DE TAYLOR ET DE MACLAURIN
Oq prouve facilement que , dans le cas où la fraction
b'évanouîi pour A = o , l'on a
^ désignant un nombre inconnu « mais tnfôrieur à l'unité (*). Or, l'équation (2), h Taide de laquelle on peut établir directement la théorie des maxima ou tntnima et
fixer les valeurs des fractions qui se présentent sous la forme - » conduit aussi trèssimplement à la série de Taylor et à la détermination du reste qui doit compléter cette ^érîp. En effet» on tirera successivement de l'équation (s) ,
!.• en posant <^(^) =y(a;-f-A) — f{x) , et n=i ,
puis , en posant y'(x+A):^y*'(a5)-f-£^, ,
a.« en posant /(A)=/(a;4-A)— /(as)— A/'(aj) , «t d = * , (4) /(x + A)-/(»)A/'(»)= Jl/'(x + 9A) ;
puis , en posant f''{x + Bh)=/'{x)'^U» ,
, f{x^l^)-f{x)-hf'{m)-.rTf'{<^)
ir.=
(*) Voyez » dtni le Bétumé dn Utom» donnéêê à i' École t^alê pofyiêehni^uê êur le calcul infiniiiêimal ^ la formule (7) de l'addition , page i64« Cette formiile comprend , comme cas particnlier , l'équation (a).
(«G) 3.» en posant ^{h)=,f{xr^k)-,-f{v)^h/'{x)~ X^f^cg) , et n = 3 ,
(5) /(»4.A)-/(^)^>/'(«) Jil./'(a,)=:.^^'"^a,^Oft) ,
puis , en posant f"'\x + 0 A ) =/'" ( a?) + ^j ,
En continuant de la même manière , et obaeryant que les quantités
//. , -^H, ,— i^ iïj , etc
s'évanonissenl toutes avec h , on établira généralement l'équation
(6) /(*+A)-/(^)-A/'(*)--^/'(^)- -7TT^/'""(*)=7^/'" C^+e'^) '
■ •a li9.a... (0-1) 1.3,.. Q
1 1.3 1 .3.U... ^n-ly l.S..,ll
Si Ton y remplace x par o , et A par a; , on trouvera
Il suit de la formule (7) (^e la fonction jf(^-4*'^) P^^^ ^^>*c considérée. comme composée d'une fonction entière de A , savoir ,
et d'un reste, savoir, (10) . X i,^f'^^-^<^li) '
1 • ^* \J» • • Il
Lorsque ce reste 4eYifiJlt infioiaent petit pour des valeurs infiniment gjrandes du nombre n ou peut affirmer que la série
( «7 ) est conTcrgeole , et quelle a pour sOnime Six-^h) . Donc alors on peut ccrin- IV' (juation
(..) f{x+h.)=f{x) + ^f'{a:)+-^f'{a>)+^lc.... . -
qui est précnifitent la formule de Taylor. De même, si le reste
<''' ..Js'....,-^"'"''
demat infiiMinent petit pour des raieun iafiniet de n . l'équatioD (8) 'entraînera la tuivaDle
qui «t précisément la formule de Haclauriu.
11 est souvent utile de substituer aux expressions (lo) et (lô) d'autres expressions éqaiTsleotes. On peut j parvenir comme tl suit.
D^iguoDs pur f (s) ce que devient le premier membre de l'équation (6) quand on V remplace h par k — s et ai pftr x-^-z , ou, en d'autres termes, le reste qu'on obtient quand on développe y(x+^) suivant les puissances ascendantes et entrères de A — £ , et que l'on s'arrête i la puissance du degré n — i ; en sorte qu'on ait
(,i) /■(.»-i-/i)=/(»+.)+±^/'(.+,)+,..+-J^-iir|j/.-»(»+,)+,(=).
• (o) repr^seatara la valear commune de ohacon des membres de l'équation (6). De plui , en dilTérenciant par rapport Ii s la formule ( i S) . on trouvera
et l'on en conclura
DU, parce que f (A) se réduit évidemment à xéro ,
Uvaluur précédente tic 9(0) n'eit aalra choie que le reste dti [a série de Tajrlor,
( a8 ) présenté sous une nouvelle forme. Si, dans ce reste, on remplace x par o , et h par X , on obtiendra le reste de la série de Maclaurin sous la forme suivante :
Il suiBt , dans plusieurs cas , de substituer ce dernier produit à l'expression ( 1 3) , pour établir la formule (i4)* Supposons , par exemple ,
fA désignant une constante réeUe. Les expressions^ (i3) et (19^) deviendront respectivement
et
Gela posé, on prouvera facilement, 1.^ à Taide de Texpression (si), que Téquationc (23) (, 4.aî)f*=i4-i^aî4-iîii^a3' + etc....
subsiste quand la valeur numérique du rapport
est inférieure à l'unité; 2^.* à l'aide de Texpression (ss) , que l'équatiofi («3) subsiste quand le produit
est compris entre les limites — 1 et 1. Par suite, il suffira d'employer l'expression (21) pour établir la formule (23) entre les limites x==:o', x=:i . Mais il faudra recourir à l'expression (22) , si l'on veut étendre la même formule à toutes les valeurs do X comprises entre les limites x=— 1 , aî=+i .
