestion connue, savoir, à la résolution en nombres rationnels d'une équation indéterminée du second degré entre deux variables , il nous a paru convenable de montrer comment la méthode ci-dessus exposée s'applique au problème dont il s'agit.
Soit donnée k résoadre en nombres entiers Téqualkm
(i) Ax* + By* + Cz^ + Djz + Ezx + Fxy = o.
Od aura , dans ce cas , en adoptant les solatîons âu%i s
(t) F {x,y,z) = Ax* 4- By + Cz* + Dyz 4- Ezx -+• Pxj ,
*lx,jr,z):=r%Ax-^Bz'^Fjr , (3) { TL{x,j,z) = 5tBj + Fx + Dz,
'^{^»yp^) = ^Cz'{'Dj + Ex.
Donc Jes valeurs générales de u^v^w pourront ôtre déterminées non-seulement par lasCocmulos
(4y tt = 6r-— on, t? = em — ar, w = an — 6fii,
mais encore par les suivantes
u = »Am^B:P'^Fb':^brT^cn , (5) { v=iuBb'^Fa"^De'^em''^ar t
Déplus, Téquation (i s) du $ 3 donoera
(6) {p — P)[{Bw^ — Dvtv+Cv*){p+P)+Fw*'--{Ev+Du)w+%Cuv]=o.
Or 9 OD satisfait à l'équation (6) , non-seulement en prenant pz=: P , mais encore en supposant
et cette dernière valeur de p est évidemment rationnelle, Pono , lorsque Téquatioa (i) admet une solution» elle en admet pour l'ordinaire une infinité d'autres.
Si l'on remet, dans la formule h) , au lieu de P sa valeur — . on aura
^^ ^~ a{Btp*-Dvwi-Cv^)
puis , en ayant égard aux équations
/ au + fci> + tfti; = 0 ,
I Aa* + Bb* + Ce* + 2)ic + Eea + Fab = o .
on trouvera
y a{Àw*'Euw + Cu*)
En e£fet , si l'on élimine c entre les équations (9) , on aura
(11) (Bw*-DvW'^Cv*)b*''{Evw+Duw''Fw*-2Cuv)ab = ^a^{Aw*^EuW'^Cu^)'
Or, il suffit évidemn^ept de recourir k la formule (11) pour déduire la formule (10) de l'équation (8).
La méthode, par laquelle nous sommes parvenus à l'équation (10), donnerait égalemeot la suivante
s a{Jv*-Fuv'^Bu*)
Or, il est clair qu'on réfifiera les équations (10) et (ta) en posant
Jv*'Fuv-hBu^- .
Il mi de la formule (i i) que la valeur de x , donnée par la première des équations ( 1 3) , ea entiëre , du moins quand a eï h sont premiers entre eux. On doit en dire autant (les valeurs de j et de 2? . Ajoutons que, pour obtenir toutes les solutions possibles de l'équation (1), il suffira de recourir aux formules (lo) et (1 a), ou, ce qui revient an même» à la suivante
et d'y substituer pour u»jv»w tous les. splètties de valeurs entières que peuvent fournir ou les équations (4) ou les équations (5), A chacun de ces systèmes correspondront des valeurs entières des trois expressions
Bw«-Dtnp+Ctî* Cu*'Ewu-^JiD* Jv^-Euv-hBu^
et, si Ton divise ces valeurs entières par leur plus grand commun diviseur numérique, OD parviendra immédiatement à Tune des solutions que comporte le problème dans le cas où Ton exige que les inconnues x^y, z n*aient pas de facteurs communs.
Exemple. Concevons qu'il s'agisse de résoudre Téquation (16) ii(a5«+jr* + «») — i4Xaîjr-H «+/«)= o;
OD trouvera qu'elle est vérifiée par
et par suite les valeurs générales de x^j^z, tirées des formules (12) > seront
fl5=-:-i i , '
, V , ii(i»'+tt»)+i4irtt
11 (u*-^v*) + ïàuv
les quantités u,v,w étant assujetties à vérifier l'équation
(18) U'^5Li}'J^iW7S^O 0
On aura d'ailleurs « dans le cas pré&ent,
♦(a,6,c)= — 48 , X(a,6,c)= — la ^ Y(a,6,c) = 24. Qn pourra doDc prendre
ou même , en divisant par -^ 1 9 «
et plus généralement
m« n, r étant des nombres entiers quelconques. Si l'on suppose en particulier m=!i9n=i,r = s, on troarem
et les formules (i4) donneront
X=s5q, jr2=89, 9r:;:l53* /
Or» eflfectiTement ces trois valeurs de x,^, z vérifient Téquation (i3].
Il est essentiel d'observer qu^on pourrait remplacer les équations (ig) par les formules (4) , qui , dans le cas présent j se rédiûs^nt h
(20) u = ar — 3n, t^=5m — r, tï? = n — am.
Si Ton pose , dans ces dernières , m:= \^ nzsz^^ i , r^= i , on retrouvera les valeurs déjà obtenues pour u^v^w, savoir» u = 5, v=2f tif = — 3. Ajoutons que, pour trouver toutes les solutions possibles de Téquation (16), il sufiira de recourir à la formule
'"' n(ji»+ip») + i4Bni ii(iB'+«*) + i4«'<' ii(tt'+«*)+i4«'"
et d'y substituer pour a, v , ti» tous les systèmes de valeurs entières que peuvent fournir les étjuatiwis («o).
Si la formule (i) se réduit k
ia équatioDS (iS) deriendront
el les formules (5) donaeroot
u=9Aa-{' br — en , (s4) f^a^fc + cm — or,
ni 1= a Ce -4- an-^bm, Oopent évidemmeot remplacer les équtti^s(tti).puc les suivaotes
iass^a-4-ir — «n, v:=Bb-{-em — ar ,
Si l'on tire des formules (4) les râleurs de « , » , lo pour les substituer dans les équstîoD6 (sS) , on trourera
Ix={Am'-\-Bn* + Cr')a-~-sm[Aam + BbH-^Cet) . j=(Am'' + Ba*-^Cr*yb'^k»{A»m+Bbn-^Cer) .
z ^{Am* -irBn' + Cr')o~ iiv {A.im -{■ B hn + Cer) . ^, ..j ^
Si, su contraire, oa substitue. les formules (»5) aux formule» U,) . on aura
Il e»l facile de l'assurer que bss Takort de x,jr,z, données par les fbrvoies 16 oa (97) f Mot exactes; en effet» si Ton sobstitiie ces ^deon dam k tria ut fai cooitli^ele premier membre de Téquation (99) , on tronrera^ en partant des fbrmoles '«6 .
(28) Ax*+Bj* + Ct^^{Aa''^Bb* + Ce*){Am* + Bn- + Cr\\ et en partant des formoles (27) ,
(29) Ax*+By* + Cz* = {Aa*'{'Bt* + Ce^) {Am*+Bn* + Cr^ + ABC \ Donc 9 si a, b, e Térifient la formule
(30) ^«» + iï*« + rc' = o,
^fjf^ Térifieront Féqualion (sa)*
Si a, b,e, au lien de Térifier Féquation (3o) , étaieiit choisis de manière que loo eût
(3i) Aa^'^Bb*^Ce'=K ,
K désignant un nombre entier queleompe, alors les Taleurs de x, j^z déduite» des formules (26) , satisferaient à la sniTante
(32) ^a5* + JÏ^' + r«» = i:r, la valeur de t étant
(33) I = Am* ^Bn^ + Cr* .
Par conséquent elles satifferaient à l'équation
(34) ^x* 4- Bx^ + Cz' = K ,
si l'on choMi»»ait m,n,r, de manière à vérifler la formule (56) Am*-^Bn'-^Cr* = ±:i.
( îi45 )
Donc , si Ton obtient dirersea solutions de l'éqaalion (35) , k chacane d'elles correspondra une noufelle solution de Téquation (34) •
Si l'on vent parvenir k toutes les solutions possibles de l'équation (ss) » il suffira de remplacer les équations (a3) par la seule formule
«••+C»« Cu^-^JW Jv*+Bu*
Si , dans cette dernière , cm substitue pour u, v,w leurs valeurs tirées des équations (4) , elle deviendra
(^Jm*+B.H* + Cr*)a''2m{4am±Bbn'^Ccr)
{Jm*'k'Bn^'^Cr^)b'an{Jam+Bbn-^Ccr)
(^m«+fin»+6V»)c-ar(2rtfm+^6n+Crr) *
Exemple. Concevons qu^ s'agisse de résoudre ^équation (58) «•-^j^C»* = o. '
On trouvera qu'elle est vérifiée par . -
On pourra donc prendre «==6 = i,.c:=o;. et» comme on aura d'ailleurs » dans le cas présent , ^ = i,JI=:— •!, la formule (37) se trouvera réduite k
Cr'-Cfi-m)» Cr»+.(n-m)» %r{n^m) *
Si l'on fait, pour abréger, «— «mr=# , on aura simplemèot ' -
r et s désignant deux qui^itilés entières cboisfesiarbitrairement La formole (4o) comprend toutes les solutions possibles de l'équation (38).
la valeur de t étant détermioée par r£quatioD.(44)* ^^r conséquent elles satisferaient à la formule
(53) Ax^ + By* + Cz* + DjZ'^Ezx + Fxj = K, si l*on choisissait m,n, r de n^anière à yérifier TéqualioD
(54) Am* + Bn*+Cr* + Dnr + Erm'^Fmn=i.
Donc, si l'on obtient diverses solutions de Téquation (54) # à chacune d'elles correspondra une nouvelle solution de Téquation (53).
Si Ton substituait les valeurs de u^v^w tirées des équations (4) dans la formule (i4) » alors on trouverait
a^-IH^ bs'-nt cS'fU
Cette dernière formule, dans laquelle m^ n^ r^ désignent des quantités entières choisies arbitrairement-, et s, i deux polynômes déterminés par les équations (43) , (44) , comprend toutes les solutions possibles de Téquatiop (i). On ne doit pas pêoîe excepter la solution
x = a, jr = b, z=ie,
que Ton déduit de la formule (55), en^ choisissant .m, j%, r de manière à vérifier réquation I == q , Qif
(56) m{'àAa + Fb + Ec)^n{Fa + aBb + Dc)+r{Fa + Db^^Cç) = o,
§ 5.* Sur la résolution en nomlfres entiers de Céquaiion homogène du 3.* degré
entre trois variables.
Soit donnée ^ résoudre en nombres entiers l'équation et supposons encore que Ton' connaisse une première solution
(2) x = a, jr — b, z=:c.
de laquelle on veut en déduire d'autres. Qn aura dans ce cas , en adoptant toujours les Isolations du § 3,
Donc, les valeiin gfindnle» de o , ti i », pourroBi Mve ^tonaMat , nea^^aiUrneBi par les formules
(5) a = 6r — en, t^sasrm— »«r, « = an — Am»
mail encore par les suivantes ^
(G); { t^=35^6*4-aFa6 + a^£c + D6* + ia* + Jt0<f + em— ar , De pins, si l'on fkit, pour abréger,
l'éqaation (la) da $ 5 détiendra
(7) iP'-P)[V{p*^pp+p^)+F{p^^P)'\■pr^=o,
el , si on la dîyise par p^^P, on irourera
Par conséquent on obtiendra de nouvelles solutions de Téquation (i) , si Ton peut choisir u,v,w de manière que , Téquation
(9) um-J^iV'^ow^azm
éttiQt vérifiée , rexpressioo
(10) F^^VUW^tFP+ZVP')
derionne nn carré parfiiit.
( ^5o ) Il est facile de s'assurer que , si » dans les formules (6) , on réduit m , n et r à zéro» u, V, w rempliront les conditions prescriles. C'est en effet ce qu'on prouvera
de la manière suivante.
Posons dans l'équation (i) .
(il) x = as — ta, , y:=zbê'^tp\ [ z^^es'^ty,
appp y»*» t» désignant de nouTeiles yariables. Cette équatioû» qui peut s'écrire sous la forme
(12) F{x»jr,z) = o ,
deviendra
*'F(a,6,c)— »'«[a.«(a,6,c)+px(a,fc,tf) + 7S'(a,6,c)]
Donc , si Ton prend
(i4) { v = iBb* + %Fab + 2Cbc + Dc^ + Ja^+Kca = x{a,b,c) ,
on aura simplement
I»'F(o,6,c). — »'l[au 4- pv + '/«*'] — t'F(«,p,7)4.»r[a*(a,p,y)+6X(«,p,Y)c1'(a,p,v)] = 0.
On a d'ailleurs , par hypothèse ,
Cela posé, si l'on assujettit «» ^, 7 & la ceadition
(17) Ua + ^'P + "'7 = ^ >
ii est clair qu'on TdriGera la formule (i 5) ea prenant
( < = a*(«,P,7)4-6x(a,p,7) + cY(a,p,7)'.
( «Si ) D'autre part on tirera des formules (9} , X**) 9^ (i?)
(19) ux^vy-^tvz'^io^ ;
Donc, les valeurs de u, v^ w données par les équations (i4) vérifieront les formaies (4) du § 3» [^> J» 2 désignant des quantités assujetties ,. comme , a, b, c, à l'équation (1)]. Donc l'équation (8) admettra la racine rationnelle
2 bi - 1^
Dans le cas particulier où la formule (i) se réduit à
• • • on trouve
(il) u = 'SAa\ v = 356', w = ZCc^;
par suite l'équation (17) d^yieot ,
et l'équation (19) se réduit à
(23) Aa*9 + Bb*y + Cc^z = o
Dans la même hypothèse, les équations (11) et (ss), combinées arec la formule
conduisent à l'équation
et, en joignant cette dernière à la formule (20) » on en conclut
a{Bh^-Cc^)'~ b{C^c^-Aa^) ' c{j4i}r^Bb^}
En conséquence on peut supposer
[ ^-=it(«&« — Ce*), l « = o(^«> — 56»).
Bxeinple. On Térilie Tèquation
(»8) «» + 5jr» 4^3 = 0,
en prenant
Cela posé, on tirera des formules (37) une nouvelle solution, taroir
De cette seconde solution on en déduirait fiicilement une ^troisième , el ainii de suiter
Revenons maintenant au cas général où les quantités entières D,B,F,G,il,l,Kt renfermées dans le premier membre de Téquation ( 1) , cemermoft des ^lUenvâifllnDtai de zéro. Alors cette équation sera vérifiée par les valeurs de x,y,* tirées ou des formules (11), ou de la seule ftrmtile
X jr
aê'tx bê-^tp cs'ty *
pourvu que , les quantités $ , i étant déterminées par les équations (18), « , ^ , 7 satisfassent è l'équation
(17) «a-t-vP-j-tryrsïO.
Or, on vérifie cette dernière, en prenant ^
(5o) « = 0, P^sti', 7 = — v.
On pourra donc supposer
i = a«(ortc'»*^t») + frx(ù,-tty,-^.v)H^0'r(o,flEi,--'iy); et par suite la formule (29) donnera
«F(o,ip,-«)
^F(o,i»,-i»)-w[a*(o,tP,-r) + ^x(o,w,-t)+cY(o,iP,-v)]
cF(o,ir,-«)+«[a*(o,iP,-r) + ^x(o,n7, -v)+tfY(o,ir, -a)] rérifiera encore Féquation (17) , en prenant
0L = v, p = — a, 7 = 0; on tirera de la formule (99) , dans ta première hypothèse ,
aF(-w,o,ii)+w[a*(-w,o,tt) + ^X(-iir,o,a) + tfY(-ip,o,a)}
^F(-i9,09a) cF(-ir,o,tt)-a[fl*(-tr^o,tt)+>X(-tf^o,aJ+€ry(-jiir^o,î«)] '^
Uni la seconde hypothèsi).
AF(r,-«,o)+a[fl*(»,-jc^o)+Ax(i>,-tt,o) + cY(^p,-a,o)}
rF(i?,-tf,o)
mte que les formules (35) , (36) , et toutes celles que peuvent (bomir içs di^ ones des Taleurs de a» p, 7 propres à yérifier Téquation (17) » coïncident arec la lule (38) 9 et déterminent les mêmes systèmes de valeurs de ^tj^ ^» toutes les qu'elles ne reproduisent pas la solution connue 0=ja(»^ = 6, c = 0. C'est ce l'on démontrera sans peine « ii Faide des considérations suiTantes.
i Ton désigne par a le plus grand'commiui difiswr des tcois quantités ci , v » «»^
(sSs)
ExetnpU. t)n ▼(Srifie T^guation
(a8) œ' + Sj» — 4«» = o,
en prenant
Cela posé, on tirera des formules (27) une nouvelle solution, savoir
0 = 111, jf = — 59, t; = 44«
De cette seconde solution on en déduirait fiicilement une ^troisième , el ainsi de suiter
Revenons maintenant au cas générai où les quantités entières D,B,P,G,H,1,K, renfermées dans le premier membre de Téquadon (i), censemM'des viil6a«'3i0hNml06 de zéro. Alors cette équation sera vérifiée par les valeurs de x,y,9 tirées ou des formules (ii)> ou de la seule formiile
aê'tx bê'tp cê^ty *
pourvu que, les quantités $, t étant déterminées par les équations (i8), ^fPtt satisfasaant è Téquation
(17) i««4-t;P-+-fr7 = o.
Or, on vérifie cette dernière, en {tenant
(5o) « = 0, .p-=ur, 7=:sri.v.
On pourra donc supposer
,= F(o,.i,,-,,)=:îîliîi:î^i^^ (3i) j . 5
et par suite la formule (99) donnera
' ' I *F(o,iP,-v)-w[a*(o,tp/-r) + ^x(o,ip,-c)+cY(o,i»,-v)]
cF(o,i»,-»)+»[a*(o,w,-i>) + ^x(o,w, -v)+tfY(o,ir, -a)] Oo Térifiera encore réqaatfon (17) , en prenant
(55) ass — W, P = 0^ 7=«r
pois on tirera de la formule (29) j dans !a première hypothèse ,
flF(-w,o,a)+w[a«(-w,o,a) + ^X(-iir,o,tt) + tfY(-ttr,o,a)ï
^F(-«909fi)
tfF ( - IF, 0 , i«) - tflail'W^p^ ttJ.+.*A( -i»j û,itj rf->y ( -JBî, o, V)]
el, dans la seconde hypothèsq.
aF(t,-i«,o)-i7[««(p,-a, o)+^X{t^-i«,o)+tfY(«,;-.«„o)j ^ ' \ ^F(t,-i«^o)+«[a*(»,-jc,»o)+^X(c,-«>Oi) + tfYft>,-i«,o)}
cF(.f>,-a,o.)
J'ajoate qne les formules - (35) , (36), et tontes .celtes fjqe peoTmt feviiir l^a 41^^ systèmes des valeurs de a> p^ 7 propres à vérifier Téquation (17) , coïncident avec la fonnule (3a) » et déterminent les mêmes systèmes de valeurs de or, j, «, toutes les fois qu'elles ne reproduisent pas la solution MijDDoe 0=^^, ^ = 6» a=:=0. C'est ce que Ton démontrera .sans peine, h l'aide des considérations suivantes*
Si Ton désigne par a le plus grandiM»ni«n diviseor des t«ois quantités u,v,uf.
les Taleurs générales de >* p# 7 propres àyérifier Téquation (17); ou, ce qui revient aH mêmej la formule
seront [voyez le ».• paragraphe]
m, n, r désignant trois nombres entiers quelconques. On aura par suite
^ by^cp ca^af fl^-^a am-^hn-^cr
et l'on en conclura
(4o) 9 = — 6 + — (am + 6n + cr) , 7 = — 0 — — (am4- 6n + c^)«
^ ' a ûA a flA '
Gela posé 9 les valeurs de x,y» 9 déterminées par les formules (u) deviendront
I lI ^ ^\ ' am-^bn+pr
(a\ , t am + bn+
cr
Si l'on fait y pour abréger «
on aura simplement
(43) x=:aS, y=bS^wT, z=ieS + vT.
Oh prouverait de même que la formule (29) peut être réduite à
(44) JL = —1 =-
aS bS-'wT cS-^vT
Or , comme les valeurs de Xy y^ z tirées des formules (45) ou (44) doivent satisfaire à l'équation (1) ou (is)^ on aura nécessairement
( «55 ) (45) F{aS, bS — wT, eS + vT) = o.
D'atlleun , si l'on déreloppe lo premier membre de la formule (45) sutraot les puissances ascendantes de T , on en conclura
( 5»F(a,6,c)4-5*r[wx(«,6,o)— »'r(«,6,c)]
( +5r»[a*(o,w,-.«)4-6x(o,t»,— v) + cY(o,w,— v)]— T'/'Co.w,— t))=o;
Ci , pnisqu'en vertu des éqaaiions ^
les coefficients de 5^ et de S*T s'évanouissent d*eux-méiàes dans la formule (4G) , on en tirera
OU
' F(o,tD,-p) fl*(o,w,-r)+6x(o,w,-tj)+cT(o,i»,-r)
L'équation (4?) réduit la formule (44) ^
et reproduit la solution connue x = a, jr=zb, z==zc, avec celles que Ton en tire brsqu^on fait croître x,y,z dans le même rapport. Quant à l'ëqualion (48) > elle réduit évidemment la formule (44) ^ l'équation (Sa).
On pourrait démontrer directement la coïncidence des formules (Sa) , (35) et (56). On a en eflet
a'F( — w,a,u) =F( — aw,o,au) =F( — aw, — bw-^-bw, — cw — 6v) ;
pais, on en conclut, en développant la fonction
F( — aw, '^' bw -^^ bw, '^ ew '-^ bv)
de la mAme manière qu'on a développé le premier membre de la formule (45) ,
a'F^— tt^,o,a) = 6^F(o,w, — v) (5o)
— b^w[a^{o,w,'^v)'^bx{o,w,'^v)'^c^{o,w, — !>)]•
Oa établirait avec la méiii» kdt\é ^ ooB-stfDkmeiH VjsfkÊ&m
mais encore quatre auEref équtftions de même es^èi^ comprises dans la formule
c^F(-ir»o,a)-^>F(r,-i£,o) a^F(g,-tf,o)-g^F(o,ic,-t) ^^F(o,tp,-y)-g^F(-t,o,a)
— -t[«*(o,w, — v) +*X(o>w,— i;) + flY(o,i». — v)]
= ■T7[«*(— w,o,o) + 6x(—»,o, a) +cT(— •,©,«)]
Or , il résulte évidemment de cette dernière que les équations (Sa) ^ (35) , (36) coïncident entre elles , et que chacune d'elles peut ttnd tfMiplacée par la auitanle
' ' F(o,w,-tj F(-.a'y09tt) F(»,-«,o)
Donc» si les quantités a» A» 0 vérifient l'équation homogène et do troisième degré»
alors, eb pt^etaabt
on aura encore (54) F
F(o,w,-t) ï(-w,o,ii) F(©,-ii,o) ) — ^^ ^, — , j = o.
fl. ' ^«
Si Ton supposait Z) = o, ^ = 0, f=o, C=:o, i5r = o, / = o, c'est-i-dire ca d'aUtk*ès teiines» si Téquatiôn proposée était
(55) ^^' + if j^^ + ^»^ + K^yt^ 0 ,
lon trouverait
( »57 ) 56, v = 7tBb* + Kca, n — dCc* -\-Kab .
F{o.u), — v) = ltw^ — Cv^ = ai{v;ABC + K^){Bb^ — C'c^) . (5-) [ ¥{ — w.o,u) = Cu^—Aw^ = b^{iTABC-\-K'){Cc^ — Âa^).
et par suite la formule (53) donnerait
comme dans le cas particulier où Ton supposait K^=^o* Exemple. On Térifie l'équation
(Dg) a?» + aj' + 5i^ = 6xj5 ,
en prenant
et, en partant de cette première solution > on tire de la formule (58)
On peut donc prendra pour seconde' solution
On a effectivement
En partant de la seconde solution , on trou?era
On pourra donc prendre pour troisième solution
On a effectivement
En partant de la troisième solution, on en trouvera facilement une quatrième, savoir»
et ainsi de suite.
( 258 ) Euler a remarqué que réquation
(60) x^+j^={a^ + b^)z^, k laquelle on satisfait en prenant
se trouve également vérifiée quand on suppose
(61) aj = a(rt'4-a6^), j = 6(6' + aa') , z = a^ — b^.
Pour tirer ces valeurs de x,jr» z, de la formule (58) , il suffit de réduire l'équation (55) à Téquatioa (60) , en posant
A=i, B=\. C = — (a^ + é'), K = o. Alors en effet la formule (58) devient
fl(a5+a^5) ~~ -A(6' + atf^) a'-A' '
et r,on satisfait à cette dernière pour les valeurs dont il s'agit.
Lorsqu'on suivant la méthode ci-dessus exposée , on a déduit d'une solution conoue
de l'équation (1) d'autres solutions différentes de la première, on peut en découvrir
de nouvelles , à l'aide des considérations que nous allons présenter.
Soient
x = a, y^rzb, z-^c;
et
deux solutions distinctes de l'équation (1) ou (la*) Pour trouver une troisième solution, il suffira de fixer les valeurs de Xpjr,z par le moyen de la formule (39) , et d'assujettir les quantités s, t h vérifier la formule (i5) » que les deux équations
F(rt,6,«?)=0 , P(a,p,y) — o
réduisent simplement h
l [a*(a,6,c)-f px(a,6,c)4.7M'(a,A,c)]j (63) êt\ }=o
Or on satisfait à cette dernière > 1.^ en prenant
f = o, ou < = o^
