DES RACINES D'DNE ÉQUATION ALGÉBRIQUE OU TRANSCENDANTE

Supposons que Ton désigne par x^y deux variables réelles, par zr=zx^y^^ une variable imaginaire , et par t{z) % F (s) deux fonctioos quelconques de c. Soient de plus

celles des racines de l'équation

dans lesquelles la partie réelle demeure comprise entre les limites x^, X ^ et le coefficient de i/tT entre les limites jo > Y. On aura , en vertu des principes du calcul des résidus »

Le second membre de l'équation (3) est évidemment la somme des fonctions semblables de plusieurs des racines de Téquation (2]. Si l'on veut que les différents termes, dont se compose cette somme , se réduisent aux valeurs particulières de la fonction r (c) qui correspondent à s = 2, , s = z, . . • , s = tr^ , il suffira do poser

OU plus généralement

j/ [z) désignant une fonction de z qui ne devienne pas infinie quand on attribue ^ la variable z une des valeurs 3, , ;,. , . . , ««,. Cela posé^ on trouvera

Le« forinales (6) et (7) s'éten^eot au cac méiM 6b l'équation («) «Ufalt de* racine* ^ff^. Supposons en effet que les racines t, ,:»>>», z^ deviennent égales entre elles , et désigoon» par C leur râleur comoinne. Les fonctions

i^évanouiront pour e == C , et lo rapport

«Mv^kAfc

étant développé suivant les puissances ascendantes de *t , aura pour premier xtermo le produit

?(o TT — ' =-^i^y

FC/i)(ç)

Donc le rééldu de la fonction

correspondant à la valeur s = C« sera précisément le produit ^fftf('C), a^iqttel ou réduit la somme

en supposant r, =:::^, =••• =««. Le même raisonnement est applicable à la formule (7)'.

Si Ton admet que la série (i) comprenne toutes les racines de Téquation (a)» on pourra prendre " '

et les formules (6) et (7) deviendront respectivement

li iaipcrtè «Tobwwer qqiy Iw €q«ati»w (6>. (7). (S)» (9) * pwmnt êlw en «*o4wl nrétenlées tous le» fbrmM.