__ -^r'{^) + etc

Par suite, si Tea fait convergt^r j vers la limite zéro, la quarrtîté P convergera

vers la limite f{x) , et le rapport — vers la limite f\x) . Donc , si l'on pose

y = o dans la formule (la) , après avoir divisé les deux membres par j*, elle donnera

(là)

[/(^) +aj/»] [/W — x/'(a^)] > o.

Pour que la condition (1 a) se vérifie indépendamment des valeurs attribuées aux variables réelles x,jr, il sera nécessaire, et il suffira, i."* que 1a condition (i5) soit remplie pour toutes les valeurs réelles de x ; a.** que l'équation

résolue par rapport i y, ne fournisse jamais de racines réelles qui ne soient, deux à deux, égales entre elles. Ajoutons que la condition (i5) sera remplie, si l'équation

[f{x) + xf'{x)-] [/(jr) — xf'{x)-i = o

admet seulement des racines imaginaires , ou des racines réelles doubles , quadruples , etc... , et si de plus la quantité

obtient une valeur différente de zéro. Dans le cas particulier oit cette quantité s'évanouit, la formule générale

f{x)=f{o) + xf'{9x).

qui subsiste toujours , pour une valeur réelle de d comprise entre les limites o, i, se réduit simplement h

et la condition (i5) , réduite elle-même à la forme

[/'(ex)]«— [/'(aî)]*>o,

ne peut être satisfaite qu'aptant que la valeur numérique de la fonction f^{pc) devient un maximum pour cc = o.

Il est facile d'appliquer ces principes généraux aux cas où l'on suppose que la fonction f{z) est entière ou même rationnelle» attendu que , dans les deux hypothèses , les premiers membres des formules (12) , (i5] , (16) et (17) se réduisent immédiatement, 00 du moins peuvent être réduits à des fonctions entières des variables x, jr, ou de la soûle variable x.

La formule (11) et celles qui s'en déduisent ne sont pas les seules qui puissent servir à fixer la nature des racines de l'équation (1). En effet, si, dans cette équation, l'on substitue à la fonction tangcz sa valeur en exponentielles imaginaires , savoir

tane<jî =

ac»V^^^

on en tirera

puis , en posant z=:x +71/^ ,

(25) c'~"-^(cos2cx + ^/TTsina/îa;) = ^ — *^1' ,

Enfin» 81 Ton égale entre eux les modules des expressions imaginaires qui forment les deux membres de la formule (aS) , on trourera

ou, ce qui ravient au même,

Or, l'équatioo (aS) ne pourra érideminent subsister, pour des râleurs delà variable y différentes de zéro , si Ton a pour des valeurs positives de cette variable

et, pour des valeurs négatives de j.

c*est«à-dire, en d'autres termes^ si Ton a^ pour des valeurs positives ou négatives de la variable jr ,

OU plus simplement

Donc, si la condition (26) est remplie, indépendamment des valeurs attribuées aqx variables réelles x^y) le coefficient de \/rr sera nul, dans toutes les racines de Féquation (1) , et cette équation n'aura .pas de racines imaginaires.

Si la condition (26) était remplie, non pas en général, mais pour les systèmes dé va-

leurs i^éelles de x et de y comprises entre certaines limites^ on pourrait seulement affiroier que Téquation (i) n'admet pas de racines imaginaires, dans lesquelles 'la^ pairiie réelle et le coefficient de \/^ seraient renfermés entre ces limites.

L'une des conditions (26) ou (11) sera nécessairement remplie toutes les fois que Von aura

En effet » supposons que » pour des valeurs de ai et d^ j' comprises entre «ertaii^efi limites, la formule {27) se vérifie. Alors» ou la condition (26) sera elle-même vérifiée;

ou la quantité — sera positive, et par suite on pourra en dire autant, jDon-seuleiBent

de la fraction — , qui , en vertu de la condition (27) , devra surpasser 16 rapport

— , mais encore de la somme

Or, si Ton multiplie par cette dernière somme les deux membres de la formule (27) , on reproduira la formule (ii). Cela posé, il est clair que, dans l'une et l'aulrè hypothèses, toutes les racines imaginaires de l'équation (1), qui ne seront pas de la forme "àz^^^ , offriront des parties réelles et des coefficients de (/!T situés hors des limites données. Si la condition (27) était remplie pour toutes les valeurs possibles des variables x et jr , l'équation (1) n'admettrait que des racines réelles, ou des racines imaginaires de la forme dt:K\/T^ .

On pourrait joindre aux formules (26) et (27) une multitude d'autres formules propres h signaler dans l'équation {\] ,. toutes les fois qu'elles se trouveraient vériiGiées « Tal^sf oce de certaines racines. Ainsi, par exemple, comme, en vertu de la formule (24)1 on aura , pour toutes les valeurs de jr différenles de zéro ,

4^/ cy V^[(i+Ç)'+P'].i/[(i-Ç)'+P'] •

et par suite

0a , co qui revient au même ,.

(3>7) it e$l efalir que» si la eondilion

(«9) •7<cv4(iH-Q)*+P']V[('-Ç)* + ^*].

$c (rouve remplie , indépendamment des valelirs attribuées aux variables a; et j ^ Vé^ quation (i) n'aura pas de racines imaginaires»

Obsenron» encore que Téquation (25) » qui peut être présentée sous la forme

(3o) g-"J^(co8a cas + t/T8iDacie)= ,^^Qy^p, »

eotraine les dew suivantes

v5i) c"*'^cosîJcaî=^ -; — -^ — V- » e^*^ysin2cx= ^, rr- — =r-,

et que Ton tire de ces dernières » coiçbinées avec la formule (34) ,

[58] C0S2Ca;=: —-7 — r —- 7^ -rr ;r-r , Sm 9 CX =

On aura en conséquence^ pour toutes les valeurs de x différentes df zéro, .X2X ' 8ioa#x P 1

Donc, puisque le rapport

sînarx

acâ;

est toujours inféiReur à Tunité [abstraction faite du signe] » on pourra en dire autant, «i la variable x n'est pas nulle , de la fraction

Ci» V^[(i + Ç)»+P'].l/[(«-<?)'+^'] '• Donc , si la condition

se trouve remplie , indépendamment des valeurs attribuées aux variables x, y, Téqua-

tion (i) n'aura pas de racines imaginaires» dans lesquelles la partie réelle diffère de zéro.

En général , soit

(55) ff[x , y t e*''^ , COS2CX, siù^cxl

une fonction des quantités x, j^ t^'^y ^ cossccc, sinscx, qui, par sa nature j doire toujours rester supérieure à un certain minimum A\ ou inférieure à un certain maximum B ; et désignons par

ce que devient l'expression (55) « quand on y substitue, pour e^^y ^ co%%cx et sin2C2;, leurs valeurs tirées des formules (34) et (32). Il est clair que» si la condition

ou

se trouve remplie pour toutes les valeurs de x et de j' comprises entre des limites données, l'équation (1) n'admettra pas de racinct imaginaires, dans lesquelles la partie réelle et le coefficient de j/IT soient renferma entre ces limites.

Il est bon de remarquer, 1." que la formule (26) ne peut être vérifiée^ sans que la formule (29) ne le soit aussi; 2.* que les formules (29) et (34), lorsqu'elles ont lieu simultanément, entrafn<snt la formule (11).

Au reste, l'utilité des diverses formules analogues à celles que nous venons d'établir dépend surtout de leur simplicité; et, sous ce rapport, les formules (26) et (27) paraissent préférables à toutes les autres.

Concevons à présent que, dans l'équation (1), la fonction f[z) soit réelle, et se présente sous la forme fractionnaire

Posons d'ailleurs

(38) f(x+j'V^-)=r4-*v/-. ¥{x+y{/-i)=B + Ss/r:.

r, s, B, S désignant des fondions réelles des variables x,jr. On trouvera

(39) JK'^'^yv-')— r{x+yyT,)~ iix+y\rr).F{x-:y[/r,)

(3»9) (ni , ce qui reTieot au même ,

(r-^syTi) {R'S\/ri) Rr+Ss + {Rs-Sr)\/Ti et Ton en conclura

Par suile, les formules (m) et («7) pourront être réduites h

Rs-Si

Rr-^Ss

Rê~Sr

lancez

-FW

Donc Téquation

n'aura que de» racines réelles , si le rapport

Rs-^Sr

est négatif; et elle n'admeltra pas de racines imaginaires dans lesquelles la partie réelle diffère de zéro, si la valeur numérique du même rapport est inférieure à celle de la fraction I

Rr + Ss

Il est bon d observer, en passant, i.^ que, la fonction F (ce) étant supposée réelle, le produit des deux facteurs

F(x+jV/T), F(a:-yv/.T)

est toujours une quantité réelle et positive , égale au carré du module de chacun d'eux , en sorte qu'on a généralement