EXPOSITION

Le théorème dont !I s'agit coosiste en ce qoe tout nombre entier peut être formé par raddîtiou de trois triangulaires , de quatre quarrés, de cinq pentagones , de six hexagones , et ainsi de suite. Les deux premières parties de ce théorème» savoir, que tout nombre entier est la somme de trois triangulaires et de quatre quarrés , sont les seules qui aient été démontrées jusqu'à présent » ainsi qu'on peut le voir dans la Théorie des nombres de M. Legendre , et dans TouTrage de M. Gausa , qui a pour titre : Disquisittones arithmetiae. J'établis, dans ce Mémoire, la démonstration de toutes les autres, et je fais voir, en outre , que la décomposition d'un nombre entier en cinq pentagones , six hexagones , sept heptagones , etc. , peut toujours être effectuée de manière que les divers nombres polygones en question, à l'exception de quatre, soient égaux à zéro, ou à l'unité. On peut donc énoncer en général le théorème suivant.

Tout nombre entier est égal à la sœnme de quatre pentagones , ou à une semblable somme augmentée d^une unité; à la somme de quatre hexagones , ou^à une semblable somme augmentée d^une ou de deux unités , à la somme de quatre heptagones , ou à une êcmrblable $omme augmentée éHune , de deux ou de trois unités ; et ainsi de suite.

La démonstration de ce théorème est fondée sur la solution du problême suivant.

Décomposer^ un nombre entier donné en quatre quarrés dont Us racines fassent une somme donnée.

Je réduis ce dernier problème h la décomposition d'un nombre entier donné en trois quarrés, en faisant voir que, si un nombre entier est décomposable en quatre quarrés

dont les racines fassent une somme donnée, le quatlniple <le ce même nombre est décomposable en quatre quarrés dont l'un a pour racine la somme dont il s'agit. Il est aisé d'en conclure que le problême proposé ne peut être résolu que dans le cas où le quarré de la somme est inférieur au quadruple de Tentier que l'on considère , et où la diiTérence de ces deux nombres est décomposable en trois quarrés; ce qui a Heu exclusivement, lorsque cette différence , divisée par la plus haute puissance de 4 <{ui s'y trou?e contenue, n'est pas un nombre impair dont la division par 8 donne 7 pour rester Si anx deux conditions précédentes on ajoute celle que le nombre entier et la sonmie donnée soient de même espèce, c'est-à-dire tous deux pairs, ou tous deux impairs , on aura trois conditions qui devront être remplies , pour qu'on puisse résoudre le problême dont il s'agit. Mais on ne doit pas en conclure que la solution soit possible toutes les fois qu'on pourra satisfaire à ces mêmes conditions. Pour qu^on soit assuré d'obtenir Mne solution , il faut en outre « et il suffit, que la somme donnée soit supérieure, ou égale, ou inférieure au plus d'une unilé à une certaine limite dont le quarré augmenté de s équivaut au triple du nombre donné.

En appliquant ces principes aux nombres impairs , ou impairement pairs , on reconnaît facilement que tout nombre entier impair , ou divisible une fois seulement par s , peut être décomposé en quatre quarrés, dont les racines fassent une somme donnée, toutes les fois que cette somme est un nombre de même espèce comprrs entre deux limites dont les quarrés sont respectivement le triple et le quadruple du nombre donné.

On démontre avec ta même facilité que tout nombre entier, quel .qu'il soit , peut être décomposé en quatre quarrés , de manière que la somme des racines soit comprise entre les deux limites qu'on vient d'énoncer. On doit seulement excepter, parmi les nombres impairs, les suivants

1, 5, 9, ir, 17, 19, 29, 41;

et parmi les nombres pairs tous ceux qui , divisés par une puissance impaire de 9 , donnent pour quotient un des nombres premiers

A l'aide de ces propositions et de quelques autres semblables, on parvient sans peine , non-seulement à prouver que tout nombre entier est décomposable en cinq pentagones, six hexagones, etc....; mais encore à eflectuer cel:te décomposition de telle sorte que les nombres composants- soient tous, à l'exception de quatre^ égaux à zéro ou à l'unité.