que, pour obtenir les binômes

(48) Br + S^, nê — S>r,

renfermés dans (es formules (43) et (43) » il suffit de chercher la partie réelle et Iv coenicient de \/T^ dans le développement du produit

Ajoutons qu'en vertu de la (Winiule (4) , i'équfltton («s) derle&t

(ôo) .c.^rr. F(z) + v/r.f(4

n pourrait arriv.er que le binôme (5i) F(î)4-V/"fW

fï^t décomposable en facteurs imaginantes de |pême forme que lui» en sorte qu'on eftt

(52) F{z) + v/Tf (^) = [F.(*) + ï/r7f.(2)] [F.(^) 4. ]/-U{z)]... Admettons cette hypothèse » et posons en outre

( f.(aî+7V/^)=n + «il/^ » fa(a5 + JlA ) = ••.+*. V^f etc.. .

( F,(a5+-jv/::)=7î.4-5.»/-T. F,{œ +y ]/T,) =z R,^ S,\/r^, eic....

/-, , «I ; r^f *. » etc.. , iB, , 5. ; iBa » 5, * etc*.. , désignant des fonctions réelles des variables x,j. L'équation (5o) se présentera sous la forme

et Ion en tirera

, ^cw^ F.(g) + V^ifiW t'>W+V"if.(0 ^ ~ F.(2)-ï/r,f.(z) F,(^)-i/r,f,(z) - '

;55] 6"'*^' (co82ca:v/-i smacœ) =-^ r-z t^ j. t-z — =- ...

Enfin, si Ion égale entre eux les modules des expressions imaginaires qui forment les deux membres dé la formule (^5) « ou plulôt les carrée de ces modules , on trouvera

ou, ce qui reTtent au, même ,

Or, il est clair que l'équation (i) ne .pourra subsister , pour des valeurs de j diffé^ rentes de zéro, si l'on a simultanément , pour des valeurs positives de la variable j

^.*, — iS,r, < o , iîa*a — 5ar, < o , etc.,

et , pour des valeurs négatives de la même variable ,

BiSt — 5tr,>o, B^s^ — 5,ra>o, etc..

c'est-à-dire, en d'autres termes, si Ton a, pour des valeurs positives ou n^atives de jr, (58) ^^^ <; o , __^— < 0 , etc.*..

Donc, si ces dernières conditions se trouvent simultanément vérifiées indépendamment des valeurs attribuées aux variables réelles x^jr, l'équatien (54) n*aura pas de racines imaginaires.

Afin de montrer une application des formules qur précèdent , considérons Féquation que M. Poisson a donnée à la page SjG du XIX.* Cahier du Journal de l'École royale polytechnique , t^'est-à-dire l'équation à laquelle se rapporte la distribution de la chaleur dans une sphère composée de deux parties de matières différentes. Si l'on fait , pour abréger ,

cette équation deviendra

[X(X-)-ft)s* — a(/i-4- 0]2COS« sillfiz

— [>« + (> + f*) (A + l)]2*C08ZC0S(iZ