a,3.«. (n-i) di
£n d'aulres termes, cette somme sera le coëOicient de z'^ dans le défeloppement du produit
(76) — ni —
Ou aura d'ailleurs
""" 3 ^T I a.3 "^ "7" 1 . a. ?• 4* 5 *^ ** * ' et par suite
3 Is i.a.3 "" 7 i.a.3.4.5 "^•'•j • .
puis l'on en conclura , par des raisonnement^ pareils & ceux dont nous avons fait usage pour établir là formule (61) ,
ni {
-fr.. (i.a..p)(i.a..7)(i.a..r}.. \5 i.a.3/ \ 7 i.a.3.4*5/ \9 i.a.3.4*5.6.7/ 'j
le signe z indiquant une somme de termes semblables à celui qui est renfermé eD(re
les accolades» et relatifs aux divers systèmes de valei^rs entières, nulles ou positives, de
te
p t 7 »**»•• » qui vérifient la condition
(80) ap-f«4? + 6^-i-«. • =îw-
Si , pour fixer les idées , on prend successivement n=^a, n=:/^ , n = 6y etc.* on tirera de l'équation (79)
ou , ce qui' revieni au même ,
eiCa • « >
D'ailleurs, dous avons reconauLpage 5oo]que les racines de l^quation (73) sont loutcs réelles , mais deux à deux égales et de signes contraires. Donc , ix Ton désigne par >> ^> 7* • • les racines positives de cette équation» les racines négatives seront représentées par -*-a, — -^9 — 7»«** et Tpn aura généralement
(85) '-»=«|~ + -pr + ~r + ..M.
ea sorte que les équations (89) se réduiront aux suivantes
etc
Si Ton voulait tirer directement des formules (84) les valeurs de a, p, 7, . . . il suflSrait d'observer que » pour des valeurs croissantes de n « le rapport
converge vers la limite a' » le rapport
1 \an+a
vers la limite p* » etc. . • On en conclurait que la racine « coïncide avec la limite Ters laquelle convergent les termes de la série
(85) |/35=5»9'-*^ |/a»l5:^4»7-*» » J^'^ = 4»5.,., clc...
C'est eflectiyemeDt ce qui arrive » et I*on doit même observer que le troisième terme de la série (85) fourait déjà une valeur très-approchée de la racine . a , dont k valeur exacte , calculée avec sept décimales » est 4»49^ 1 1 8 • . » {voyez la page S99]» On obtiendrait avec la même facilité les valeurs approchées do ^ » 7* • • •
' Supposons enfin que« la lettre a désignant une quantité réelle » on demande la somme Il laquelle on parviendrait en ajoutant les racines de Téquation
(86) iang« = af,
élevées chacune à la puissance lu degré — n , et en excIuaDt-toujours la racine s = 0. II suffira évidemment de remplacer Téquation (86) par la suivante
,^ ,. slo^-ascosf
et de diercher la valeur de s^n que détermine la formule (5o) , lorsqu'on pose dsai cette formule
-, ^ stns-ascos< (88) F(*) = .
On trouvera .ainsi » pour la valeur de la somme demandée ,
... suit -tff CCS t
i.a.3...(n-j) dz^
En d'autres termes» cette somme sera: le ^cwffioîeat. de sr» dans le développement du
produit
. -stns-«sco92 (90) —ni—— .
On aura d'ailleurs
= ir-a.—- (— — ,a] —4' (-1 <*) - M — etc. .• ,
et par suite
a 1 3(fl-i) 1.$' ' 6-(a><i) 1.2.3.4
3tf-i "«
5 j 5(<i*i)- i.a ".5(a-ii) i.a.5.4 — etc.
puis Ton en conclgra
ni
f-r+... (i.a...p}(i ii.«.9)(i.a...r)... N3(a'i} i.a/ \ 5(a-i) i.a.3.4/ \7(a-i) i.9.3.4-5*6/
le signe z iodiquant une somme de termes semblables & celui qui est renfermé entre les aoeoladeiB, ei relaiêCr aux diveri syalëiMa de wlemrs entières» nuttes ou posilirés, de p » 9 f ** - • • » qui vérifient Téquation
Si , pour fixer les idées » on prend succj^ssivement .n = 9, n = 4> n=^6L,. etc. . • • , OD tirera de l'équation (gS)
3fl-i 1 \ 3(g-i )* 1
5(tf.i) •
7tf -1
4 P(«-.Oj. ïÔ 3(li-i) 6(a-i) ^ lao 7^«-^)
9 eic«*«*
D'ailleurs y nous avons reconnu [page 3oi] que les racines de Téquation (86) sont toutes réelles y mais deux à deux égales et de ^i^es cçntrairçs, lorsque, la constante a est négative, ou bien positive, mais supérieure à l^unité^ Voâc alors /si Ton- désigne par «, p, 7. . . les racines positives de cette équation, les racines négatives seront repçésenlées par — « , — ^ , t- 7 /. ^ «et lès fornkiUs (1^4) ^P^u^i*^ -,
- 1 - -il . . I .V t M,^^
1 Za-i
la
3fl-
ja- I
Jl,, L— J ^-i^ -,
etc.
Si Ton supposait en particalîer a réqaàlion
et Ton tirerait des formules (96)
( 554 > = s , «# ^> 7'«' seraient les racines pcsitifet àt
tang^ = 9z t
^6+ p6+ ^«"^ '•"" 5oa4o '
ete* • • • •
Si la constante a était positive « mais inférieure à Fonité, alors l'équation (86) «cP mettrait deux racines imaginaires de la forme
«=çy/!r< ^=at— ç^/:t^
Ift quantité réelle C étant détermbée par la formu(o
tiie^ + C^)
^àt
et Ton trourerait , en désignant toujours par a# p , ¥••• les racines réelles et positim de la proposée ,
^fi "T "^ 4^ "TS "T ••♦ "" Tfi
4 5(fl-i) ia5(a-i) *
jfl-i
Sa 3(a-i) 5(a-0 ~ a4o 7(^-1) '
Si a était renfertné entré les limites 1 et — » la première des formules (100) aurait pour second membre une quantité négative # et Ton tirerait de cette formule
(loi) n <[/ î^iziaL' .
On obtiendrait ainsi une limito supérieure de la quantité ( » que Ton peut » au reste « déduire facilement de Téquation ^gg) , attendu que le premier membre de cette équation décroit sans cesse » en passant de l*unité à zéro, tandis que Ton fait varier C depuis ^ = o , jusqu*h C = 00 .
Les formules (6) , (7) , (8) et (g) , dont les calculs que nous Tenons de faire' indiquent suflisamment les nombreuses applications , supposent que la suite
renferme toutes les racines de l'équation (s) , ou du moins toutes celles dans lesquelles la partie réelle demeure comprise entre les limites œ^ , X , el le coeiBcienI de i/TT entre les limites jr^ » Y* Si Ton désignait, au contraire ^ par z^ , r,... , z^', les racines que Ton peut déduire de la formule
(lOs) Z=:U + V\/7! 9
en prenant pour u pV deux fonctions réelles données des variables x » y t et attri-^ buant à ces variables des valeurs respectivement comprises entre les limites x = sr» » x = X, y:=.j^ p j'=.Y \ alors , en adoptant les notations que nous a vona déjà employées [pages 906 et suivantes] » on obtiendrait, à la place des équations (6) et (7), d'autres équations du même genre, mais dont les second^ membres seraient des résidus exprimés \ l'aide des notations dont II s*agit. On trouverait effectivement
(«o5) f(^)+v(f.) + ...+T(^-.)= L «fW' [^=«4-t;»/7],
et
la fonction ^ (2) étant toujours assujétie à la seule condition de conserver une valeur finie 9 tandis que la variable z recevrait une des valeurs . Zy , ^t , • • • ^«* De même, si les racines de l'équation (1) » désignées par «x » «»,••• z^^ étalent précisément celles que l'on peut déduire de la forniule
(io5) « = r(cosp4" V^'^P) »
en altribuant aux variables r ci p des valeurs respectivement comprises entre les quantités positives r = n , r = iï , et les quantités positives ou négatives p =/)., p = P; on aurait
(106) t(r.) + ?(^.) + v + ?(2^)~ L 7râ7:#'C*='(<^V+V^«op)L
r=sr, pszp.
((FW))
ou« plus simplement, en faisant usage de la notation établie page 307 ,
(107) f(:^0+?(^a) + -+?W= l llnz))) '
et l'on trourerait encore
(«) JP)
i^^Ma^iA.
