ANALYSE

SI Ton désigne par m et < deux Dombres entiers quelconques , le terme général des nombres polygones de Tordre m -|- 2 sera » comme l'on sait ,

Si dans cette formule on fait successitement »n= 2 , m r^ 3, etc. » on obtiendra ks termes généraux des nombres triangulafres , quarrés, pentagones, hexagones, etc.. qui seront respectivement

Déplus on doit remarquer que lès deux plus petites valeurs de la formule (i) correspondantes à 1 = 0,^ = 1, sent , pour toutes les valeurs possibles de m , o et 1 ; eu sorte que zéro et i*uuité font partie de chaque suite de nombres polygones. Gela posé, je vais démontrer, relativement à ces mêmes nombres le théorème général de Fermât. Comme la chose est déjà faite pour les nombres triangulaires et les quarrés , il suffira de prouver le théorème à l'égard des autres nombres polygones. On y parvient à l'aide de quelques propositions subsidlail>es que je vais commencer par établir.

THioABME 1.'' Soit a un nombre entier quelconque ^ et 4* '^ p'<^ haute puissance de 4 qui puisse diviser a: pour que C on puisse résoudre en nombres entie7*s Xyjr,z, C équation

Usera nécessaire, et il suffira que la quotient — ne soit pas de Ui forme 8 n + 7-

Démonstration, On sait en effet que Téquation (1) peut être résolue toutes les fois que a est de Tune des formes 4^ + ^* 4^+ 3» 8n + 3; et qu'elle ne peut i'étre, lorsque a est de la forme 8n-}- 7* Do plus^ si a est divisible par 4 » x^j^z seront nécessairement pairs; et si l'on fait en conséquence x-=^*ix* , jz=i%j\ z-='xz\ l'équation (1) deviendra

Si a est divisible deux fois par 4> <xi\y\z\ dans l'équation précédente, seront nécessairement pairs; et par suite œ ^y^z seront divisibles deux fois par 2. En général.

si u est divisible par 4"^! ^fj»^ devront être divisibles par 2*; et si l'on fait en conséquence

l'équation (1) deviendra

Si donc — n'est plus divisible par 4 1 o^ pourra toujours résoudre l'équation (2) ,

et par suite l'équation (i); à moins toutefois que — ne soit de la forme Sn-f-;;

auquel cas les deux équations dont il s'agit deviendraient insolubles.

Corollaire i.^ On déduit facilement du théorème précédent une condition à laquelle doivent satisfaire deux nombres donnés k et s , pour que Ton puisse décomposer le premier de ces deux nombres , A: , en quatre quarrés dont les racine» fassent une somme égale à s. En effet , supposons que Ton parvienne à résoudl*e simultanétnent en nombres entiers les deux équations

On aura évidemment

et par suite

(4) 4*: — j»==(t4-tt — t> + ti;)'4-(^ — tt+i; — w)*+ {t — u — v + wy.

On pourra donc alors décomposer l^k^-^s* en trois quarrés, et en conséquence l^k'-^s^ ne pourra être de la forme

De plus , les deux nombres k et s devant toujours être de même espèce , c'est-àdire tous deux pairs, ou tous deux impairs; si k est un nombre pair, ^k — 3* sera divisible par 4 » ^^ l'équation (4) ne pourra subsister , à moins que les trois nombres t-^-u — v — w , t — u^v — «y, t — u — v ^w ne soient divisible* par 2. Dans la même hypothèse, cette équation deviendra

*(i..)-=(±tïiii^)-+(i:^)*+(i:^^)';

el par suite

étant décomposable en trois qaarrés , ne poarra être de la forme

En résumant ce qu*on vient de dire , on obtiendra tes propositions suivantes :

Si k eH un nombre entier décompoiable en quatre quarrés dont les racines fassent une somme égale à s, i\k pourra être décomposé en quatre quarrés dont Cun soit j\

Si k est un nombre pair décomposable en quatre quarrés dont Us racines fassent une sommée égale à s , il sera également décomposable' en quatre quarrés dont tun

soit (-^jj'

Dans tous les cas possibles , la valeur de i^k — j* sera positive, et ne pourra être dt la forme 4*(8» + 7).

Ainsi, pour que le nombre k puisse être décomposé en qnaire quarrés dont les racines fassent une sonune égale ix s, il est nécessaire que s soit un nombre de mcme espace que k , inférieur à ^4 k, et ne soit pas de la forme

Lorsque s satisfait aux trois conditions précédentes, on ne doit pas toujours en conclure que la décomposition soit' possible. Elle le sera en effets si la valeur de s satisfait encore à une quatrième condition» celle de surpasser \/zT , ou même ^[ik-r- a) — 1 » comme ou le verra ci-après [théorèmes 5.* et 4*'].

2/ TflioaâiiE. Si les trois nombres x^y^z satisfont à C équation (,) a = x-+y-+z\

la somme de ces trois nombres sera nécessairement comprise entre les limites Démonstration, En effet, on a évidemment

* (aî + r + î)* < (a'+7 + *)* + (a'— J^' + (33 — s)' + (/ — =)' = 5«;

d'od l'on conclut en extrayant les racines quarrées

Corollaire 1.*' Il est bÔQ d'observer que, dans le théorème précédent , les signes < et > n'excluent pas Tégallté. En effet , os 4*7 4- s devient égal h \/â^ lorsqu'on suppose j = o , 5 = o : et à v^3 a , lorsque a; = jr = « . En général , si la somme de^ n quarrés différents est égale à a » la somme des racines sera comprise entre |/â~ et ^/iTa . Cette dernière somme atteindra la limite inférieure ^â, si toutes les racines sont nulles , à l'exception d'upe seule; et la limite supérieure ^a , si toutes les racines sont égales entre elles. C'est ce qu'il est facile de démontrer , soit par la méthode qu'on vient d'employer, soit par la théorie des maxima des fonctions de plusieurs variables.

3.* Théorème. SoU k un nombre pair pris à volonté, et s un autre nombre pair compris entre les limites

On pourra toujours résoudre simultanément en nombres 'entiers les deux équations

à inoins que

ne soit de la formai

Démonstration. En effet , si k — ( — s\ [n'est pas de la forme 4*(^ ^l'i" >) » ^" pourra toujours [voyez le théorème 1.*'] résoudre en nombres entiers l'équation

( >7> ) pourvu que l'on ait ifc < (— « j ' , ou , a < \/SJ. Si de plu» * est supérieur à

oD aura réciproquement D'ailleara, en Tertu du théorème précédent, on tire de l'équation (a)

Donc à fortiori

(5) cc4-74-« <|/^ («* + " + 5— |- «*)<7«+2.

De plus, k étant un nombre pair, il suit éridemment de Téquation (a) que les boit nombres entiers compris dans la formule

— sdzxdzydbz ,

à raison des doubles signes , sont également pairs; ou , ce qui revient au même, que les huil nombres compris dans la formule

— s±xdtzy±t

doit être supérieur à — i , c'ost-à-dire nul ou positif. Les huit nombres entiers dont il s'agit seront donc tous nuls ou positifs. Cela posé, il est facile de voir qu'on satisfera en même temps aux deux équations (i) , en attribuant à t, u, v , tv les valeurs positives que fournissent l'un et l'autre des deux systèmes d'équations