APPUQUÉES A UN SEUL POINT

Si Ton suppose h l'ordinaire ano force représentée par une longuenr porlée à partir de son point d'application sur la droite suivant laquelle elle agit , la résultante B de deax forces P,Q simultanément appliquées à un point matériel [A) , sera repré senlée en grandeur et en ^direction par la diagonale du parallélogramme construit sur ces deux forces. Celte proposition à déjà été démontrée de plusieurs manières. Mais , parmi les démonstrations qu'on en a données , les unes exigent que l'on considère de nonfeaux points matériels liés au point {A) par des droites rigides et invariables. D'autres sont fondées sur l'emploi du calcul différentiel ou des fonctions dérivées. D'autres enfin sont déduites» des relations qui existent entre les cosinus de certains angles. Je vais ici démontrer la même proposition , sans recourir à ces considérations diverses; et» pour y parvenir, j'établirai successivement plusieurs lemmes que l'on peut énoncer comme il suit

Lemme i.** iSî Con désigne par B la réaultanU des deux forces P,Q simultanémtiU appliquées au point {A) , et par x un nombre quelconque , la résultante de deltas forces égales aux produits Px , Qx , et dirigées suivant les mêmes droites que Us forces P,Qt sera représentée par le produit Bx , et dirigée suivant la Biénu droite quêta force B •

Démonstration. Soit d'abord x^=^ — , m et n désignant deux nombres entiers quelconques. On aura

D*aiilenrs on pourra considérer la composante P , ou m — , comme produite par

Taddition de plusieurs forces égales à — , et la composante ^ , ou m — , comme

Q produite par l'addition d'autant de forces égales à — . Il est aisé d'en conclure que la

(So )

résultante des forces PrQ at la néMiIlnUe du» forces Px^Qjr seront produites Fune

et l'autre par l'addition de plusieurs forces égales à la résultante de — et de ^ . De

plus, il est clair que Je« deAXK pr eiyiièp^s ré^uUanlea seroot k la deraiàr&comoie les nomlires m et n sont à l'unité. Donc la seconde résultante sera équivalente h la première multipliée par le rapport — =cc « c'est-à-dire au produii Bx.

Supposons en second lieu que le nombre x soit irrationnel. Alors on pourra faire varier les nombres entiers m et n de matitère que la fraction — converge vers In

limite x ; el il est clair que dans ce cas la résultante des forces , — ^ » toujours

T/lR

dirigée suivant U même droite , et toujours égaie à » tendra de pkjs en plus à se

confondre , en grandeur et en direction , avec la résultante des forces Px , Qx . Donc cette dernière résultante sera dirigée suivant la même droite que la force j? , et elle

m Jt aura pour mesure la limite du produit , c'est-à-dire le produit Ux*

Corollaire, Si l'on désigne par la notation (P,Ç) Tangle compris entre les directions des deux forces P et Ç , (P, /f ) , (Ç, fl) seront les angles compris eûtre le^ directions des composantes P *Q et de leur résultante J?. Celé poséb, si Ton lait

successivement Bx = P , Rx = Q , ou , ce qui revient au même a5= — , a;= -rr- ,

on conclura du lemme précédente i."" que la force P peut être remplacée par deux

composantes — et -^— > qui forment avec elle des angles égaux à {P^R) et à {Q,H),

n» PQ 2.** que la force Q peut être remplacée par deux composantes -— et *-^ » qnifenneni

avec elle les angles (Ç, Jî) et ( r , /î) .

Lemme 2. La résultante B de deux forces P, Q qui se coupent à angles droits » est représentée en grandeur par la diagonale du rectangle construit sur les deux composantes , ensorte qu'on a

Démonstration, Concevons c|ue l'on remplace la force P par les deux composantes