Ar— i)s»4-«(A — *+i)]8in»8infiz
— \\a{^k—' i) — (X-j-i») (A — *-f- i)]» tmzcoty-f=-Q ,
( Saa )
> , ft » A , £ désignant des constantes positives , et « une contante réelle supérieuve k — 1 ^ On aura par suite
tes valeurs de F {z) et t[z) étant déterminées par les équations
F(î() = Xs[8C«8» + (fc — 1) sîn*] , f («) =zcosz + (A— 1) sinz + ^ (* cos^ — sin«) .
Or, si Ton attribue & F{z) » £(2) ces mêmes valeurs, et si l'on fait, pour abréger le produit (49) se réduira évidemment à
f (tt) F {v) =
^(dP-yy/Ti) j[fi.costt'f (A-i)sini£3[i»eos«+(A-i)8in9]+A{ttCOSii-»iiitf)(ocoso-siD9) j — XAAJ(a5-^y^/ri)flina^inv-f'<«t>[ ■ v^I j L
De plus , si Ton divise par y . le coefficient de ^/H* dans le produit en question , Ton obtiendra pour quotient ia Aomm^ des trois quantités
-— ^[aco3tt + (^ — i)sina][»oo8v + (A— ijsinv] , — XA(ttcosu — sinu) (vcosv — sînt?) ,
fiic\ \4lI ' ' sin(ayi/.",)| Ikh
(65) >&A (siausmv^-tt'v — ^-^ — i}=: —
. cessa;— te* 4- y*)
Enfin , il est clair qu'en vertu de la formule (47) , les produits (63) et (64) , dans lesquels les coefficients do — X et de -^-XA coïncident avec les carrés des modules des expressions imaginaires
(» H-ri/^) C08(aj+j'v/rr) 4. (A— 1) sin (aj+^v^^) , (a> 4- jr |/n: ) CO8 (a> +7 v^ ) — «0 (œ 4. j' v^T), ,.
( Sa5 )
seront toujours des quantités négatives; et, quant au produit (65) « comme on pourra le présenter aott» la forme
il se réduira pareillement, dans tous les cas, à une quantité négative. Donc la condition (49) sera vérifiée pour les fonctions F (s) , f (2) déterminées par les équations (61). D'ailleurs^^ si Ton remplace F (2) par ( ^ + f^) ^ » ^^ f (^) par « • I& condition (42), réduite à
s^a encore vérifiée , si a est positif Donc alors elle sera remplie , pour les deux facteurs qui composent le second membre de l'équation (60) , ou , en d'autres termes i les ccmmIitions (58) seront satisfaites pour cette dernière équation. Donc , lorsque la constante a sera positive , Féquation (60) n'admettra paa de racines imaginaires.
Revenons maintenant à l'équation (Sg). Cette équation pourra être réduite à
les valeurs de f (2) et de F (2) étant toujours déterminées par les formules (ûi). Or, si Ton nomme PdcQ [/^ le résultat de la substitution de x dzjr\/TT à la place ' de z, dans le second membre de l'équation (66) , la différence
lie sera autre chose que le coefficient de y^ dans le développement du produit
^(«+yi/-)(i»-Ov^) = -;^«(^~<?V^)-
On aura d'ailleurs
puis, en ayant égard aux formules (61) , et faisant, pour abréger.
[(i+fi)ttF(tt) — «f(tt)K(^4-(»)«F(t>) — «f(«)] = «*Mv,
( 5a4 ) OB trourera
(71) K:-«j:p,-Q|/:i) = j(X4.p)f(«)4.«I^| [(i + ^)«.liiil-«f(«>j..
= X (X+f^)* (^f y V^-î) ' I [^ C08a+ (A;- 1 )sintt] [DCOStH* {k- 1 ) sin9]+A (acosa-sioa) (fK:08-8iûv)-Msinasîn9 { ,
4.X*(X4-ft)a(a5 4-J'l/^)-[«*co*«+ (A,— 1) sîna][v C08v4- (A— 1) wnr]
— Xa* j[ttC08a+(^-i)sîaa][ocosv+ (A:-i) sini?] + A(ttC08tt-8intt) (oco8o-8ia9) -AAsiiiusinr J ,
et par suite
(72) K^l -^j = 2X(X-f pi) (X4-.p4.X(x)[ttCOStt+(fe-i)8intt][vco8i;4-(A-i)siiLv]
+ aX(X + fA)»A(aco8tt — sîntt) {v C08t; — smv)
+ X(X-|-fA)'AA ttvf ^ 1-— 2 sÎDttsiût; l.
Or 9 il est claîrque des quatre produits» renfermés dans le second membre de Téquation • (72) , les trois premiers restent positifs , touies los fois que les quantités l, il, h, k. el 1 + a sont elles-mêmes positives. Ajoutons que Ton peut en dire autant du quatrième produit, dans lequel le facteur
(e^y-e-^y . sin2a^\ . . , , [e^y^e-^y . 8inM7\ fé^y-^e-^y \
uv\ ; r- -2smttsmv=(aî'4-.y')l V -— — -cos2aî
= x*-| xsmax + cosao; — 1+ !-= — H ^-^ z-
•a i.a I 3 a ao; ^ ) i.a.3.4 5
i.a.5...aR I an + i 4
est encore positif » attendu que l'oa a, pour des valeurs quelconques de Xi et pour une valeur de n égale ou supérieure au nombre a ,
{J3) a'^ «sinaœ + CM»x — i= I x
Ed effet, la condition (76) est éridemmcDt satisfaite , dès que Ton suppose n > 9. De plus, pour établir les formules (yS) et (74) , il suffit d'observer , 1.* que la fonction 2' — stn'a: est tonjotrs positire; a.* que l'on peut en dire autant de la fooclion
, sinss k t l * \ . . j
a+cosaœ — S = — # 1 sin'ajrfa: ,
^x X J \ tang»;
qoi s'éTanouit pour s^=o, crott ensuUe, aTec le bioomo i , depuis' a: = 0,
^ ^ lang* '
jusqu'à « = — , et reste supérieure, quand on presd a: > — , ti la quantité
n suit de ces direrses remarques que la condilîou (97) sera vérifiée pour i'équalion (66) , tant que les quantités '
X , (• , A , A et 1 4- «
Ksteront positives. Donc l'équatJon (66) ou (69) n'aura point, dans l'hypothèse admise, de racinei imaginaires , & moins que ces racines ne soient de la forme y \/^ .
Il reste h sareir dans quels cas on pourra satisfaire h l'équation. ($9) ou (60) , «a sup.-. posant (76) z = y^.
Or, celte supposition réduira l'équation (60) à
put», en prenant a^s — i, et faisant , pour obréger ,
.,r.,-i; X .iTt.->"W.Jt.-J- ,r.,-r ^^, )-,-,>
ap;t \ a a;'- y
( 3a6 ) OQ tirera de la formuie (77)
\ (l g^^-fg-^y
— ft |-^(>-tM)j'*
De plus 9 comme chacune dés quantités
ey-e-^y ef^y-ê-i^y ey+e-^y ey^-e-y ef^y+e-f^y e/^y-e—f^y
%y ' 2f*^ * a ay ' a a^y
est nécessairement positive» 3 est clair que, dans la formule (7g) , le coefficient Y de 0 sera positif» pour des valeurs positives de 1 » ^a , A » A » et le second membre négatif. Donc alors cette équation nef pourra snksiste^» à moins que l'on n'ait 0 < 0. Donc l'équation (Sg) ou (60) n'aura point de racines imaginaires, si les quantités
(80 j ^, p, A, k et e=i-|-oc
sont toutes positives; ce qui a effectivement lieu, dans la question de physique mathématique à laquelle cette équation se rapporte.
Il ne sera pas inutile d'observer que l'équation (5g) , dont toutes les racines sont réelles, comprend, coiHme cas particuliers « d'antres équations plus simples qui jouissent de la même propriété. Ainsi » par exemple , si Ton pose successivement
A = oo , A = oo ,
on en tirera
(81) (tangr-^*) [tang^ts — ^Jlxj = o,
(Ça) uag^, = i^±il^fli;
On trouvera» au CoûCi^âiré^ en posant A =0 et Â; = o
( 5«7 ) Les trois équations précédentes peuvent être réduites h ccJIes que nous ûtod$ déjà con*sidérées dans les paragraphes 2 et 4-
On trouvera encore , en supposant a = o , [d^) ><'cos2siops- (A+i)2C0S2C0SfA2+^(A-i)28inf.sinfi«+(A-A'f i)siosco»fAS = o , en supposant « = 00 ,
(85) Xx>cos«co8^«+(A + i)«cos«8m(ir+>(A- i);ssîn2C08fA*-(A-^+i)sin«sinpï = 0 ,
en supposant fx = 1 ,
[X{X4.^) (À — i)«»4.«(à — A4.j)]tang«s
(86) \ 4-[l(i + (»)«» — «(A + i)— 1«(A — i) + (X4.p)(A— A4-i)]slanga
enfin , en divisant par h , et supposant — c=: o , — = 1 ,
(87) tangfA«-|->tang« = ^«(i— Xlang^.tangfA^).. ou, ce qui revient au mépoe »
l OoJ . = r- * .
s-AtaDgstangfti; i-9 .
Chacane de ces diverses équations a toutes ses racines réelles, lorsque les quantités (80) sont toutes positives. De plus , si , dans la formule (88) » on pose successîveraent 0 = 1, 9 = 00 , on obtiendra les denx 'équations
(89) î — X tang^ tangfi « == o ,
(90) taàg f* 2 + ^ tang» = o ,
dont toutes les racines seront réelles » pour des valeurs positives des constantes X et fA ; ee qu*il serait facile de prouver directemcuily à l'aide de la condition (s6), qui se* trouve vérifiée quand on prend pour f{j) une des deux fonctions
T- , — Xtangj.
X tang t
CoastdéroDS encore l'éqaation
az sins^rc""*^— « ,
qui p^ut être présentée sous la forme
On aura> dans ce cas particulier.
tangz =
fl*a?*+(fly+i)»
et par conséquent la formule (^7) se trouvera réduite à
sa-j- — > o,
De plus, comme 9 en prenant z=iy^Tt , on tire de l'équation (91)
y{er^e-y) '
il est clair que , si Ton attribue à là constante a des valeurs positives , Téquation (91) n'admettra point de racines imaginaires de la forme y\/^ • D'ailleurs, dans celte hypothèse., la condition (93) sera vérifiée, pour toutes les valeurs positives de la variable j« et pour les valeurs négatives de la même variable situées entre les
limites — 00 , . . Donc alors , dans toutes les racines imaginaires de Téqua-
tion (91) , le coefficient de \/T^ sera nécessairement négatif , et renfermé entre
les limites o , — * — . Ajoutons que cette équation , qui peut s*écrire comme il suit
aa
a2^sin2 — cos^ + y/TT sîn s =0,
aura une seule racine réellp, savoir z = — , ou n*en aura aucune, suivant que le
rapport — quelconque.
sera ou ne sera pas de la Terme n ;r , n désignant un nombre entier
^ "^.^ Sur Us racines de t équation langZ = /(2), dans laquelle Z et f{z)
désignent deux fonctions distinctes de la variable z ,
Soient Z, f{z) deux fonctions quelconques de la variable ::, et considérons l'équation transcendante
(.) langZ = /(s),
que l'oq peut aussi présenter sous la forme
(2) tangZ — /(«) = o.
Il est facile de voir que cette équation aura une infinité ^e racines réelles, si, les fonctions Z , f{z) étant supposées réelles ^ les racines réelles de l'équaiioa
spnt en nombre fini ; et si de plus, tandis que la valeur numérique de z devient Irèsgrande, la fonction Z s'approche indéfiniment, en restapt .continue, de l'une des limites — 00 , -f- oo . En efiet , concevons que ces conditionssoient remplies. Alors , si Ton désigne par n un nombre entier très-considérable , on pourra satisfaire par des Taleurs réelles de z , soit aux deux équations
soit aux deux suivantes
et, si l'on nomme 2^, • ?, , les valeurs dont il s'agit, il suffira de faire varier z entre les limites 2, , ?, , pour que le premier membre de l'équation (2) passe de l'infini positif à Tinfini négatif, ou réciproquement. Donc ce premier membre s'évanouira dans riatervalle , et l'équation (1) ou [*a) aura au moins une racine réelle comprise entre les limites 2; = ^s , c = 2, . Donc , puisque le nombre n croit , avec les valeurs numériques de. z, et de 2, , au-delà de toute limite^ Téquation (1) admettra une iufinilé de racines réelles.
On ne pourrait plus en dire autant , si , pour de très'-grandes valeurs numériques de U variable z , la valeur numérique de la fonction Z ne pouvait surpasser une certaine limite A . Ainsi , par exemple , dans l'équation
que fournit la théorio de l'équilibre d'uae masse fluide homogène douée d*ua mouvemont de rotation , la râleur numérique de la fonction
ne peut surpasser un certain maximum
fC
1, aoi. .. = (o, 7649...) — »
correspondant à la Taleur réelle a^SaS • • • de la variable 'z , c'est4i-dire , k la racine réelle de Péquation
Par conséquent » dans Téquation (6) , la valeur numérique^e la variable t supposëf nielle , ne peut surpasser le nombre
tang(76", 49^) = ^»583...« D'ailleurs , si Ton présente cette équation sous la forme
(9) r \i^f X arcUûg2 = o,
on reconnaîtra que le premier membre , qui s'évanouit pour z=z o , et qui a pour dérivée la fonction
8i + 99«*+45^*-?«* 1 St^jZ'Z*)
•1^— ^— •»iw^-^^
décroît depuis 2 = 0, jusqu'à z = ^/7 , obtient , pour z = |/T = i ,75^ . . . 1 une valeur minimum qui est nécessairement négative , et croît ensuite depuis z = 1 ,73s... jusqu'à z = 9»583. .. , en passant du négatif au positif. Donc l'équation (6) aura une seule racine réelle, comprise entre les limites 1 ,732 . « • et 8,583 ... ; ce que M. Laplace ovait défà prouvé , mais par une autre méthode , dans le seeood volame de la méeanique ctieste. La racine dont il s'agit a pour valeur très-approchée le sotDbrs «,5a9«
( 3^1 ) Rerenbiu maintenant au caa où les ibnctiont Z , /(s) ont 4e§ Taleura ^uelcoB^oeK Alors , si Ton templace z par a; 4*7 V^ • ^ ^7 ^^^^ ^ rariablea réetk« , on pourra f uppoaer
(jo) Z = ilf + iVv/7. /(a5+7»/") = '' + Çv/^'
M t f^ , P, Q^ désignant des fonctions réelles des variables x, yi et Féqaation (i) donnera
(il) P + Ç|/:: = tang(Af + iVv/-) =
co8alf+}(e*%«"'^)
oQ , ce qui rerient au même »
(ij) f'ss — ^- ■ , v= — ,r ■ ,, =- ;
^ ' #»'+aco8aJlf+e-»* e'^^+acosaM+e-»''
puis , en attribuant aux variables x^y, des valeurs qui ne vériCent pas Tuoe des équations
(i3) if = o, (i4) iV = o,
on conclura des formules (la)
sinaM Q ^'^-^-^ P
Or^ cette dernière équation ne pourra évidemmeni subsister, si Us funetions M, N^P^Q sont telles que, pour toutes les valeurs possibles des variables réelles x^ y ^ la valeur
numérique du rapport — domenre constamment inférieure à celle du rapport j= ; ce qui arrivera » si Ton a constamment
Donc» si cette dernière condition est vérifiée indépendamment des valeurs attribuées aux variables réelles x ^y » alors , dans chacune des racines de Téquation ( i ) , la partie réelle sd» et le coefficient y de {/TT vérifieront certainement ouPéquation (iS) ou l'équation (i4}-
Si la condition (i5) se trouvait vérifiée, non pas en général » maîa simptnmenipour les
»ystènies de valeurs réelles de a; et de j , compris entre certaines limites , on pourrait seulement affirmer que, dans chacune des racines de l'équation (i) » la partie réelle et le coefficient de ^Tt sont situés hors de ces limites , toutes les fois qu'ils ne vérifient pas la formule (j3) ou la formule (i4)* .
Concevons maintenant que l'on tire de l'équation (i ) la valeur de l'exponentielle e ^ ' , on en conclura
puis , en remplaçant z par œ + j' y/^T ,
(.8) e-..v(^g,j,^^.^/:;3i„,;tf)^Ll|±^
Si de plus on égale entre eux les modules des expressions imaginaires qui forment le^ deux membres de l'équation (18) , ou plutôt les carrés de ces modules, on trouvera
D'autre part , si l'on désigne par ô un nombre inférieur à Tunité , on aura , en vertu de la formule (49) du § 6 ,
-^^ , «r -40iV -40iV 1 / -.4A'\
t =i—I^Ne , e = — ^i e I.
Par suite y on tirera de la formule (19)» en supposant la valeur de N différente dn zéro ,
1 — T— ^TT-^îîr = C >0.
ou , plus simplement ,
Donc, si la condition
se trouve remplie , indépendamment des valeurs attribuées aux variables x ,j , alors , dans chacune des racines de l'équation (1)» la partie réelle et le coefficient de yC? vérifieront nécessairement la formule
( SSÎ )
Si la condilion (31) se trouvait satisfaite, non pas en général, mais simplement pour tes syslèioes de rateurs réelles de œ et de ^ comprises entre certaines limites , on pourrait seulement affirmer que, dans chacune des racines de iVqaatioo (1), la partie réelle et lé cocllicieal: de \/77 sont situés hors de ces limites, ou vérifient la formule
L'une des conditions (ift) ou (ai) sera évidemment remplie, toutes les fois que l'on aurn
Jf* 0
Donc , si celte dernière condition est satisfaite pour toutes les valeurs réelles possibles des variables x et y, l'équation (1] n'admettra que des racines pour lesquelles l'une dès formules (i3) et (i4) sera vérifiée.
Si la condition (ss) était satisfaite , non pas en général , mais simplement pour les syslËmcs do valeurs réelles de x cl de j comprises entre certaines limites, on pourrait «euicment affirmer que , dans chacune des racines de l'équation (1) , la partie réelle et le coëflîcieni de y/T7 sont situés hors de ces limites, ou vérifient l'une des formules (.5) el (.«.
On pourrait encore, par des raisonnements semblables à ceux dont nous avons fait ubage dans le § 6 , découvrir une multitude de formules analogues aux formules (16) «i (91) , et qui seraient propres è signaler, dans l'équation (1), toutes les fois qu'elles se- trouveraient vériGées, l'absence de certaines racines.
Pour appliquer les principes exposés dans ce paragraphe è un exemple , considérons en particulier l'équation
(ï3] tangz' = s ,
à laquelle on oe peut évidemment satisfaire que par des valeurs réelles de : , ou par des valeurs imaginaires dans lesquelles la partie réelle difl%re de zéro. La formule (91) et l'équation (i4) donneront respectivement
(ï^) X <0 , ' (a5) xjr = o ,
cl l'on en conclura quo , dans chacune des racines imaginaires de l'équation (u'ij , Ja partie réelle est positire. Si h l'équation (aS) on substituait la suivante
(*6) taBgt'=:zv/T7,
( 5S4 ) alors le» fermules (si) et (i4) tlonneraient
et» coiuvie éTidosuoeat Téquatioo (a6)i ii*a point de racines réellei, on serait amené à. conduce <|ue le coefficient 4q \f^ est positif dans totiles les racines de cette équation qiii ne sont pas de la forme y \/^ •
S 8.* Sur lu raeifUê de Cé^uatian c^^^=/(«).
Soient toujours Z » f{z) deux fonctions quetconques de la variable z . Considérons d'ailleurs .une équation. transcendante qui renferpe les lignes trigonométriques
stn Z = 7= , cosZ = — p— — — — tancZ =— -. , eic... :
et supposgyns que cette équatioa. résoliie par rapport k TexponentieUe c^^ \ se réduis» k
Si Ton j reaiplace z par x -f- J^i/hT * œ a* J diésignant deux Tariables réelles , on troufera» en adoptant tonfonrs^ les neUtion» du § 7 ,
ou , ce' qui rerient au même ,
(3) e-"^(cosJlf + v/nsiatf) = P+(?v/-T; et par suite
Or, on conclura de cette dernière , par des raisonnements semblables k ceux dont nous avons {ait usage dans lo paragraphe précédent » que les valeurs des variables x» j vé * rlGent la condition
toutes les fois qu'elles ne réduisent poa k sera la fonction A^ . Donc , si la condition
M iraure remflie » kidépeodtfmneiii d«s rateurt atlrîbuéet mu TtriaUet 0 • jr » alors , daos chacooe dea racÎMa de Téf iiatiott (1 ) • la partie rialb « el le coefficient y de |/^ férifieroait •éoeaiwreoaeat la formule
Si la condition (5) ae irouTait aaliafaite, non paa en général » mais simplement peur les systèmes de valeurs réelles de ad et de j comprises entre certaines limites , on pour* rait seulement affirmer que , daos chacune des racines de l'équation (1) > la partie réelle fst le coefficient de ^/tT sont situés hors de ices limites » ou Térifient Téquation (6).
II pourrait arriver que la fonction y*(s} fikt décomposable en plusieurs facteurs, en lorte qu'on eftt
Admettons cette hypothèse» et posons en outre
(8) /.(x+JV^)=P. + Q.V^, /•(«+J^-T) = P. + <?*l/-T» etc...,
^1 f <?i ; Pa » Q> . etc. • . , désignant des fonctions réelles des variables x , y. L-éqaation (1) se présentera sous la forme
et la formule (5) deviendra
(.0) (P.'-HQ.')(P^'^gO-...-. ^^
Or , cette dernière sera évidemment vérifiée » si l'on a constamment , pour des valeurs positive^ de N »
i*.* + <?•• > I , i*.'+<?.* > » . etc. . . ;
et, pour de* rateun négatirea de N ,
i»/-hQ.*<i, /».*+<?.•<». etc...;
c'est-b-dire , en d'autrea termea , ai foa a , pour dea valevra poaitivea ou négatives de la roDction N ,
[lo) -^ >o, -^ >o, etc
Donc, si oe« dernières conéition» sont yériiTées, indépendamment des valeurs attribuéej> aux rariables oiy, y , alors, dans chacune des racines de Téquation (i) t la part^ie réello X , et le coefficient jr de \/T^ » vérifieront nécessairement la formule
(i4) ff = o.
Si Ton tirait de Téqualion (i) la valeur de tangZ , on trouverait
puis on en conclurait, en remplaçant z par » +7l/^ '
(i6) tang(Af4-iVv/n')— ^^ p..ç> + ,+aP<?v/:-i "" i/r^ (P»-Ç» + i)'+4P'Ç' ' ou , ce qui revient au même ,
Cela posé, on raisonnant comme dans le § 7 , on prouver^ que la valeur numérique du rapport
4PÇ
doit rester inférieure à celle du rapport
pour toutes les valeurs des variables ar, j qui ne vérifient pas l'une des équations
Donc,. si Ton a , pour des valeurs de œ et de j^ comprises entre certaines limites,
siois , dafi« toutes lei racines de Téqnation ( i ) » la partie réelle et le coëlBcSent de \^ , derroDt être flluëa hors de ces limites» ou Térifier l'une des équations (i8)« Ajoiitoni ({OC Tune des conditions (5) ou (19) sera nécessairement remplie » si Ton a
(20) ~îr-4-
On pourrait encore joindre aux formules (5), (19) et (so) une multitude d'autres formules qui seraient également propres à signaler, dans Téquation (1)^ l'absence de certaines racines , et que l'on découvrirait à l'aide de considérations semblables h celles dont nous avons fait usa^e dans le § 6. Au reste ^ l'utilité de ces formules dépendrait surtout de leur simplicité; et , sous ce rapport , les conditions (5) » (1 9) et (90) paraissent devoir être employées de préférence*
Pour montrer une application des principes ci-dessus exposés» supposons que Téqua* tion (1] coïncide avec la suivante
. . «•" z-^a\/Tt z^h\/Tx z-^-c^t
li 1 ] , t = ■ ^ ■.,' ^- -z:- • • • »
z^ayTi 2-^|/.i z-cyTi
a, bp e,,. désignant des constantes réelles. On aura^ dans cette hypothèse»
Déplus» les conditions (i3) donneront simplement
(s3) * «>o»6>o» c>o» etc. . . ;
et par conséquent» si les constantes a, b , e... . sont toutes positives » l'équation (si ) n'admettra pas de racines imaginaires. C'est ce qui aura lieu en particulier pour leé équations
«•n jr+tfl/Ti .«•^ «+flV/"i Z'¥b\^\
*•-• »+q^Aï t+gyAi «+g|/-i
z^ay-i z^by.i z^cyTi ^ui peuvent s^écrire comme il suit
(aS) tang — 2 = — , tang — » = -^ V» lang — ^ = -^7"; — ir rT"» ®^c-
( S38 ) Si l'on supposait , dans l'équation ( i ) , /(ï) = o , alors , celle équalion étant réduite h la ibraio
l'équation (4) rlonnerall c-»^ = o, et par conséquent
