OU

PaoBLâiiB 2.' DéUrminer les valeurs de k pour lesquelles il est impossible de résoudre simultanément en nombres entiers les deux é(iuations

de manière que la valeur de s soit comprise entre les limites

V/3A--a — 1 , {/îk*

Solution» Il suit immédiatement des théorèmes ^ et b , qu'on peut résoudre siinullaoément les équations {i\, de manière à remplir la condition exigée, toutes les fois que ^ est un nombre impair. Nous avons fait .voir en outre [problème précédent] qu*en prenant pour k un nombre pair, on peut toujours résoudre les équations (1), de manière que s étant inférieur à y/p" soit supérieur à ^/sT, et k plus forte

( 28s ) raison h \/Sk'-^ — i ; à raoias que la valear de k ne se trouve comprise dans

une des séries

1 28 , etc.

896 , etc.

22 y 88, 3S2 » 1408, etc.

34 « i36 , 544» 2176, etc.

dont les termes généraux sont respectivement

a . 7, a . ii> a

Enfin, d'après ce qu'on a dit plus loin [scholie 2] , les plus grandes valeurs de puissent correspondre à ces diverses valeurs de k , sont respectivement

lUI

d'où il est aisé de conclure que , dans les séries que l'on considère , les seuls termes , pour lesquels la valeur de s reste comprise entre les limites j/sT-^ — 1 , 4/4^, sont

pour la 1.'* série ... les nombres 2 et 8,

pour la 2.« 6, 24 et 96 ,

pour la 3.« i4 et 56»

pour Ia4.<' 22, 88, 352 et i4o8 ,

pour la 5.» 34, i36, 544 «l 2176-

Si l'on retranche ces mêmes termes des séries (2) , les termes restants seront les seules valeurs de k, pour lesquelles on ne puisse résoudre les équations (1) avec la condition exigée. Parmi tes valeurs dont il s'agit, les plus petites seront

52, 123, 224, 384, 5i2, 89G, i024f etc....

Corollaire 1.*' Si l'on donne successivement à k toutes les valeurs entières possibles depuis Ap=i, ^jusqu'à ^=121 inclusivement, on n'en trouvera qu'une seule, pour laquelle il soit impossible de résoudre les équations (1) avec la condition exigée. Cette valeur unique est

aX a + l A = 32 = 2

La seule valeur que s puisse recevoir dans cette hypothèse , est , d'après ce qu'on a dit plus haut, la suivante :

qui est effectivemeDt située hors dos limites

\/yk^% — 1 = 4/94 — ï f l/P = ï/TâS".

Corollaire a.* Si l'on donne à A ane valeur impaire, telle qu'un seul nombre impair s se trouve compris entre les limites

V/5(ib+i) — a — I, v/4 (*+ Ô p on aura nécessairement [théorème 5.*, corollaire i.*']

Dans la même hypolhe.se , les seuls nombres pairs qui puissent être compris entre les limites

sont les suivants

D'ailleurs k + ^ étant un nombre pair inférieur à 121, il surit du corollaire 1 .*', qu*à moins de supposer ik 4" > = 5« , on trouvera enlre les limiter ^/3(ilf+ï)— « — i , V/4(A+i) un nombre pair «' pour lequel on pourra résoudre simuhadément les deux équations

#' = !' -f tt' +«' 4.»' .

s' aura donc nécessairement une des deux valeurs « — * 1 > « -f- 1 . Enfin , si l'on fait 44- 1 =32, on trouvera deux nombres impairs, savoir : 9 et 11 , compris entre les limites f/s. 3a — 2 — i . ^/4T32 • On pourra donc énoncer sans restriction le théorème suivant

Th^orâiib. 7.* Si Con donne à k une valeur impaire, telle qu^un seul nombre impair $ se trouve compris entre Us deux limites

V/3(ï+i)-2— 1, i/4(î+0 , en pourra toujours résoudre en wymbtes entiers, oU ùs deux équations

ou bien les deux suivantes

«-7-1 = ^ -f-tt -f"^ +w.

Théorème 8.* Soient k et s deux nombres impairs dont le second soit compris entre les limites

Soient de plus m un nombre entier quelconque supérieur à 2 ^ r '^ un autre nombre entier égal ou inférieur à m — 3 ; et faisons

Si, en laissant k et m ^constants , on donne successivement à s et à r toutes les valeurs possibles, et que Con désigne par Bk et Ct la plus petite et la plus grande des valeurs de At ainsi obtenues : tout nombre entier compris entre les limites Bk p Ck ^ sera décomposable en m 4^ 2 nombres polygones de C ordre m +2.

Démonstration» Pour établir celte proposition, il suffit de faire voir, 1.° que tcrut nombre entier compris entre les limites

Bk , C\ ,

est une des valeurs de la formule (1); 2." que tout nombre compris dans cette formule peut être considéré comme formé par F.addition de m -{- 2 nombres polygones de Tordre m + 2 .

Pour démontrer la première partie de cette proposition, j'observe que, si l'on désigne par Sj la plus petite, et par s, la plus grande des valeurs de s qui correspondent à la valeur donnée de k, les diverses valeurs de 5, respectivement égales aux divers nombres impairs compris entre les limites

formeront la progression arithmétique

( s85 ) et » comme on peut faire successivement

r"=o, r=i, r==2, etc.... r = m — 3, r = m — 2,

les diverses valeurs de Au, en commençant par la plus petite et finissant par la plus grande, seront respectivement

f 2 j+«>-a = B^ + »i-i, B^-f i+m-a , B +a+m-a , etc.B^+a(m-a) j

^2) I m^--li^-A^4.j,-4=B^ + a(m-a),B^ + i+a(m-a),B^ + a+a(in-a),etc.B^+3(m-a) ;

etc

( "*'" J+<,+a=C^-a(m-a),C^-H>a(m~a),(7^+a-a(m-a),etc. C^-(m~a) j

k-Sg m

( lii— ^+5, =C^-(m-a), C^ + i-(m-a), C^+a-(m-a), elc.C^.

Ces diverses valeurs fourniront donc tous les termes de la progression arithmétique

B^, B^4- j , Bf^ + ^, etc.,... C^— 1 , 6\ ;

cVst-à-dire tous les nombres compris entre J?^ et C^ . On peut même observer

que quelques-uns de ces nombres correspondront à-la-fois à deux valeurs différentes de la quantité s . z

Il reste maintenant h faire voir que tout nombre entier compris dans la formule

peut être considéré comme formé par l'addition de m 4- a nombres polygones de Tordre m + 2 . Or , comme zéro et Tunité font partie de la suite des nombres polygones d'un ordre quelconque , et que Ton suppose

le nombre r peut toujours être considéré comme représentant la somme de m —7 a

' polygones de Tordre m -|- ^ • H suffira donc de prouver que tout nombre entier compris dans la formule

est la somme de quatre nombres polygones du même ordre : et en effet , s étant par hypothèse impair ainsi que Ar , et compris entre les limites

on pourra, d'après le théorème 4*% résoudre simultanément en nombres entiers les deux équations

d'où l'on conclura

La formule (3) est donc la somme de quatre nombres polygones de l'ordre r?t -f" ^r ce qui conplète b démonstration du tlktorétase 8.*

- Corollaire i.*' Ar et m étant supposés constants, la plus petite et la plus grande des valeurs que y^^ puisse recevoir sont, conformément au tableau n.* (a) ,

Dans ces formules s, et t, désignent respectivement le plus petit et le plus grand «ks oAmbres impairs compris entre les limites

Si maÎQtenant on change A: en A + ^ i ^^ ^^ '*<^^ désigne par '«/ , «/ le plus petit et le plus grand des nombres impairs compris entre les limites

(8) ' ^5(î + a) — a— I, \/^{kT^i

les formules (6) deviendront respectivement

D'ailleurs il est facile de s'assurer que la différence des deux limites

est toujours inférieure à doux unités. Il n'y aura donc pas de nombre impair compris entre ces deux limites^ on bien il n'y en aura qu'un; et p§r suite on aura toujours

(lo) «/ = «,, ou bien «/=s,-4-2.

De même la différence des deux limites

l/4(ÂTïT» V/4Ï"

étant toujours inférieure à deux imités , on aura nécessairement

(u) «', = *,, ou /a = «,-4"2.

Cela posé , la première des équations (9) se réduira évidemment à F une des deux suivantes

(.2) iï,^,= 5, + m. iï,^,= /?,+ u;

et la seconde des équations (9) à Tune de celles qui suivent

(.3) <7^^,= f7^4.m, C^^^=C^Ari.

Od aura donc, dans tous les cas possibles (m étant > a) ,

et par suite C^^^> C^. On Irouyerait de même C» + 4 > C* + , . (\^^>C\^,,

etc. Si donc l'on met successivement à la place de k les différents termes de ia progression arithmétique

k.k-\-î,k^^',k+6,elc..

les valeurs correspondantes de C» que nous représenterons par

seront toujours croissantes; et, comme ces mômes valeurs sont entières ^ elles fiairont par devenir plus grandes que toute quantité donnée.

Corollaire ft." Chacun des nombres C^ , ^A + a' ^* + 4' ^^^- • ®*^ décomposable en m 4" 3 nombres polygones de l'ordre m -f- 2 .

THioRfiMB 9.* SoU k un nombre impair quelconque ; $^ le plus petit des nombres impairs supérieurs à la limite j/Sik^ — 1 ; et faisons

m étant entier et > 2. Soit de plus ^j^ + a ^ ^^^ devient C, , lorsquon remplace k^ par k-^%. Chacun des nombres entiers compris entre les limites

sera toujours décomposable en m -|- 2 nombres polygones de Cordre r/i -f- ^ •

Démonstration. On doit distinguer deux cas différens , suivant que le nombre des entiers impairs compris entre les limites

est supérieur ou simplement égal à l'unité.

Supposons d'abord qu'il existe deux ou plusieurs nombres impairs compris entre ces mêmes limites. Alors, en adoptant les mêmes notations que dans les théorèmes précédents . on trouver»

(«89) 8\ — «^=a ou > 8.

Cela posé, la première des équations (9) [ théorème précédeat] donnera évidemment

ou, ce qui revient au même«

(s) ^*+i= ^^ < ^k — »»4-4= ou <C^ + 1 ,

(m devant être > s). D'ailleurs nous avons fait voir [théorème précédent] que toot nombre entier compris entre les limites

est décomposable en m -4- si nombres polygones de Tordre m 4- > • La même propofîition étant applicable aux nombres entiers compris entre les limites

lésera encore à fortiori ^ en vertu de la condition (a), aux nombres entiers compris entre les limites

et comme Ct peut jStre aussi décomposé de la même manière , il en résulte que le théorème 9 est déjà démontra pour le cas ou plusieurs nombres impairs se trouvent compris entre les limites

Supposons en second lieu qu'un seul nombre impair se trouve compris entre les limites dont il est ici question. Il n'y on aura qu'un seul à plus forte raison entre les deux suivantes

et , par suite du théorème 7 » on pourra toujours résoudre .simultanément en nombres entiers ou les équations

■ ( »9<> ) OU bien les deux suivantes

Dans la même hypothèse » on aura nécessairement

el par suite

(5) i?^^^ = m(ili^ + ,,4.m=f7, + 8.

D'ailleurs^ coiniae le nombre Ci . cl tous les entiers compris entre les limites

sont décomposables en m 4- ^ noHibrea poiy^aes .de r<Nrdir6 m -f- s , il résulte déjà de l'équation (5) que , parmi tous les termes de la suite

^k' ^A+»' ^A + «' «^«•' ^A + a—^' ^'it + a'

Cl + 1 est le seul pour lequel on pourrait révoquer en doute la possibilité d'une semblable décomposition. Mais ce nombre^ étant égal k

peut être, en vertu des équations (5) ou (4) , présenté sous Tune ou l'autre des deux formés suivantes ^

[ : — ; = "-) +t + u + iy + w :,

et , comme , sous l*une ou Tautre de ces deux formes , il est évidemment là somme de m-l- 2 nombres polygones» dont m — a sont égaux à zéro ou à l'unité, on voit que tous les nombres entiers compris entre

( «9» ) satisfont encore , dans la seconde hypothèse» h la condition énoncée.

Corollaire i.*' Il suit de tout ce qui précède » non-seulement, que les nombres entiers compris entre C^^ et ^j^^, sont décomposables en m -4- s nombres polygones de Tordre m 4- > » n^ftis encore que la décomposition peut toujours être effectuée de manière que m — s nombres polygones soient respectivement égaux à séro ou à l'unité.

Corollaire s.* La même proposition est évidemment applicable aux nombres entiers compris entre les limites ^k-i^i* ^k-hi^ ^ ceux qui sont compris entre les limites ^A-)- i ' ^k-^s* ®^^* ' ^^» P^^ suite, à tous ceux qui sont renfermés entre les limites

k et / étant denz nombres entiers pris h volonté.

TatoaiiB lo*. Tout nombre entier e$t déoompoêabU en einq pentagones, six hexagones , sept heptagones , etc. , et en général en m -|- > « nombres polygones de Contre m+a, (m étant >3).

Démonstration» En effet , adoptons pour on moment les notations ci-dessus employées [théorèmes 8 et 9]. Il est démontré par le théorème 8 que tout nombre entier ooropris entre les limites Bk , Ci peut subir la décomposition dont il s'agit , et par le théorème g (corollaire 9) » que la même propriété appartient à tous les nombres entiers compris entre les limites C^ ®^ ^i^H-»/ ' ^ ®^ ' étant pris h volonté* D'ailleurs, si Ton suppose /r = 1 ^ ( = 00 » on trouvera

Ainsi , en Vertu des théorén^es 8 et 9 , la décomposition énoncée sera possible pour tous les nombres entiers compris entre les limites 1 el 00 ; c. q. f. d.

Corollaire i,** Les démonstrations que nous avons données des théorèmes 8, 9 et ip prouvont évidemment que la déconiposition d'un nombre entier en m + > nombres polygones peut toujours être effectuée de manière que m + « de tes nombres soient égaux à zéro ou à l'unité. Par suite , tout nombre entier est égal à la somme de quatre pentagones» ou à une semblable somme augmentée d'une ailité; h la somme de quatre hexagones, ou à une semblable somme augmentée d'une ou de deux «nîtés; à la somme àe quatre heptagones » ou h une semblable somme augmentée d'une , ^ de* deux ou de trois unités , et ainsi de snite.

Corollaire s.* Si l'oo veut, à Taide des méthodes ci-dessus exposées , décomposer uo nombre entier N en m -f- ^ nombres polygones de Tordre m + 9 , il faudra commencer par chercher une valeur de k telle que le nombre donné Pf soit coni* pris entre les limites

Pour obtenir une valeur approchée de k , on fera

lf=C,;

ci, comme on a généralement

Ci=m (— ~H +^ + «» — 9 ,

8, étant le seul nombre impair compris entre les limites

on pourra remplacer , sans avoir à craindre une erreur considérable.

ê, par |/Sik>-«9 et

Ck par m J L— — | jJ- ^/Sï— a + m — a ;

par conséquent la valeur approchée de A; se trouvera déterminée par Téquation

ou , ce qui revient au même , par la suivante

j^A(iV-„4..)j = 02iî)l(u^«).

Cotte dernière équation étant du second degré» on en tii*era deux valeurs de k, dont la plus grande sera celle qui doit vérifier Téquation (i). La valeur approchée de k étant ainsi connue » on en déduira sans peine , après quelques essais , la valeur véritable avec les valeurs correspondantes des quantités que nous avons désignées par

Cela posé , il suit des théorèmes 8 et 9 qae la valeur de N se trouvera nécessaireuieiit comprise parmi les nombres

(5) B^^^, ^* + .+ i, etc.. Cj^,— ». Cj^,;

excepté un seul cas« dans lequel elle sera égale à

De plus » si la valeur de N est comprise parmi les nombres de la série (3) » onr pourra faire

(5) iV = m(i±ililj+,'4.r.

S étant un nombre impair compris entre les limites ^/5(i 4. a) a — 1 , V^4 (ÎT^^a) ; et r étant = ou <'m — 9. Dans la même hypothèse, on pourra résoudre simultanément en nombres entiers les équations

$'=zt 4-tt 4"^ "h<^ •

En joignant celles-ci à Téqoation (4) » on verra que le nombre N est égal à la somme des quatre nombres polygones

augmentée de r unités.

On peut déterminer facilement les valeurs de s' et de r par le moyen de Téquatien (5) mise sous la forme suivante

En effet , dans celle dernière équation .

■ Il i<

est évidemment le quotient de la division de N — ^k-h» ^^^ ^ — ^ ' ^^ ** '^ reste de cette division. On doit seulement observer que , r pouvant être égal à m — 2 , il est permis, lorsque la division ' donne zéro pour reste y de remplacer ce reste par m — 2 , pourvu que Ton diminue en même temps le quotient d*une unité. 11 devient même indispensable d'en agir ainsi , lorsque N est égal à ^;^ < , •

Dans le cas d'exception • on a

(8) iV = C,4.i=mf-^)-4-«,-hm— I ;

s^ étaAt le seul nombre impair qui soit compris entre les limites ^5/k— a — 1 , x/Ak- Dans le même cas , on peut résoudre en nombres entiers l'un des systèmes d'équations (5) ou (4) [théorème 9]. En joignant un do ces systèmes k l'équation (8) , on en conclut immédiatement la décomposition du nombre N en m -4- s nombres polygones , dont m — a sont égaux è l'unité ou à zéro.

Exemple, Supposons qu'il s'agisse de décomposer 114 en six hexagones. On aura

et par suite l'équatioa (2) deviendra

(9) 4(/fc — 56)' = 3A — 2.

La plus grande racine de cette même équation est, en nombres ronds,

Pour connaftre ie degré d'exactitude de cette valeur de /r . j'observe qu'on a , peur m = 4.

et comme , dans le cas où l'on suppose A- = 63 , on trouve

les valeurs de 6'^ , C^ . , ^^ réduisent , dans cette hypothèse, à

( 39-5 ) C^=ia8— i5=ii5 , C^^^:=i3»— i5=ii9.

Le nombre doniié ii4 n'étaot paacompm entre lei limites iiS et 119, la taleur présumée de k est Décesiairemeot trop forte, et doit être diminuée au moins de deux uniléi.

D'ailleurs , lorsqu'on suppose

DD trouve

«/ = *^ = 1 3 , Cj ^ 1 1 1 , C . = 1 1 5 ;

ol, comme 1 14 o$i comprit eulre les deai derniers nombres , la valeur 6v de k est exacte. Cela posé , on Couvera que «'■ , ou te plus grand nombre impair compris dsDs \/4(i+9) est égal k 1 5 ; d'où l'on condura

jSj^, ==«(*+») — "5=111. N — B^^^ = 5. l'équation (7) se réduira donc k (M) 5=»(-l^) + r;

et l'on aura par suite

*':=»', — a = i3 , et r = i .

Cela posî, les équations (5) et (6) deviendront respectivement

/ iV=tii4==ax65— i3+i , (1») j 6S = f + a' + v'4-B»*,

Pour résoudre let deux dernières, je fais

et je trouve

d'o^i je conclus , h l'aide des formules

les valeurs suivantes de i ^ u^ v , w ,

< = 6, tt=S, t;=i, tt;=:|.

En adoptant ces inémes valeurs , on trouve pour celle de iV

AT:^ ii4 = (a/'-"/J + (aa*-ii) + (aD»-^) + (aw»-ii»)+i+o=:66-»-45 + i + i + i+o.

Nous avons donc effectivement décomposé ii4 en six hexagones, dont trois sont égaux à Tunité , et un à zéro.