FÎT

Ajoutons que » si le résidu de la fonction

(•4) TTT^ " <*" <'^)

correspondant à une râleur nulle de t, se réduit k une consUnle déterminée , on lirera de la fennole (la) ou (iS>, eombinéeavec l*équation (6) delà page i34,

O7) fC*.)^f (*.)+••• +»(•-)=<-'

( 5Ai )

Les équations précédentes se simpliGent dans plusieun cas qu'il est bon d^iiulu|ucr. Ainsi» par exemple » lorsque la fonclion

(i8) ?(0F'(«) ou (19) A^)r{z)—^{z)¥{i]

conserve une valeur finie pour toutes les ynlcurs finies réelles ou imaginaires dr a , on tire des équations (10) et (ji)

des équations (12) et (i3)

(.5) ,(„) + ,(,.■)+...+,(..) = £ ((tC)r-W-H.)n»)j| ,

enfin des équations (16) et (17)

(«5) ç (2. )-|-ç («,) + .., -fç(s») = <^ ^ -— .

De même encore , si le produit de la variable s par la fonction

s'évanouit pour des valeurs infinies réelles ou imaginaires ie z , le résidu intégral de cette fonction s'évanouira « et l'on tirera de la formule (is) ou (i3)

(«8) f(s.)+?(xO + - + H-) = -<î^-^^^^T^y^.

(59) ?(^.) + ?(«.) + ••• + ?(«m) =— C pT^x — : •

Si le» deux fondions F'(z) et ^[z) conservent des valeurs finies , pour des voleur» quelconques de r , on aura évidemment

et par suite Téquation (si8) ou (29) donnera Concevons maintenant que , dans les formules (s4) et (sS) , on pose

(5l) ^{z)~zn

n étant un nombre entier quelconque. Les premiers membres de ces formules se réduiront à la somme des n"*' puissances des racines de l'équation (a); et, si Ton désigne par •

la somme dont il s*agit , on trourera

Les équations (35) et (34) supposent 1.* que la fonction

(55) F'(*),, ou (56) F'(*)-iiilF(z)

«oaserve ane valeur finie , pour toutes los valeurs finies réelles ou imaginaires dt - j^ ; ^* que le résidu de la fonction . .

^«•ftp

eorrespondant k une valeur nulle de s , se râduil k um constante déterminée. Admettons d'ailleurs que la fraction

obtioDoe , pour une valeur nulle de z , une valeur finie a . La différence

8f*évauouira pour 2 = 0» et ai Ton fait

00 tirera de Téquaiion (33)

— a = zi ,

puis» en remettant, au lieu de Z, . sa valeur tirée de la (brmule (4o), savoir

"['■HtI]

• dz

éi

on trouvera définitivement

On arrivîBniîlt au «lémerésvhat eu remplaçant ^ dans la formule ^54) » in #»Action f ( <.) par le produit az""^«

lorsque la (baolion Z eonterfe um valev finie pour 2 s: o » alors , en désignant par t nne quantité infiniment petite » et ayanl égvrd li Féqi^ition (So) de la page 16 , on tire 4o la forinule (4t^)

Concevons encore que • dans jia formule (00) » on pose ^ (^) :^ — . Le premier

membre offrira la somme des racines de l'équation (9) » élevées chacune à la puissance du degré — n ; et , si Ton désigne par

(45) ê^n = «,"» + *»""* + "••• 4- «!•■"" la somme dont il s*agit, on trouvera * '

(46) '-=^'^^"««-))FW • ou , «« i|«i rerient an même ,

(47) '-— <^— rfr-^T(7^ •

Ces dernières formules supposent » 1 .* que la fonction F'( « ) conserve une valeur finie poar toutes les valeurs finies réelles ou imaginaires de la variable z ; 2.** que la fraction

s'évanouit pour des valeurs infinies réelles ou imaginaires de la même variable. Lorsque la fonction

^^^' F(ï) ~ dt

coDierre une valeur finie poar 9 s= o ; alors , en dé»ignant par « une quantité infiniment petite , et ayant égard )( l'équation (So) de la page 16 , on tire de la formule (47)

^■''^ ■ '-=- ..a.3...(n-.) —Srr- '

Pour rendre plus sensible rutililé des formules (}ue nous venons d'élablir , nous allons Jes appliquer à quelques exemples. ,

Supposons d*abord que F ( « ) se réduise à une fonction entière du degré m , et que Ton ait ,

(5i) F(«) =«'" + «.«'"'•' + «.«'"'"• + •.• 4-tfm-i«+««.

a, , a, 9 «.^ a^^i j a» X désignant des coëiEcients réels ou imaginaires. La constante représentée par a , dans la formule (44) * ou la râleur que prendra la fraction

pour s = o , se réduira évidemment au nombre m ; et Ton aura par suite

(52) 2«F (-i-J=««F [y] = i4-a.«-f fl,«*4-...+am«"'.

Donc , si Ton désigne par 9n la somme des n"**' puissances des racines de féquation algébrique \

(53) «""+«,»'*-»+ a, ««-• + ... 4- ««.-«» + «- = <> f on aura , en vertu de la formule (44) »

i.a.3...(n-i) di

En d'autres termes « la somme #» sera le coefficient de s" dans le développement du produit

(55) — ni (i-f-a,«-f-a,»* + ... +am«'") • D'ailleurs , on trouvera généralement

(56) l(if a,« + a,ï» + ... + a«*"»).

•^-^ — ^ (<r|2 + flj|«« + . .. + «,»«"• )« + cic.. ;

et , si Ton désigne par p, q ,,., t, N des oimbr^s entiers inférieurs à n , le coefficient de z'* dans le développement da produit

(37) -^-Jy^ («,« + «. = * + •••+«-«'")''

sera la fiotnme de§ expressions de la forme

. . (-1)* i.a.5...iy

qui correspondent à des valeurs do p , q s*., t proprés à. vérifier les depx conditions

Cela posé » on aura évidemment

(bi) ^ **2.( p+^+...+r (i.a.3...p)(i.a.3.-.7)...(i.a.3...0''' ''"•••'''" )'

le signe 2 indiquant une somme de termes semblables k. celui qui est reDfermé entre les accolfdes» et devant s'étendre à tous les systèmes de valeurs de p,q ,••. t qui vérifient la condition (6o)« L*équation (61) était déjà connue. Si Ton y pose successivoment n = i , 91=3» n = 39 etc.. 9 on trouvera

(6a) #, = — a,, #, = «»' — aa,, i3 = — ii,'4" S^i^'^»— "5a3, etc..

Concevons maintenant que fon demande la valeur de la somme

(63) 1-4 U-- U-- U-- U etc.. ,

71 étant un nombre pair quelconque» il suffira évidemment de chercher la demi -somme des racines de Téquation

(64) sinirz = o ,

('levées chacune à la puissance du degré — n, en. ayant soin toutefois d'exclure la racine z = o , ce que l'on fera en remplaçant l'équation (64) par la suivante

Cela poséj on aara, ea vertu de la finnttiilo (5o),

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