DE Q^UELQUES ÉQUATIONS TRANSCENDANTES

§ i.** Considér allons générales.

J'ai fait voir, dans le XYIL* Cahier du Jouroal de TÉcole royale polytechnique, qu'étant donnée une équation algébrique d'un degré quelconque, on peut toujours composer, avec les coefficients de cette équation , des fonctions dont les signes déterminent , dans chaque cas particulier, non* seulement le nomhre des racines imaginaires, mai» encore le nombre des racines réelles positi?es , et le nombre des racines réelles négatives. Il est donc possible de fixer à priori la nature des diverses racines d'une équation algé*brique. La dilficulté de résoudre la même question pour les équations transcendantes a été signalée par M. Poisson , dans le dernier des Mémoires qu'il a publiés sur la théorie de la chaleur. Toutefois^ dans la plupart des problêmes de physique mathématique, on rencontre des équations qui renferment des lignes trigonométriques ou des esponentielies , et dont la solution est nécessaire pour la détermination précise des lois des phénomènes. A la vérité, la comparaison des résultats, que fournissent les diverses méthodes employées par les géomètres , faisait soupçonner que plusieurs de ces équations n'admettent pas de racines imaginaires. Mais on n'avait aucun moyen direct de s'en assurer, et de reconnaître si les racines d'une équation transcendante sont toutes réelles. On doit néanmoins excepter les deux équations fort simples

(i) sins = o, -.(a) coss = o,

dé)à traitées par Euler. Lorsque , dans la première de ces équations , on suppose z = x + Jl/^ » ^ ^^ y désignant deux variables réelles , on en lire

(3) sina; 1- cos» i/r7 = o ,

et par suite

(4) («^+ *"^) Mnx= o , (e^ — c^) cosa5 = o.

Or, tant que l'on attribue h x et h y des valeurs réelles , on ne peut évidemment satisfaire h la première des formules (4)> è moins de supposer

(5) shimi^o, cosâD=dbt :

et l'oD lire alors de la seconde e^ — «""^^o » e*^= i ,

d*où Ton conclut que le coefficient y do ^/TT s*évanbiiit dans toutes les racines de Téquation {i), c'esl-ft-dire , en d'autres termes, que cette équation n*a pas de racinei imaginaires. Ou doit en dire autant de Téquation {^)\ que Ton déduit immédiatement

de réqoatioQ (i), en remplaçant z par ^^^z. Il était à désirer qu'on pût acquérir la même certitude pour d'autres équations plus compliquées. Ayant entrepris des recherches à ce sujet, je suis parvenu k troorer des r^les à Taide desquelles on petit fixer la nature des racines dans un grand nombre d'équations transcendantes , et spécia^ lement dans celles que présentent les théories de la chaleur , de la lame élastique , des

plaques vibrantes, etc. Avant d'exposer ces règles, je m'occuperai d\ibord de

quelques équations particulières qui se rapportent k diverses questions de physique mathématique.

§ a.* Sur les raeines des équations tang zz=sz , et tang « = a s •

Considérons d'abord l'équation transcendante (i) tangi = 2.

On reconnaîtra sans peine , avec Euler [voyez le second volume de l'Introduction à l'analyse des infiniment petits], i.* que cette équation admet, non-seulement trois racines nulles , mais encore une infinité de racines réelles , les unes positives , les autres négatives; a.* que les racines positives sont renfermées, la première entre les limites

ir , YT -4 it 9 la seconde entre les limites 9ir,89rH ^ » 1^ troisième entre

limites Stt , Sfr-f- — ^ » etc....; et que la n"'* racine positive, comprise entre les limites nir , nn^ — it , peut être déterminée par le moyen de (a formule générale

(an-f-i)ff a ( a P a n> iSf a 1^ i46r a "jg j

^^'^^ a (an + i)îc j*"*' 5"L(*in+i)7rJ T5L(^''+i)wJ TÔ5L(a'«+0'f J )

( «99 ) Cela posé, si Ton désigne par 'a,pt y».*, tes racines positires de réquatieo (i) , rangées par ordre de grandeur , on treayera snccesshreBient

a = 4»49S4>i8—# ^==7» 7«5«5i9*-* » 7= io»go4i3i5...» etc../ Quant aux racines négatires, elles seront éridemment représentées par

— «1 "*P » ""7» etc....

J^a joute maintenant que Féquation (1) n*aura pas de racines imaginaires; et, en effet, si Ton y suppose

X et jr désignant deux çiantités réelles » elle donnera

sina4?+8in(aij(/tl) 8lna«+-(e*^-s-»J')y^i

(5) x+7i/n'=tang(«+j|/tr) = = r-^

cosad?+co8(a/\/ri.) cos»«+-(e»^+«-*^)

OQ , ce qui revient au même ,

On aura par snile , pour des raleim de m et de jr différentes de léro ,

Or, cette dernière équation ne saurait être admise. Car» tant que j diffère de zéro , rexpression]'

illlin = . + IfZÇ + -i^ + etc....

éyidemment jsnpérieure à Tunité , surpasse ft plus forte raison le rapport

sinaâ;

Par conséquent, dans tontes les Taleurs de z propres à yérifi^r Téquation (1) , la partie réelle x, ou le coefficient y ée f/7 doil a'éyanooâr. D'ailleurs , il est

( 3oo )

facile de reconnaître que la variable x ne peat s'évanouir sans la variable y. Car, si , dans l'équation (3) , on pose cb = o , elle se transformera dans la suivante

de laquelle on tire

ou , ce qui revient au même,

et Ton ne peut évidenmient satisfaire à Téquation (7] , la variable y étant réelle, sans supposer jr= o. Donc le coefficient de y^IT s'éranouit dans toutes les racines de Téquation (1) , et toutes ces racines sont réelles; ce qu'il s'agissait de démontrer.

Considérons en second lieu Téquation

(8) tang2 = a2 »

a désignant une constante réelle. On reconnaîtra facilement que celte équation admet une racine nulle » et une infinité de racines réelles , deux à deux égales , mais de signes contraires. De plus, si Ton remplace z par x +7V^^ » ^^ obtiendra , au lieu des équations (4) 9 les deux suivantes

g'y+acosaaî+é"-»^' «»J'+cosa«+tf""^

desquelles on déduira toujours la formule (5) , en supposant les valeurs des variables X ^K y différentes de zéro; tandis que Ton trouvera , pour une valeur nulle de x,

ey-e-y (10) «J= -77-37^

- • ( 3oi. )

Or, il est aisé de voir qae cette dernière équatioD, divisée par j, n'admel pas de racines réelles , lorsque a est négatif « ou bien positif , mais supérieur à l'unité ; et qu'elle ^dmet deux racines réelles, l'une positire, l'autre négative» mais égales au signe près, lorsque a est positif, mais inférieur à Funité. Gela posé » en raisonnant comme on Ta fait ci-dessus à l'égard de l'équation (i) , on conclura définitivement que l'équation (8) n'a point de racines imaginaires , si ce n'est lorsqu'on suppose

(is) a>o et < 1 ,

auquel cas elle admet deux racines de cette espèce et de la forme

(i3) * = çv/^, z=—}:^,

l désignant une quantité positive déterminée par la formule

Les équations (1) et (8) , que l'on peut encore écrire comme il suit

(i5) $\nz^=zcosz, (16) sin:; = az C0S2 ,'

se retrouvent dans plusieurs questions relatives à la théorie de la chaleur et à la théorie des ondes.

§ 3.* Sur les rûcines de C équation ianf^z z=zaz'^ b.

Considérons maintenant l'équation

(1) tang2; = a^-4- b ,

a et 6 désignant deux constantes réelles dont la seconde ne soit pas nulle. On reconnaîtra sans peine que cette équation admet une infinité de racines réelles , les unes positives, les autres négatives. De plus, si l'on y remplace z .par x +71/T , x et j' étant des variables réelles , on en tirera

(2) ax + o= , ar

a«j+acosa«+«-"»^ •' «•'^ + acosaa?+f— '^

( 3o8 ] Or , le IrÎDome

étant essentiellemeat potilif » ol fos 4mx qtiaaUtés

étant toujours de même signe » il est clair que , si la quantité a devient négative , on ne pourra èatisfaire à la secende des formules (a) , à moins de supposer y = o, Cette remarque s'étend au cas même où la constante a s'évanouirait. Car , dans ce cas particulier , la seconde des formules {%) donnerait

••y— a— y=o, ou , ce qui revient au même »

et par conséquent

Donc» si Ton a

(5) «= ou <o,

Téquatioft (1) n'adittattra pas de racines imaginaires.

Concevons à présent que la constante a devienne positive. Si Ton attribue à la va* rîable y une valeur différente de zéro , on tirera des équations (s)

asînaa; ««/-«--»

ou , ce qui revient au même ,

Or, comme la valeur numérique du rapport

sinaâ;

sin^d;

surpassera celle de la fraction « , Téquation (5) ne pourra évidemment subsister

( 5o5 ) qu'autant que IVta aura

(6) ('+^)*<'' et par conséquent

D'ailleuTê cette dernière condition se ré44iit , pour des Taieors positives de la constante

et , pour des valeurs négatives de la constante b , h

(9) *>-• ^V Donc, si Ton a

tontes les racines iin«iginaires de Téquation (i) offriront une partie réelle supérieure à la

quantité supposée positivé » du inférieure à la quantité — - — supposée né^

gative. An reste , on ne saurait douter que Ton ne puisse satisfaire par des valeurs imaginaires de 2 à dés équations de la forme

(i) tangz = a2 -4* ^ »

mais dans lesquelles a serait positif , et b différent de zéro. En effet , concevons qae » a et ^ désignant deux quantités réelles dont la seconde ne soit pas nulle , on suppose

«'P+aco8aa+tf~'*P 4P

4a I sinaa e*P-«""*P

s'?+aco8a«+«""*P I »« 4P

Alors , pour vérifier t'équaiion (i) , il suflira '^e prendre

§ 4** Sur les racines de C équation tangz = — ^ CiOnsidérons à présent réqiialion traDscendante

(,) langz=.^^

a et 6 désignant deux constantes réelles. On reconnaîtra sans peine qu'elle admel. comme l'équation (8) du § i.", une racine nulle, et une infinité de racines réelles, deux h deux égales « mais de signes, contraires. De plus , si l'on pose , dans l'équation (i),

j étant une variable réelle, et, si l'on divise ensuite les deux membres par y, on j trourera

Or, il est aisé de s'assurer que celte dernière équation, dont ie second membre

ey-e-y ~ i.a 3 ^ 1.2.3.4.5 ^

reste inférieur à Tunité pour toutes les valeurs réelles de y^ n'admettra point do racines réelles , si , la constante a étant positive , le rapport — est négatif, ou bien ! positif, mais inférieur à l'unité. Donc , si l'on a simultanément

(5) rt > o , — < I ,

l'équation (i) n'aura pas de racines imaginaires « dans lesquelles la partie réelle s'évanouisse.

Il est essentiel d'observer que les conditions ici indiquées, à l'aide des signes > ^t < placés entre deux quantités, doivent être étendues au cas même où ces quantité? deviennent égales entre elles. C'est une convention qu'il est utile d'adopter pour simplilier les notations , et que nous admettrons en général duns la suite de cet article.

Si les conditions (3) n'étaient* pas remplies» l'équation (s) pourrait admettre quelques racines réelles» qui , prises deux à deux« seraient égales, mais de signes contraires , et par conséquent l'équation (i) pourrait admettre des racines imaginaires qui seraient, deux k deux, de la forme

5=çv/n'.

Pour savoir si l'équation (i) admet des racines imaginaires, dans lesquelles la partie réelle ne soit pas nulle j on fera

X , y désignant deux variables réelles , et l'on tirera de cette équation

ou , ce qui revient au même ,

siûaa? + -(e«r.tf-«r)^/rx «[(«*+7') (*-JV^0 + *(*+JV/^0]

puis l'on en conclura , en supposant que les quantités x ei j diffèrent de zéro ,

asioa^ ax{b'^x*+y*)

u'J^+aco8aa?+«-*^ (a?»-j*+^)'+4a?'>'»

ay{b-x^'y*)

e'^ + acosaaj-He-»^ (a?*-:r" + ^)' + 4^'J*

et par suite

sina^r

aa? 6+a?*+j»

Or, cette dernière équation ^e saurait être admise , si b est positif ou nul , c'est-àdire si l'on a i

En eflet , j n'étant pas nulle , la valeur numérique de la fraction

Sill 3 (S

siivpàMera celle de > ; et « «i la condition (8) esl n^mplie , le valeur naméri^uo du rapport

sera encore égale ou supérieure à celle du rapport

Donc, lorsque 6 est positif ou nul, l'équation (i) n'admet pas de racines imaginaires dans lesquelles la partie réelle diff&re de aéro. Si les conditions (5) et (8) étaient simul* tanément vérifiées , c'est-à-dire si Ton avait à-la-fois ~

(g) . a > & et 6 > o ,

l'équation (i) ne pourrait admettre que des racines réelles.

On peut encore déduire de Téquation (5) une autre conséquence digne dé remarque. En effet , eonuoe on a généralement

(lo) tang2 =

et par suite

^''^ ^ = , - t/r. tang. ' -

on tirera évidemment de l'équation (5)

Si maintenant on ^ale entre eux les carrés des modules des expressions imaginaire» «lue renferment les deux membres de la formule (lâ) » on trouvera

Or» l*eiLponeiilielle qui forme le premier membre Ad l'équation (i3) éudi néceasahre^ menl une qiianliié posiiiTe qui reste ioférîeiire à l'omié pour des Talevra poeitires de la variable y » et devient sopérieiire è i'anité ponr des yaleura négatives de la même variable, on conclura de l'équation (i3) que la différence entre le polynôme

el le polynôme

c'est-à-dire le produit

doit être une quantité de même signe que —«7. On doit donc avoir » pour tputes les valeurs de j différentes de zéro »

D'ailleurs , si l'on suppose

la condition (i4) ue pourra être vérifiée à moins que Ton n'ait en môme temps

Donc , si Ton avait à-la-fois

(i6) a > o et 6 < o ,

l'équâlion (1) ne pourrait admettre que des racines réelles. Il est bon d'observer que les formules (9) et (16) sont comprises dans les suivantes

(3) a > o et — < 0 .

Donc» toutes les fois que ces dernières conditions seront vérifiées, Téquation (1) n'ad* mettra pas de racines imaginaires.

Nous remarquerons, en terminant ce paragraphe, que l'équation (1) peut s'écrire comme il suit

(17) («»-f-A)sîn« — ii9Cos« = o. •

En la présentant spus cette forme» et supposant les conditions. (16) remplies» on reconnaîtra qu'elle coïncide arec Téquation qui sert à déterminer le mouvement de la chalear dans une barre cylindrique ou prismatique d'une petite épaisseur.

S 5.* Sur les racines de C équation tang z = —— - tang (c«|/ri ) .

Cohsidérons encore l'équation

tangz = — tang (cr v/^) ,

qu'on peut aussi présenter sous la forme

tans:; = a

On reconnaîtra facilement qu'elle a une infinité de racines réelles , qui » prises deux à deux , sont égales , mais de signes contraires » et dont l'une se trouve renfermée entre ^cs limites

n désignant un nombre entier quelconque. De plus » comme il suffit de remplacer par z\/^ f pour que l'équation (s) se transforme dans la suivante

tancc2= ,

il est clair que l'équation (2) aura encore une infinité de racines imaginaires qui seront deux à deux de h forme

[ç désignant une quantité réelle] , et dans l'une desquelles le coefficient- de [/r7 se trouvera compris entre les deux limites

tI**— 7)'' t("+7)'-

J*«|oute maintenant que l'équation proposée n'aura pas de racines imaginaires 9 dans les-

quelles la partie réelle diffère de zéro ; et en effet » si Ton remplace z par x +7(^> X ei y étant des variables réelles , cette équation donnera

(4) i»og{x+'y{/Ti)=—.tans{exy~—ey).

OU , ce qui revient au même ,

et par suite

tf*J'+acosaa; + «'~'^ «**'+aco8acj'+«

— a ex

Or » on tire de ces dernières , lorsqu'oÂsuppose les valeurs de x et de j différentesde zéro ,

sinarD sinacy e^y-c^^ tf»«*-«— *«''

D'ailleurs » l'équation (7) ne saurait être admise , puisque des quatre rapports

siuaa; sînacjr #»r-#— «r «»«■»- g — >«*

aâ; atjr 47 4^^

les deux premiers sont inférieurs, et les seconds supérieurs à Tunité [abstraction faite des signes]. Donc» dans toutes les racines de l'équation (2), la partie réelle œ, ou le coefficient y de |/rr. se réduisent à zéro. En d'autres termes, cette équation a seulement des racines réelles , et des racines imaginaires ^oihi la partie réelle s'évanouit.

Lorsqu'on réduit les constantes a et c h \db i , les équations (a) et (5) coïncident toutes deux avec Tune des suivantes

(8) «<«g» = -;7î:;zT. (9) tangs = --;^j-^.

Donc chacune de ces dernières admet une infinité de racines , qni , prises quatre [i quatre, sont de la forme

(^lo)

K désignant une quantité positive; et n'a point de racines imaginaires dans lesquelles la partie réelle diffère de zéro. La remarque que Toq vient de faire est très-utile dans la théorie des vibrations des lames élastiques, attendu que la forinule à l'aide de laquelle on détermine ces vibrations , a pour second membre une foo^tlon des racines 4les équations (8) et (g).

^6.* Sut tes racines de C équation tangcs; = f{zy

Considérons maintenant l'équation

tang cz = f{z) ,

c étant une constante réelle , que Ton peut toujours réduire » en changeant , s'il est nécessaire » les signes des deux membres , à une quantité positive , et f[z) désignant une fonction quelconque de la variable z • Si cette fonction , étant réelle » conserve une valeur fibie, toutes les fois qu'on attribue à z une valeur positive ou négative, et supérieure (abstraction faite du signe) à uâf limite donnée t, l'équation (i) aura certainement une infinité de racines réelles. En effet » désignons par n un nombre entier quelconque supérieur à la somme

Comme on aura

il est clair que , si Ton fait varier z

depuis

ou depuis

ÏT

jusqu'à

dans Téquation (i) présentée sous la forme

tangcr — f{z)=o ,

le premier membre passera» en même temps que le terme tang es , de l'infini négatif à Tinfini positif, ou réciproquement. Donc il s'évanouira dans rintcrvalle; d'où

(5>« ) il résulte que réquailon (i) admettra au moins une racine positive conTprise entre leslimites

et une racine Efi^ative comprise entre les Umîtos

-tI'^+t)"' -tI^-t)'

Donc» puisque le nombre entier n peut croître indéfiniment, l'équation (i) admettra une infinité de racines réelles » les unes positives» les autres négatives.

II est important A^dMefver que la limite l existe ^.toutes les fois que les racines réelles de l'équation

80ot en nombre fini. Donc i si cette condition est remplie , les racines réelles de l'équation (i) seront au contraire en nombre infini. Cest ce qui ^arrivera en particulier» si l'on prend pour f{z) une fonction réelle et rationnelle de la variable z » c'est-à-dihe si roQ suppose

î{z) et ¥{z) désignant deux fonctions réelles et entières de la même variablcr Alors le nombre l ne sera autre chose qu'une limite supérieure aux valeurs numériques des racines réelles de l'équation

Si^ pour fixer les idées» on prend successivement f(z) = z, f(z)=az, J\z)=az + b, f{z)=^, f^z) = aÇ^^..

et, si Ton remplace en môme temps c par l'unilé dan^ le premier membre de l'éqnalion (i) » on se trouvera ainsi ramené aux équations que nous avons déjà traitées , et l'on reconnaîtra immédiatement que chacune d'elles admet une infinité de racines réelles po- »llves et Me racines réelles négatives.

Revenons maintenant au cas où» la constante c étant positive^ la fonction f{z) , a

Tine valeur quelconque. Alors , si l'on remplace z par ûs+JV^m * x ei y élanl drs variables réelles, ou pourra supposer

n^-\-yyr^) = P + QV^r

P, Q (lésiganat des fondions réelles des variables x,y; et l'équation (i) donaen

P + Çv/^=lang(cx + cjv/^)= -

sîna<?d?+-(«*'^-«-'*^^)V/^i

ou l ce qui revieirt au même.

asin 2ca;

e^^y-^^cos^cx

^«*r-er*''^

'^+C0S2Ci? + «-*''^

puis l'on en conclura, pour des valeurs de a; et de j, différentes de zéro.

^ Or, comme la fraction

sinucx Q 2CX y

kcy

£Zlil!l = , + ^^ + J^^)* +eic... ,

l\cy i.a.3 i.a.3.4.5

toujours supérieure à l'unité, surpasse ^ à plus forte raison, la valeur numérique dn

rapport

sinacâ; %cx

, il est clair que l'équation (9) ne pourrasubsister, si les fonctiods P, Q

sont telles que, pour toutes les valeurs possibles des variables réelles a?, j, la «râleur numérique du rapport — demeure constamment égale ou inférieure à celle du rapport — ;

ce qui arrivera , si l'on a conslamment

ou , ce qui revient au même

{Py-^Qx) {Py — Qx)>o.

DonCj si cette derni^^rc condilion est remplie « indépendamment des valeurs atlribuérs aux variables réelles <v,/, alors, dans toutes les racines de l'équation (1) , la partie réelle ou le coëfficieiil do \^TT s'évtinouira ; et cette éfjnalion n'aura pas de racini?s imaginaires qui ne soient de la forme

(Îi3)

^ désignant une quantité réelle.

Si, la condition (i 2) étant renp Ile pcMir toutes les valeurs réelles de â? et de 7* ta quantité P se réduit, pour une valeur nulle de ce, à une fonction de y qui ne puisse jamais s'évanouir, alors Ja première des ibrmules (8) ne pourra subsister pour j: = o ; et par conséquent. l'équàtiou (1) , n'admettant point de racines imaginaires de la forme ibC(/rr » .a^aora que des ruckies réelles.

Si la condition (13) se vérifie, toutes les fois qu'on attribue à x des valeurs réelles comprises entre deux limites données Xj , x^ , et à y des valeurs réelles comprises entre deux autres limites Jt 9 y* i on pourra seulement affirmer que l'équation (1) n'admet pas de racines imaginaires dans lesqufdles }a paMieréefle a?, et leooëflkieRt r de ^IT f obtiennent des valeurs différentes de zéro , et rospectmment comprises entre les limites

Supposons maintenant que la fonction f{z) soit réelle. Alors l'équiition

(.3) p+ç(/r.=/(a,+j'|/ro=/(a;) + ^/'{«)- fI/>)-4i^/''>)+etc.;. ,

* 1 • !l 1 «SaO

entraînera les deux suivantes