ASSUJETTIS A DES LIAISONS QUELCONQUES

§ i.** Cimtidérations générales.

On peut arriver par deux routes différentes aux équations d'équilibre de plusieurs forces dont les points d'application sont assujettis à des liaisons quelconques. Le plus souvent on déduit ces équations du principe des vitesses virtuelles. Mais on peut aussi les établir directement k Taide de diverses méthodes, entre lesquelles je vais en signaler une qui ^ à cause de sa simplicité « parait digne de fixer on moment l'attentioai des géomètres.

Considérons un système de points matériels A ^ A\ A" ^ ^tc. . , .« sollicités par certaines forces. Si ces points matériels sont libres et indépendants les uns des autres , il sera nécessaire pour Téqnilibre qu^après aroir réduh h une Msnhante unique toutes les forces appliquées à chaquo poiut » on tronve chaque résultante égale à 2éro. Mais , si les mêmes points sont assujettis à certaines liaisons , comme ces liaisons opposeront au mouvement du système certaines résistances » il ne sera plus nécessaire pour l'équilibre que la résultante des forces appliquées à chaque point s*évanooisse.

Il s'agit maintenant de faire voir 'comment on peut déduire les formules d'équilibre de la nature des liaisons supposées connues. Nous commencerons par examiner le cas particulier où il n'existe qu'une seule liaison, représentée par une seule équation entre les coordonnées des différents points. Nous traiterons ensuite le cas général oii les liaisoQl -sont en nombre quelconque.

S a.* Equilibre de ptusieurê pointé (Uêujettiê à une uuU liaison.

Sapposens d'abord que les différents points se trouvent assujettis k une seule liaison. Soient dans cette hypothèse

IL* ARlfiA.

etc. • 9 • f

les coordonnées rectangulaires des diiTérents points A , A\ A", etc. ... ;

A ^ tr f CIC* • • •

les forces qui leur sont appliquées» réduites pour chaque point à une résultante unique, et

Téqualion de condition qui exprime la liaison donnée ^ L étant une fonction desra* riablcs x» y^ z ^ x\ y\ z' ^ etc. Je dis que Téquilibre pourra s'établir au moyen do la liaison , sans que la force P s'éranouisse » et même en générai , quelle que soit l'intensité de cette force. Pour. le démontrer, commençons par imaginer que Ton Cxe tous les points du système à Texceplion du point A qui a pour coordonnées x, jr^ z^ et qu*en même temps on supprime les forces P'; P", etc., appliquées aux points A\A\ etc.... Les coordonnées x, jy z demeurant seules variabfes dans Téquation L = o, la liaison exprimée par celte équation n*aura plus d'autre effet que d'assujettir le poÎDt A h rester constamment sur une certaine surface courbe; et, si cette surface prést^nle une résistance indéfinie , comme cette résistance a lieu suivant la normale , il suffira , pour que la force P ne trouble pas l'équilibre , qu'elle soit elle-même dirigée perpendiculairement h la surface. Supposons maintenant que l'on restitue au second point A' sa mobilité primitive. L'équilibre sera troublé en général , et le système des deux points mobiles se mettra en mouvement. Mais il est clair qu'on pourra toujours empêcher ce mouvement par le moyen d'une nouvelle force P' appliquée au point A' dans une certaine direction. La force P' étant choisie comme on vient de le dire, restituons encore au point A" sa mobilité primitive. Pour retenir ce troisième point à sa place, il suffira évidemment de lui appliqiier une troisième force P" dans une direction déterminée. En continuant do même , on conclura définitivement que tous les points redevenus mobiles , et liés seulement par l'équation L = o , pourront être maintenus en équilibre à Taidè de certaines forces P , P\ P' ... appliquées II ces mêmes points suivant des directions données. Dans ce cas, la direction de chaque force sera perpendiculaire à la surface, que son point d'application est obligé de décrire, en vertu de Féqualion L = o , lorsqu'on fixo tous tes autres points du système. De plus , l'intensilé d'une force P pourra êlre choisie arbitrairement. Mais les intensités de toutes les autres forces dépendront nécessairement do l'intensité de la première.

Pour appliquer ces principes h un exemple, concevons que le système donné se compose seulement de deux points A ^ A' sollicités par les forces P , P' , et liés

par une droite A A' de longueur invariable; auquel cas l'équation £=0 sera d& la forme

{x — aî')'4- {y'^y'ï* -¥ (5 — «')• = constante»

(5) Alors, sî Ton vient à Dxer le point A' , le poiot A ne pourra plus se mou?oir que

sur ia surface d^une sphère décrite du point A^ comme centre avec la longueur A A' pour rayon; et par suite , pour que le point A demeure en repos , la force P devra être perpendiculaire à la surface de la sphère , par conséquent dirigée suivant le rayon

AA\ ou suivant son prolongement. Comme on peut faire un raisonnement semblable à regard de la force P\ il est permis de conclure que, dans le cas d'équilibre, chacune Aq& forces P^ P' agira suivant la droite A A' prolongée dans un sens ou dans un autre. De plus » afin que la tendance de cette droite au mouvement resté la môme dans les deux sens» il sera évidemment nécessaire que les forces P, P' aient les mêmes intensités et agissent en sens contraires. Réciproquement , si les forces P, P'

sont égales et agissent en sens contraires suivant la droite A A' , il est clair qu^elles se feront équilibre aux extrémités de cette droite.

Revenons maintenant au cas où plusieurs points A , A\ A" , se trouvent

assujettis à une liaison représentée par Téquation »

Soient toujours x, y ^ z; x' , y' 9 z'i etc. ...«.^ tes coordonnées de ces points; P, P' , P" ,... les forces qui leur sont appliquées; et désignons par