en supposant

'^^' «*(«,p,7)+6xC«,p,7)+f1'C«,p,7) ~ «♦('",*,0+PX(''.*.0+7'»'f»,*,c) '

Les dfiux premièreB luppoaitioDi reproduisent le* lolutions coanuet. Mais la dernière fournit des solutions nouvellea comprises dans la formule

«[»♦(«, p,7)+tX{,,p,,)+rT(«,p,7)]-«[«»Cfl,6,0+PX(<.,6,r) + 74'(«,6,r)] **^' ^ ^ 6[-*(",P.7)+*X(«,p,7)+cT{s.,p,7)].p[a*(fl,ft,r)+px(fl,6,0 + 7"^(''.*.0]

^ c[a*(«,p,7} + *X(«.?.ï) + ef{«,P»r)-7[«*(e.*,0 + PX{8,*,c)+7'»'(''.*.')]

Dans le cas particulier où les quantités D,E,F,G,H,I s'évanouissent , la formule (65) se réduit è

5B6p(ap-«*) + 5Cf7(a7-Bc)+K(a'p7-«'6c)

3Cc7C67-pO+5.<<i«(t«-M + JS^(*'7"-P'"')

3^ac,(c«-7a) + 5*Ap(<:p-7É) + ACc'«p-7'fl*) *

Si l'on applique cette dernière à la résolution de l'éqaatioD (âg) , en partant de deux »Iutions déji indiquées, savoir

ai^O=l, J'=:fc=l. t:=e:=l,

et

OQ tronrera

)43 ii3 71 '

Par conséquent on résoudra encore l'équation (^9) en prenant

a = ]43, j'=ii5, J! = 7i.

Oa a effectiTement

i4S' + s. ii5»+ 3. 71' = 6883754 = 6.71.113. 145.

Il importe de remarquer que , si la solution

coïncidait avec la première de celles que l'on déduit par l'aulre méthode de la solulioiï primttiye

la formule (6&) reproduirait cette même Mvlution primitive j et non point une solution nouvelle.

En terminant ce paragraphe « nout ferons observer f{vte, -si 4es quantités a, b, c cessaient de vérifier l'équation (16] , alors, en supposant toujours les quantités u^v^w déterminées par les formules Ci4)> ^^ les quantités 03,j,z par les formules (11)» (18) et {38}, on trouverait

(67) ¥{x,j,z):=s^F[a,b.c)r ou , en d'autres termes ,

(68) ¥{œ,y,z) = ¥{-ii,b,c).[¥{a,^n)r.

et par conséquent

(69) F(aî,7,^)=F(a,6,c) JF^— ^— ,— ^-^, j—

CeU posé , il est clair que , si Ton parvient à découvrir divers systèmes de valeurs de m, n, r propres à vérifier l'équation du troisième degré

-. I vr-wn wm^ur un-vm\

chacun de ces systèmes fournira une solution correspondante de l'équation

Dans un autre article nous montrerons le parti qu'on peut tirer des formules semblables à la formule (29) , pour résoudre en nombres entiers des équations homogènes entre plusieurs variables x,y, z,,.. quel que soit le nombre de ces mêmes variables.

APPLICATION DU CALCUL DES RÉSIDUS

A LTSTÉCnATION DE QtELQliES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES ET A COEFFICIENTS VARIABLES.

Proposons-noai d'abord d'inUgrer l'ëquBlion différentielLa

d'y «■ d'-'j 8, d'-*y tt„, dy o. ■

^ ' dx'^ Ax^B dx'-''^ {Ax+BY dx'->^'" ^ {Aœ+B)—' rf*"^ U^-f-B)"-'" '

dans laijuetlt) A , B, a, , a, ,... an—, > a, dt^igaent des quantités constantes; el fuiions, pour abréger,

(*) F{r) = A-r(r-i)...{r-n+i)+a,A—'r(r-i)...{r-n+i)+ +a,.Wr+«..

Il est clair que , pour talisrairc à l'équation (i) , il suffira de prendre