I 1 II

— *+af+y+2 ~ s+x-y-z -- s-'X'^y-z —s^x-y+z

sont des nombres entiers. Mais , en vertu de la condition (5) , le plus petit de ces nombres , savoir : ' /

( 27« ) ou , ce qui revient au oaéme , l'un et l'autre des systèmes suivaDts :

. « = «4-7 + «f v = « + a54.«, ti; = t4-aî-}-^.

Corollaire i." Lorsque

est de la forme 4*(S'^*("7)» TéquattOfi (2) ne peut être résolue en nombres entiers. Mais alors il devient impossible de résoudre simultanément les équations (1), ainsi qu'on Ta prouvé cinéessus [tkéoréme-i.*', corollaire i.^'].

Corollaire 2.* Lorsque k est un nombre impairement pair , c'est-à-dire de la forme

4n4-2, la quantité k — f — J ] est nécessairement de l'une des formes

savoir : de la forme 4**+*» si — i est un nombre impair, et de la forme

4 71 -f- 2 « dans le cas contraire. On peut donc toujours alors résoudre les équations (1), pourvu que s soit un nombre pair compris entre les limites

Exemple, Soit A; = 5o ; on trouvera

\/{ik — 2) — i=|/88 — i<9f v/4T = v/î5ô > 10 ;

et par suite on pourra supposer 5 = 10. Pour déterminer les valeurs correspondantes de t, u , V , w f j'observe que

On aurai; donc, dans le cas présent.

Cela posé, les quatre premières équations (5) donneront

t=i, u = a, V=r3, ît; = 4.

On peut aisément vérifier ces valeurs. On trouve en effet

On doit observer que / dans le cas présent , les quatre dernières équations (5) fourniront pour les variables t^ u, v ^ w ^ les mêmes valeurs prises dans un ordre inverse, savoir y

Cette circonstance a évidemment lieu toutes les fois que 2 = 0, ainsi qu'on peut s'en convaincre par la seule inspection des équations (4)*

4** THèoBÊME. Soit k un nombre impair pris à volonté , et a un autre nombre impair compris entre Us limites

J}n pourra toujours résoudre simultanément en nombres entiers les deux équations

A: ::= r + tt» + V* 4- W, s ^=:t +V -J-V -^-W,

Démonstration. En effet, 4^ — ^"^ élant, dans la supposition qu'on vient de faire, de la forme

Sn 4* 3 f on pourra toujours résoudre en nombres entiers impairs x,jr, z, l'équation

pourvu que l'oo ait « < \/^k .. Si du plus t est supérieur à

{/5k — a— 1 , on aura réciproquement

et l'on conclura du second théorème appliqué à l'équation (?) ou , ce qui revient au même ,

Donc t à foHiari, chacun ctes hoil nombres compris dans la formule

sera supérieur à — i ; et par conséquent nul ou positif, s'il est entier. Gela posé , si s — a;— j — z est divisible par 4 • on satisfera également aux deux équations ( i ) , en supposant

ou , ce qui revient au même ,

(4) e = ~i — , UT=ztJ^tZ^, V = t'\ , w = t +

x^ry

De méme^ si 5 -|- a; ^y -f- ^ est divisible par 4 » on satisfera aux équations (lys en supposant

5+a?+r+z *+j?-r-2 j-aj+y-z , j-«-y+«

ou y ce qui revient au même,

, D'ailleurs, »,x,y,z étant quatre nombres impairs,

( «75 ) t — x—y — s. j + ai+^y + a

sont deux nombrei pairs; et, comme leur semine *$ eit tmpairement paire, il est nkessaire que I'ud de ces deux nombres soit divisible par 4. et l'autre seuiemeot par 3. On pourra donc foujourg Batislàîre aux équations (■), en attribuant aux variablei t,u,v,w uD des sysTëmes de valeurs (4) ou (5). Mais oik voit que ces deux sTrtèmes s'excluent réciproquement.

Exemple. Si l'on suppose A ^= 5i , on trouvera

Ou pourra donc faire «^=9, ou ji=ii. Si l'on suppose d'abord < := 9 . on trouvera

et par suite les équations (5) donneront

On a en efibt

Si l'on suppose en second lieu * = 1 1 , on tronvera

x = i,jr=i,z~i; et par suite les équations (4) donneront

Od a en effet

5.* Théorêiie. k étS,ni un nombre entier quelconque ^ il existe toujours entre les limites

au moins un nombre entier de même espèce que k, c* est- à-dire, pair si k est un nombre pair , et impair si k est un nombre impair.

Démonstration, En effet , le différence entre les limites savoir ,

qui est égale à 2 , i/ lorsqu'on fait Ac =r= i , 2." lorsqu'on fait /c =z= c) , n'a qu'un seul maximum , i-f-j/^J», correspondant h k = —. Celle différence est donc supérieure à 2 » lorsqu'on suppose

et croît même alors indéfiniment avec la quantité /r. Par suite, toutes les fois que k surpasse 9 , il doit y avoir au moins deux nombres entiers compris entre les limites

\/Zk-^ — 1 , ^/JÂ ;

et l'un de ces deux nombres entiers est nécessairement de même espèce que le nombre A.

D'ailleurs , si Ton donne successivement à k toutes les valeurs entières possibles depuis 1 jusqu'à 9 , on trouvera toujours des nombres entiers de même espèce que k compris entre les limites

Ces nombres entiers seront respectivement

Pour A;:=i 1

{ 377 ) Il est doDC prouTÂ qu'à une valeur quelconque de k ~Ëorre$pondrn loujoiirj un Dombre entier de même espèce compris entre les limites

CoroUaîre i." Si l'on suppose k= i9i , on aura

\/3*— a — 1 = i8, \/Xk ^ 23 = 18 + 4.

Par suite , si l'on fait jt > 1 s 1 , la différence entre les limites

{/5kZ~i — I , v/4T

surpassera 4- H existera donc alors au moins quatre nombres entiers conséciilif'^ , compm entre les limites dont il s'agit; et, parmi ces quatre nombres, il y en mira nécessairement deux de même espèce que le nombre fc.

6.' TllÉditÊllB. ft étant un nombre entier quetccmque, il existe toujours entre les Hmitet ■ ■

au moins un nombre entier de même espèce que k ; à moins toutefois que k ne toit un des nombres impairs

ou bien un des nombres pairs

2 , 6, S . i4> 29 , 34, 34> Démonstration. En effet, si l'on suppose & > 66, on aura

et par suite il y aura toujours entre les limites \/Wk , \/^ > deux nombres- enliers, doi)t l'un sera de même espèce que h. De plus, si l'on donne successiveméat à k toutes les valeurs entières possibles depuis i jusqu'à . S6, on ne trouvera d'exception au théorème que pour les nombres ci-dessus énoncés.

Corollaire 1." On peut remarquer que parmi les nombres pairs qui font exception ^ la r^lfl générale, les seuls qui ne soient pas divisibles par 4 ^o\i\ les suitaots :

a. 6, i4. sa. 54. * -

( ?78 ) Les deax autres , savoir» 8 et s4 » étant diTisét par 4 » doooeut pour quotient

2 et 6.

1." Problême. Détûrminer les valeurs de kj pour lesquelles il est impossible de résoudre simultanément en nombres entiers les deux équations

de manière que la valeur de s soit comprise entre les limites \/Wk, {/Îk.

Solution. Supposons d*abord que k soit un nombre impair, ou impairement pair. Alors , en yertu des théorèmes d, /^ et 6, oh pourra toujours résoudre les équations (]) , de manière que s satisfasse à la condition eiigée; à moins que k ne soit un des nombres impairs

ou bien un des nombres pairs

Supposons en second lieu que k soit divisible par 4 » ^ faisons

a étant égal ou inférieur à Texposant de la plus haute puissance de 4 <im puisse diviser k ; on pourra évidemment résoudre les équations (1) avec la condition exigée , si Ton parvient à résoudre en nombres entiers les suivantes :

ft' = l'* + a'«-4-v'»+ir'»,

s' = t' 4-u' 4-t;' 4-tt;' ,

de manière que s' soit compris entre les limites ^Zk' » f/^k* • Car il suiSra dans ce cas de faire

r=rr2*^\ U=2*tt',* t7=:2*D', ttr=2*w',

De plus » si Ton prend 4"^ égal à la plus haute puissance de 4 ^^i puisse diviser A, k* sera nécessairement un nombre impair , ou impairement pair; et par suite les

( «79 ) équations {à) seront réselubles a^c la condition exigée , à moins que k' ne soit un des nombres compris dans les séries (s) et (3). Enfin « si k' est un des nombres

1 , 5, g, 11 , 17, ig, ag. 4i ,

il suffira de 'diminuer , dans Téquation (4) , a d'une unUé , pour que A' acquierre une des valeurs suivantes :

et, comme pour ces diverses valeurs de k' on peut résoudre les équations (5) avec la condition exigée [voyez ci-après, scholie i.*'] » il en résuke que» parmi les valeurs de k divisibles par 4 > les seules qui fassent exception à la règle générale sont celles qui sont de la forme 4'^^» k' étant un des nombres

En résumant ce qui précède» on voit qu*on pourra toujours résoudre les équations (1) de manière que $ soit compris entre {/Jïï et \/^; & moins que k ne soit un des nombres impairs compris dans la. série (a) , ou bien un nombre pair de Tune des formes suivantes :

aot+i aa+i aa+i aa+i aa+i

Seholic i." Nous avons dit ci-dessus qu'en prenant pour k un des nombres

4, ao, 36, 44, 68, 76, ii6, 164.

on pouvait toujours résoudre simultanément les deux équations

de manière que s f&t compris entre les limites v/^» \/W* ^'^^^ ^^ qu'on peut aisément vérifier de la manière suivante.

Si Ton cherche successivement, pour chacune des valeurs de k dont il est ici question, les nombres pairs compris entre les limites {/STc\ v/JT, on trouvera

pour k==z 4 • - • lo nombre 4

jà

Cela posé, il est facile de ?oir que> si Ton prend pour « le nombre sîtaé dans la table précédente vis-à-vis de chaque valeur de k , la quantité

ne sera jamais de la forme

Par suite [voyez le théorème 5], en adoptant cette valeur de $ ^ qui remplit la condition exigée, on pourra résoudre simultanément les équations (8).

Scholie 2.' Si l'on prend pour k un quelconque des nombres compris dans la série (7) , la valeur de s ne pourra jamais être renfermée entre les limites |/3T, \/l\k. Mais il sera facile de déterminer dans cette hypothèse les diverses valeurs que s peut obtenir. En effet, si la valeur de k est donnée par Téquation

cM'lle de $ sera nécessairement de la forme

« ét«')nt un nombre tel qu'on puisse résoudre simultanément les deux équations

Pour le prouver, observons qu'on ne peut résoudre en nombres entiers Téquation (12) 2»* + 'A:^ = f4-a5 4-v»4-tt;2,

dans le cas où a surpasse zéro , à moins de supposer que t^u^v ^w sont des nombres pairs; d'où il est aisé de conclure que, si l'on fait successivement a=i> a :=^ 2 , a = 3 , etc. , OU ne pourra résoudre la même équation en nombres entiers , à moins de supposer que chacun des nombres t, u, v , tv, est divisible une fois, deux fois , trois fois , etc. , par 2. Ainsi , « ayant une valeur déterminée supérieure à l'anité^ il faudra, pour résoudre l'équation (12) en nombres entiers, supposer

«z=r2*r^, U = 2*tt^, V = 2'^V^, t<^ = 2*ti;^;

d'où l'on conclura

les quantités k^, s^, t^, u^, v^, ir , élanl respcctiVement assujetties aux équa^'ons (11). SI Ton prend successivement pour sXr^ les nombres pairs

», 6, 14, 22, 34; les fâleurs correspondantes de $^ seront respectirement

pour 2 1^ = 2 = 1 + 1 «^ = 2

34 = 25 + 9=16 + 9 + 9 8 ou 10,

Ainsi les seules valeurs de s qui puissent correspondre aux valeurs de k prises dans la série

2a+i aa+l 2a+l 1ia+i 2a+i

a .1,2 .3,2 .7,2 .11, a>j.i7 seront respectivement