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f (r) désignant une foncUon arbitraire de r qui ne devienne pas iuGnie pour de» valeurs de r propres h vériHcr la formule ^
Effectivement , si l'on substitue la valeur précédente de y dans le premier membre de l'équation (i) , ce premier membre se trouvera réduit à
*'' ^ cmôi) -"■
D'ailleurs , les valeurs de f (r) , •f'(r) , etc. .... qui correspondent aux diverses ra cines égales ou inhales de l'équation (4) > pouvant être choisies arbitraircnicot , il est aisé de reconnaître que ta valeur de y, fournie par l'éqnalion (5) , rcnfermtTa un
nombre n de constantes arbitraires. Donc» l'équation (3) sera l'intégrale générale de l'équation (i) .
Considérons maintenant l'équation différentielle On posera
(7) y-o pr(75^5 .
Pour que les dérivées de cette dernière valeur de y , depuis la dérivée du premier ordre jusqu'à celle de Tordre n — i , conservent la forme qu'elles prendraient si l'on remplaçait ^[r,x) par 9 (r) , il suffira d'admettre que Ton a , pour toutes les valeurs entières de m inférieures à n — - i ,
(8) l iAx + BY-"' J±±l (/,(;) )3 '■ =0.
Ajoutons que , si cette condition est remplie , on tirera de l'équation (6) » en j substituant la valeur de j donnée par la formule (7) ,
Toute la question se réduit donc à déterminer la fonction ^{r,x) de manière qu'elle vérifle les équation* (8) et (9). Or, comme on aura géoéraiement [en vertu de la formule (63) de la page a5] , et en prenant m <^n — 1 ,
r r(r-i)...(r..w + i) (•*») ^ PIÔl) =°'
il est clair que les conditions (8 ) et (9) seront remplies , si Ton suppose
dx
ou , ce qui revient au même
x^ désignant une valeur particulière de x^ et ^ ( r ) une fonction arbitraire de r . Par suite , réquafion (7) donnera
''^^ ^-^ ((F(r))) +^«^ ômT)
Cette dernière formule est précisément l'intégrale générale de l'équation (1). Exemple. Si Téquation (6) se réduit à
^ rfas' «+i -rfa; ^ («+î)* "' ^ '
on trourera
F(r)=r(r — 1) — r + i = (r — I)', et la formule (i4) d6nnera
= (« + .)U'(.) + ?(.)i(a! + .)+ I I Trr./W''* •
Donc, en désignant par O , q' les constantes arbitraires ?(i) » r'(i) » on aura
('7) :r:=(«+') e'+Gï(* + 0+ / 1 TTr)'/(«)<^* •
Il est bon d'observer que, pour transformer les équations (1) et (6) en équations différeolielles linéaires à coefficients constants , il suffit d'effectuer un changement de variable indépendante , et de poser
(18) Ax + B = e'.
Si Ton transforme ainsi Téquation (i5) , en prenant
cette équatîoa deviendra
et son intégrale gt^nérale, donnée par la formule (i4) de la page 204 «sera
U désignant une valeur particulière de t, et j une variable auxiliaire. Si maintenant on a égard à la formule (19)» et si l'on substitue h la variable b une autre variable z déterminée en fonction de * par Téquaiion
la valeur précédente de y se réduira évidemment à celle que présente la formule (1 7).
