X. Y, Z; X' y Z'; etc

les projections algébriques des forces P, P' P", ... sur les axes des x, At% y et des z. Chaque force devant être perpendiculaire à la surface que soc point d'application est assujetti 5 décrire, en vertu de la liaison L = o, lorsque tous les autres points deviennent fixes ; on ;aura nécessairement

\dx\ \dj ] \dz )

\dx^) \ dy ) \dt' )

\ etc.

et par suite

dx * ^y * ' dz *

dx dy dz

ele* • • • .

X^ \' etc.». déstgQAni des coëflicienU dont le premier dépendra de Tintenstlé de la force P\ le second de rintensité de la force P\ etc. ... De plus , comme Tînteasité de la force P est une quantité arUtraire , mais de laquelle 'dépendent nécessairement les intensités des forces P\ V ^ etc. • • . ; il est clair qu'on pourra choisir à Tolonté la râleur du coëlEcient \ , mais que » la Toleur de \ étant donnée » celles de

y, X'f etc » devront s'en déduire immédiatement. Pour découvrir la relation

qui existe entre X' et \ , supposons que tous les points deviennent fixes à Texception des deux points A ^ A\ Alors ces deux derniers peints restant seuls mobiles , si la liaison L = o a pour effet de les maintenir constamment h la même distance L'un de l'autre» il faudra que les forces P, P' soient égale» et dirigées en sena contraires, ou , en d'autres termes » que l'on ait

Or, dans la même hypothèse» l'équation A= o se réduisant à la forme

(x — a5')»4-(j— j'')*4-(2 — s')» = conslantc, .

on en conclura

dL dL dL dL dL dL

dx' dx dy.' dy d^\ dt

Par suite les formules (3) donneront

X=.^f. I'=X^. Z=xf,

dx dy dt

et les valeurs de X , Y, Z, X' , Y', Z' satisforont aux équalioiis (4) , si l'on a

Suppo«Mft mattlenaal que» dans le ou ob les pouitt. A^ A' realeafc seuls la UftUoQ

n'obBge plus ces deux poiots h rester coostamment & k même disUrnce Tub de l'aotre.^ Od pourra coudre h la Uaisoa L^sOj, celles qu'où établit entre les dem points» en les unissant par une droite myariable » et fixant le milieu de cette droite. Gela posé » si Ton désigne par «, ^» a les coordonnées du point milieu , et par Sb k longueur de ta drmte, on awa entre les sis ▼ariables

les cinq équations

jn, y. a; a?', y\ »',

dont la dernière peut être remplacée par la suirante

(«-»)'+(fr-7V + («--«)*=-^.

En vertu des cinq équations (9) . les positions des points A, A^ no seront pas conrplatement déterminées ; mais ils pourront décrire deux courbes correspondantes tracéessur la surface d'une même sphère , de manière à se trouTer toujours situés aux extr^ mités d'un même diamètre. Dans ces courbes , tes cordes correspondantes , et par suite les tangentes menées perdes points correspondanls seront éTidemment parallèles. Si Ton suppose

la courbe décrite par le point A en particulier sera déterminée par le système des deux équations

/(aîrj.«f a« — «f «t — 7, ac— .«,..,)=o,

De plus, si Ton décompose la force P en deux autres» Tune perpendiculaire à la. courbe que peut décrire le point A , l'autre dirigée suirant la tangente k cette courbe» la force perpendiculaire étaçt incapable de produire aucun effet j on pourra en faire aba-

tradioDj et ne considérer qae la force dirigée ittivant la tangente. On pourra de même remplacer la force P' par sa composante suivant la tangente à la courbe que peut décrirç le point A\ Cela posé» comme les points A . A' sont situés à Textrémité d'une droite invariable dont le milieu est fixe, et que les tangentes menées par ces points aux courbes qu'ils peuvent décrire soott parallèles , il est clair que les forces dirigées suivant ces tangentea, pour maintenir en équilibre les points A» A\ devront être égales et agir dans le même sens ; ce qui exige que les forces P , P\ respectivement multipliées par les cosinus des angles que forment leurs directions avec la direction de l'une des tangentes prolongée dans un sens déterminé» fournissent des produits égaux et de même signe. Or la tangente à la courbe que pei|t décrire le point A , prolongée dans un certain sens , forme avec les axes des angles qui ont pour cosinus

dx dy dt

[/{dx^-^dj^-^dz*) v/(rfj?» + rf^ » + </«*) {/{dx^'-^dy^-k-dz^)

tandis que les cosinus des angles formés avec les mêmes axes par les directions des forces PfP' sont respectivement

Par suite les .cosînus des angles compris entre la direction de la tangente et celles des forces P t P* seront respectivement égaux j le premier à

Xdoi^lldyArZàt

et le second à

X'dx-^Y'dy-^Z'dz P'y{dx^'^dy^'^dz^)

Kn multipliant le premier par la force P , le second par la force P' , et égainnt les produits , on trouvera

Xdx-hYdy-hZdz X'ds-^Y'dy-^Z'dj;

]/{dx^4dy*'^dz^) ~ {^{dx^-^dy^-^dz^) \

ou , ce qui revient ajj même »

(12) Xd9^J^Ydy^Zdz:=XUx'^Y'dy'^Z'd%.

t dans cette dernière équation on remol pour X,,Y, Z» X' , Y', Z' leurs Taieur* tirées des formules (3) , elle deviendra

D'ailleurs « en difTéronctaDl la première des éqùattoos (i i) > on en conclut

dL , , dL . , di , dL , , dL , ^ dL .

Donc par suite on aura généralement

on irouTera de même > = X * , X = >'^ , etc. . • « Cela posé , les équations (5) ptend root la forme

ax^ dj dz

etc. . » . ;

et l'on en conclura

M eic* • • •

ldL\ ldL\ ldL\ IdL \ ldL\ tdL \

\d») \dy] \dzj \dx'] \dy) W]

Donc, pour qu'il y ait équilibre entre les force» P^ P\ P'. • . » dans le cas où leurs points d'application A^ A\ A',,.* se trouTent assujettis à là seule liaison £ = o , il est nécessaire et il suflSt que Tes projections algébriques de ces forces sur les axes coordonnés soient respectivement proportionnelles aux dérivées de la fonction L prises

par rapport aux variables x, j, z ; x' , y\ z' ; etc Alors » si Ton désigne par

n le nombre des points A , A', A',... la formule (17) fournira 3n— 1 équations distinctes qui seront précisément les équations d'équilibre. Ajoutons que les résistances opposées par la liaison L = o aux mouremenls des points A, A\ A' ,,., seront employées à détruire les- forces P» P^•.• Donc ces résistances seront égales et directement opposées aux forces dont il s'agit. Donc les projections algébriques de ces résistances sur les axes coordonnés seront respectirement égales aux seconds membres des équations (16) ^ pris avec le signe — , c'est-à-dire aux quantités

ds* dy ' dt '

(«8) I -li^ -1^, -lik,

Pour montrer qm application des principes que nous prenons d'établir ^ supposons

qu'en vertu de Téquaiion L ï= o » la somme des distances A A\ A' A^ , A' A''\ etc. . •• t respectivement comprises entre les points A , A\ A'.,, rangés dans un certain ordre» doive demeurer constante. Dans cette hypothèse « Féquation £ = o pourra être présentée sous la forme

et si Ton fait, pour abréger»

la formule (17) donnera

En égalant les trots premères fraelions entre elles , on trouve

et Ton en conclut que » dans le cas d^équilibre » la force P est nécessairement dirigée suivant la droite A A' , En galant le* trois fractioos «uiTantes , oa trouve

.(9) et comme on a , en rertu des éf nations (so) ,

iOn tire éyidemment de la formiilfi (srS)

OU , ce qm revient lia méiçe ,

P' r' P' r' P' r' P' r" P' rï P' r* *

Cette dernière équation exprime que la force P' forme arec les deux droites A -A'

A' A' des angles égaux. De plus » comme , en prenant pour plan des x^y celui qui renferme ces deux droites , on a

et qu'alors on tire de la formule (ai)

H est clair que la direction de la force P' est comprise dans le plan de ces mêmes droites. Par suite» elle est dirigée de manière à diviser l'angle des droites A A\ A' A" en parties égales.

On se trouverait conduit aux mêmes conclusions par la géométrie, en observant que la force P! doit être perpendiculaire à la surface que le point A' est obligé de décrire quand il demeure seul mobile. Or , dans cette hypothèse , il ne reste de variables

que les longueurs A A' ^ A' A' dont la somme doit être constante. Le point A' décrit donc alots un ellipsoïde de révolution engendré par une ellipse dont les points fixes A\ A' sont précisément les deux foyers; et la force P'^ devant être normale à l'ellipsoïde, par conséquent à l'ellipse génératrice» divisera nécessairement l'angle formé par les rayons vecteurs menés aux foyers , en deux parties égales.

IL'' aicn££. a

$ 5.* Équilibre de plusicun points assujettis à diverses liaisons.

Considérons mainleaant des forces P, P\ P',.... dont les pointe d'application A , A\ A"... soient assujettis à des liaisons quelconques. Soient toujours x^ y» z; x\ y$ ^V- les coordonnées des différents points ; Xs Y, Z; X\ Y\ Z', ... les projections algébriques des forces jP, /*'»••• sur les axes coordonnés; et jsupposons que les diverses liaisons soient exprimées par les* équations

(0 L = o, tf = o, iV = o, etc....,

L, ilf , iV, .. . désignant des fonctions des variables x, y, z; x'^ y, s ^ etc.... Si l'équilibre a lieu, en vertn des liaisons données, entre les forces jP# P\ P'» . •• on pourra , sans troubler cet équilibre , substituer à la première liaison £r = o , le système des résistances qu'elle oppose aux mouvements des différents points , c'est-à-dire , un système de forces dont les projections algébriques sur les axes seraient des quantités de la forme

dx '

.dL

"" rf«"

dy"

-'rfz"

*"~ QIC* • • •

Oo pourra ensuite supprimer la seconde liaison , pourvu qu'on la remplace par un système équivalent de forces dont les projections algébriques sur les axes seraient de ia forme

dM -^ dM dM

"f'I^' '^^-dj' -^lû'

(5) \ £JÏ ^ — iE.

^da>" ^ dy' ' ^ dt'

"^" eic. ...

Bn continuant de môme , on finira par supprimer toutes les liaisons » dont chacune se trouvera remplacée par le système des résistances qu'elle oppose aux mouvements des différents points. Alors, ces points étant redevenus libres et indépendants les uns des autres , il devra y avoir séparément équilibre entre la force et les résistances appliquées à chacun d'eux. Cela posé , Téquilibre entre la force et les résistances appliquées au point A fournira les équations

^ ^dL dit dN

dx ^ dw dx

dL dM dN

y — X-— — j*-j V-— -— etc. =o,

dy dy dy

„ dL dM dN

ou , ce qui revicût ou même » les suivantes

'^='5^+'*iï+^S+^^-'

, dL . dM . dN , ,

dy ' dy ' dy

dL dz

Z =:y. ^^ «^ p *" "* ^ V -^^^^-l^elc. «...

dz dz

On trouvera pareillement , en considérant I^éqailibre des forces appliquées au point A\

.dL dM , dN , ^

dx'

dx* dN

tr/ ^ dL , dM , — , ,

„, dL , dM . dis , .

Z = i^-^ + p^^ + V -jp- 4- etc. ... ,

etc.

Si n désigne le nombre des points A^ A\ A" ^ etc. ... , et m le nombre des liaisons Xr=o, ilf = o, N= o , etc. ... ; 3 n sera le nombre des équations (4) , (5), etc. ... ; ety lorsqu'on aura éliminé entre ces équations les inconnues > , f* • v > etc... , il restera 3n — m équations d'équilibre. Les variables x, y, z; x' , y\ z\ etc...» étant elles-mêmes au nombre de Sn, et liées par m équations» 5n— 'tn sera encore le nombre des variables indépendantes.

Les in — m équations que nous venons d'indiquer, et qui sont nécessaires dans ie cas d'équilibre» suiEscnt évidemment pour l'assurer. En effet» ces 5n— -m équations expriment qu'on peut satisfaire simultanément par des valeurs convenables de

^, fi» V» etc » aux formules (4) » {^) * ^^c. ... Or» dans cette hypothèse» la force P

pourra être remplacée par des forces Q, R, etc....» dont les projections algébri- ({nes sur les axes soient respectivement

dL dL ^ dL dM du dU

dx dy dz dx dy dt

la force P' par des forces Q' , R' t etc. ..• ^ dont les projections algébriques suf les axes soient respectivement

dL dL ^ dL dM dM dM

^rf^' ^TP"' ^"rf?"' ^-d^^ ^7yr^ ^lûr: etc...;

etc.. En conséquence » au système des forces P, P\ etc. #•• » on pourra en substituer plusieurs autres» savoir» i.^ le système des forces (?> Q% etc...., qui seront détruites par la liaison £r = o; 2.^ le système des forces i?» R' ^ etc » ^\

seront détruites par la liaison M = o, etc. ... Donc te système des points A , A' , etc«, ... sera dans le même cas que s'il n'était sollicité par aucune forte. Donc il y aura équilibre.

Nous avons reinarqué ci-dessus que le nombre des^ équations d'équilibre était toujours égal au nombre des variables indépendantes. On vérifie cette proposition dans le cas d'équilibre d'un polygone dont les côtés sont invariables. Il est également facile de s'assurer qu*elle est vraie pour un point libre » ou assujetti à rester sur une surface ou sur une courbe » et pour un système inyariable libre dans l'espace » ou assujetti à tourner autour d'un point fixe; elc... Lorsqu'il n'y a qu'une seule liaison entre n points, le nombre des équations d'équilibre se réduit, ainsi que le nombre des variables iudépeihdaulesj à 5n — i ; et ces équations coïncident avec les formules (3) du § 2.

§ 4'* Principe des vitesses virtuelUs.

La recherche des équations d'équilibre de plusieurs forces P, P' , P" ^ ... dont le? points d'application {x^ y, z) , {x\ y' , z'), etc....» sont assujettis à des liaisons représentées par les formules £ = 0 ^ M = 0 , etc.... » peut être réduite ^ comme

on l'a vu dans le paragraphe précédent » à Télimination des inconnues ^> f*» v ,

entre les équations (4) » (5) » etc Or» un moyen fort simple d'effectuer cette élimination est de recourir à la considération des vitesses virtuelles» en opérant comme Ta fait M. Poinsot dans le i3.* cahier du journal de l'École polytechnique. Je vais rappeler en peu de mots les résultats auxquels on parvient de cette manière.

Lorsqu'un point matériel se meut sur un plan ou dans l'espace» les coordonnées x^ y-y z , ainsi que Tare s de la courbe décrite » varient avec le temps t; et, si

l'on suppose cet are compté de manière h preDdrè un accroissement positif ^8 , dans le cas où l'on attribue au temps t un accroissement positif A e , la limite vers la*

quelle convergera le rapport — « tandis que ses deux termes recevront des valeurs

de plus en plus petites » ou ^ ce qui revient au même , le rapport entre les accroissements infiniment petits et simultanés de Tare s et du temps l , sera ce qu'on nomme la vitesse du point matériel à la fin du temps l. Donc » si Ton désigne par u cette vitesse p on aura

(0 " = 7?- Tt

De plus j la direction de cette vitesse ne sera autre chose que la direction de la tangente menée par l'extrémité de l'arc s à la courbe décrite, et prolongée dans le sens du mouvement; d'où il résulte que les cosinus des angles a , p » 7* formés par cette direction avec les demi*axes des coordonnées positives , seront respectivement

IX dx g, dy ds

(2) ces a = -7- , COS p = -7- , COS 7 = --- .

ds ds as

Cela posé^ si Ton imagine que la vitesse » soit représentée par une longueur portée sur sa direction à partir de l'extrémité de l'arc s , les trois produits

u COS a , 0» COS p 9 «a COS f ,

exprimeront ce qu'on doit appeler les projections algébriques de la vitesse sur les axes des Xp y, et z [voy. le i.** volume, page 59], et se trouveront déterminés par Icr^ équations

djD dy dz

(3) «COS a = -7-, «G0SP = ---, ù) COS 7 =-—4 ^ ' dt dt dt

Supposons maintenant que plusieurs points A, A\ A" , soient assujettis à

certaines liaisons

(4) /r = o, iV = o, J|f = o, etc....*

L^ M9 N étant fonctions des coordonnées x, y, z; x\ y\ z\ etc. •.. Tous les mouvements que le système de ces points pourra prendre par l'effet d une cause quelconque, sans que les liaisons soient troublées, seront ce qu'on appelle des mouvements virtuels, et les vitesses des dilTérents points dans un mouvement virtuel quelconque

seront ce qu'on nomme des vitesses viriuelles. Or , comme il ^suffira de connaître les Taleurs de œ, y» z; x', y\ z\ etc...., exprimées en fonction de t, pour en déduire immédiatement celles des quantités

dt 77*

dx' dt

dy' IT'

dt'

~dr'

eic« • • • f

il est clair que les projections algébriques des vitesses virtuelles seront liées entre elles par autant d'équations que les coordonnées des différents points. En effet , on aura , dans tout mouvement compatible avec les liaisons données.

dL dot , dL dy , dh dz , dh dx' , ,

1 4- : h --— 7- — : — + etc. ... = o ,

dx dt ' dy dt ^ dz dt ^ dx' dt ^ '

dxdî^'d^TÎ'^ dz 17'^ dx' dt **"^^^ *'•

Cela posé, concevons que les différents points» étant parvenus au bout du temps t dans do certaines positions , puissent y être maintenus en équilibre par le moyen de

forces

Jl p et p * p • • • »

dont les projections algébriques sur les axes des Xp jr, z soient respectivement X, Yp Z ; X' p Y' p Z'; etc. ..:. Alors , pour obtenir les équations d'équilibre, il suffira d*élimiuer les inconnues X, fA» v,... entre les formules (4), (5) du § 3. Or on y parviendra évidemment p si l'on ajoute ces formules p après avoir multiplié la première

— y la fifîcnnde nar

On trouvera de cette manière *

par -r- , la seconde par -r- p la troisième par -— , la quatrième par —

-"" *" dt ^ dt dt

etc...

Par conséquent , lorsqu'il y a équilibre p l'équation (7) subsiste dans un mouvement virtuel quelconque.

Réciproquement p si Téquation (7) subsiste dans un mouvement virtuel quelconque , je dis qu'il y aura équilibre. En effet, dans cette hypothèse, la formule (7) sera satisfaite pour tous le^ systèmes de valeurs des quantités

dy dt '

Tt'

dx' dt

CIC • • • y

qui seront propres à vérifior les équations (6). Par suite, si, au moyen des équations (6) , on élimine de la formule (7) m de ces quantités, toutes les autres pouvant être choisies arbitrairement, leurs coëiDcients devront se réduire à zéro. Or, pour effectuer l'élimination , il aniHra d'ajouter à la formule (7) , les équations (6) respectivement multipliées par des facteurs indéterminés

— X, """[*» —" ^ » etc....; et d'égaler ensuite à zéro les m premiers coëfBcients de

dy It'

dt , • eiCa ••••

tes facteurs ^ » f* , y •••• étant choisis de manière à remplir ces conditions, cest-hdire, de manière à faire disparaître les m premiers termes de la formule

dx dT

/ ( dL dM dN , \

, / ^ dL dM dN , \dy

\ dy '^ dy dy - j dt

./„ dL dM dN . \di

-r\^ — ^~i f ~7 ■•'-} etc. ... —

\ dt ^ at dt j dt

I dL dM dN, , \dx'

+ ctc.

les coefficients des 3n — m derniers termes devront encore être séparément nuls. En conséquence on ponrra réduire à zéro les coefficients de tous les termes, c'est-à-dire , satisfaire aux équations (4)» (5)*«* du § 3.* par des valeurs convenables des facteurs l, ft, V ... ; d*où il résulte qu'il y aura équilibre dans le système des points A, A', A, y etc» •••

L'équation (7), qui subsiste , lorsqu'il y a équilibre , pour Ions les mouvements virtuels , renferme ce qu'on appelle le principe des vitesses virtuelles. Elle peut être présentée sous une autre forme qu'il est utile de connaître, et que nous allons rappeler ici.

Soit . «A la vitesse virtuelle du point matériel A ^ et P,fr> Tangle compris en Ir^ la direction de cette vitesse virtuelle et la direction de la force P. Gomme les cosmos des angles formés par ces deux directions avec les axes sont irespeCtirement

on aura évidemment

(il) cos(P,») =

On trouvera de méme^ en désignant par »' la vitesse virtuelle du point A\

(.3) A':^.+ r':^+2'-^=p'o.'co8(/»>').

etc. ... Par conséquent l'équation (7) pourra s'écrire ainsi qu'il suit

(i4) P«cos(P,»)+P'a>'cos(P',«')+elc... =0.

Dans cette dernière » chaque terme représente le produit d'une force par la vitesse virtuelle de son point d'application et par le cosinus de Tangle compris entre la direction de la force et la direction de la vitesse virtuelle. Un semblable produit est ce que nous nommerons le moment virtuel de la force. On peut l'obtenir en multipliant la force par la vitesse virtuelle projetée sur la direction 4e la force » ou la vitesse virtuelle par la projection de la force sur la direction de cetta vitesse. Gela posé , on peut énoncer le principe des vitesses virtuelles de la manière suivante.

Pour que f équilibre ait lieu entre plusieurs forces dont les points fCapplieation sont assujettis à des liaisons quelconques, il est nécessaire, et il sufj^t que la somme destMfnents virtuels de ces différentes forces soit égale à zéro, dans tous les mouvements virtuels possibles, c^est-à-dire, dans tous les mouvements compatibles avec Us liaisons données.

Lorsqu'on reui déduire du principe des vitesses TÎrtueiles tontes les équations d'équilibre relatives à un système donné , il suffit de considérer succèssiTement antant de mouvements virtuels distincts les uns des autres qu'il 7 a de variables indépendantes parmi les coordonnées

«» J^f ^» ^'» y p ^' p etc

Le nombre de ces mouvements virtuek sera donc 5 n — m » si n désigne le nombre des points donnés » et m le nombre des liaisons auxquelles on les suppose assujettis.

Pour montrer une application de la formule (7) , concevons que les liaisons établies entre différents points A , A\ A' ... permettent d'imprimer à ces mêmes points un mouvement commun de translation parallèlement à Taxe des x. Ce mouvement de translation sera un mouvement virtuel, dans lequel les vitesses virtuelles u » u', a»'... seront égaler entre elles; et» si^ pour fixer les idées» on suppose le mouvement dirigé dans le sens des x positives ; on aura évidemment

dsn dx dx It^^ dt ~ dt

('^) < Tt—dT^^t — -^'

dz dz' dz"

dt dt dt

Par suite » la formule (7) donnera

(16) (j:+^'+a:'+.-.)«=oî

et comme , par hypothèse , la quantité w n'est pas nulle j on tirera de Téquation (16)

De même , si un mouvement commun de translation 1 en vertu duquel les différents points acquerraient simultanément des vitesses égales et parallèles à Taxe des y ^ ou à Taxe des 2 , est virtuel » c'est-à-dire compatible avec les liaisons données » la formule (7) entraînera Féquation

00 la suivante :

CààOBffùm weore que » amt trofibler les liaUont éUbUee , qb piiive imprioier «i ly»-

lè«w des poÎBU ^9 ^'» ^^9 etc » im moufement général 4e roUtioli autour

de l'axe des œ; et sopposons , pour fixer les idées , que ce mouTement de retalieii sok direct , la courbe décrite par le point {x, jr, z), dans le mouvemeat virtuel dont il s'agit» sera un cercle dont nous désignerons le rayon par r„ et dont les équations seront de la forme

(ao) X = constante , j* + «* == r* .

Ort 91 Vqu différencie ees équations par rapport au temps ^ pu trouvera

^ ' dt '^ dt ^ dt

D'ailleurs, dans un mouvement dq rotaUon direct autour de Taxe des x, le point

(x , y 9 z) sera porté du côté des z positives on du coté des z négatives » suivant

que l'ordonnée y sera elle-même positive ou négative; et par conséquent le coefficient

dt différentiel — sera une quantité de même signe que y. Gela posé» on tirera de

l'équation (ai)

Ajoutons que» si l'on nomme 5» s\.. les arcs de eereie décrits par les diftrents points à la fin du temps t; r, r\,, les rayons de ces mêmes cercles » et ùlS, a«'... tes accroissements infiniment petits que prennent ks arcs a, s\„ pendant l'instaot ^tp on aura évidemment

A* A/ 1 as \ A*'

= — ^r-==etC. ... , QU -^ "TT^^T .^ = CtC. ... »

et par suite

"-* *77* •* ^ J7 WkO. . . . ,r'

OU plus simplement

» bi' m^

(25) ~=c —etc....

Donc les vitesses firtuelles des différents points lerent proportionnâtes aux rayons def

'cmkê décrit»! et si l'on appdh k la tiliMe aBgtiiaire da lystème^ e'eBWh*4bt la TiieMe d'ttD p^iil «ilué è l^BAité dé dialaMe de faxa dea «> on aura

(25) c»îa=»r, fti'=i«r\ «'' = ar'', etc..,.

Gelapoié» las équations (ai) «t (as) donneront

j ^ à» dy dt

(«6) :rr— 0. -h^^"** -r=*J'.

rft «<f rf*

On trouvera pareillement

etc. ... ; pab Toa tirera de la fenntile (7)

(28) . - (72— «y+/2'.-»'r+...0a = oi

et , oomme par hypothèse la q[uantHé » n^est pal ntiDe , on trouTera défisaititemelit

(«9) yZ— «y-f/2'— •«'I" + ^c**..=2io-

De même » si «m monT'ement général de rotation en vertu Snqnel chacun des points A^ A' y A' ..• décrirait antour de Taie des y ou des a un arc de cerde propor* tionnel k sa distance à cet axe» était virtuel» c'est-à-dire compatible avec les liaisons données » la formule (7) entraînerait l'équation

(5o) «J:— .ajZ + ^^j:' — »'^'4.etc....=o,

<m la miinmte :

(3i) ar'—yX-\-x'T'—y'X' + e\c....—o.

n est bon d'observer que les équations (17)^ (18) et (ig)» ou (ag) » (5o) et (3i) sont précisément celles qu'on obtient en égalant à zéro les sommes des projections algébriques des forces P^ P' » P'... , ou de leurs moments linéaires sur les axes des x^ y, 2. Ajoutons que chacune des sommes ainsi calculébs coiacide avec Tune des projections algébriques de la ibree principale ou du moment linéaive fmaeipak

(to)

Loràqae les poinls A , A' t'A' ... composent an système invariable de forme , maisentièrement libre dans Fespace, les six mouvements généraux de translation parallèlement aux axes coordonnés et de rotation autour de ces axes sont compatibles avec les liaisons de ce système. Par suite, la formule (7) entraîne les six équations (17) » (18), (19), (39), (5o) et (3i). D'ailleurs, dans la même hypothèse , celles des variables

», yt «; a>', y\ z'i x" , y^, z*; m"\ y"\ z"U etc. ...

que Ton peut considérer comme indépendantes, se réduisent évidemment à six. Exr effet , puisqu'on suppose les points A, A\ A", A"'... liés invariablement les uns aux autres , la position de chacun d'eux sera complètement déterminée dans l'espace , si l'on connaît la position des trois premiers , c'est-k-dire les neuf coordonnées x, y,s; ^' * y' * ^' \ 35*, y' t z' . De plus, les trois points A, A\ A" étant liés euxmêmes par trois droites invariables « les neuf coordonnées dont il s'agit seront assujetties k trois équations de condition , en vertu desquelles trois de ces coordonnées deviendront fonctions des six autres. Donc il n'y aura effectivement que six variables indépendantes r et les six équations qu'on obtient en égalant k zéro les sommes des projections algébriques des forces données ou de leurs moments linéaires sur les axes des x, y ^i z^ suffiront pour assurer l'équilibre. En d'autres termes , il sufQra , pour l'équilibre , que la force principale et le moment linéaire principal s'évanouissent. '

Si un système invariable de forme était retenu par un point fixe , les mouvements de translation dirigés parallèlement aux axes cesseraient d'être des mouvements virtuels , puisqu'ils ne pourraient avoir liea sans rompre les liaisons établies. Mais , en prenant lé point fixe pour origine des coordonnées , on pourrait encore imprimer au système des

points A ^ A\ A" ua mouvement de rotation autour de l'un quelconque des

axes coordonnés. Par suite la formule (7) entraînerait toujours les trois équations (29) , (3o) , {ii) ; et ces équations , dont le nombre serait précisément égal k celui des variables indépendantes , suffiraient pour assurer l'équilibre»

Si le système invariable était retenu par deux ppints fixes, un mouvement virtuel ne pourrait être qu'un mouvement de rotation autour de l'axe fixe passant par ces deux points; et la formule (7) ne fournirait plus qu'une seule équation d'équilibre, relative à> ce mouvement virtuel. Si. l'on prenait l'axe fixe pour axe des z , l'équation unique d'équilibre serait celle qu'on obtient en ajoutant les projections algébriques des moments^ linéaires des forces sur cet axe, et égalant la sommée zéro , c'est-à-dire l'équation (3)]. Il est d'ailleurs facile de voir qu'il' n'existe dans le cas présent qu'une seule variable indépendante.

Si le système invariable pouvait recevoir, non*seuIement un mouvement de rotation ^autour de l'axe des z.^ mais encore un mouvement de trànslatioa dirigé parallèlement

( ai )

à cet axe, ces deux moaTements virfcuek fourniraient les équations (19) et (5i) qui suffiraient pour assurer Téquilibre.

Enfin f si les points renfermés dans le plan des x , y sont assujettis à n*en jamais sortir» le mouvement de' rotation autour de Taxe des z , et les mourements de trans* lation dirigés parallèlement aux axes des a? et ^ fourniront pour le système invariable trois équations d'équilibre , savoir » les formules (17)» (18) et (5i). Gomme» dans la même hypothèse, le nombre des variables indépendantes sera égala trois « les équations dont il s'agit suffiront pour exprimer les conditions d'équilibre.

Les conséquences que nous venons de déduire du principe des Yitesses virtuelles s'accordent évidemment avec les résultats auxquels nous étions parvenus» dans le premier Tolnme , par la considération directe des projections algébriques des forces et de leurs moments linéaires.

Concevons maintenant que» les points A, A\ A'^, ... étant assujettis k des liaisons quelconques» les forces P» P\ P'» ... qui sollicitent ces mêmes points» se réduisent & des poids. Admettons en outre que Taxe des x soit vertical^ et que les x positives se comptent dans le sens de la pesanteur » on aura » dans ce cas ,

X = P, X' = P\ X'^P". etc....» (3ï) { J^=o, jr' = o, jr' = o» etc....»

Z=:0'» Z' = o» Z'z=o» etc. ...;

et la formule (7) donnera

(5^) i.^ + P'^ + P'^ + elc....=o.

D'ailleurs» si Ton nomme £ l'abscisse du centre des forces parallèles P, P\ P",..,

respectivement appliquées aux points A, A', A", c'est-à-dire» en d'autres

termes » l'abscisse du centre de gravité du système » on aura

(54) Px + P'x' + P'x' + ... = {P + P' + P'^...)i,

et par suite

Donc la formule (53) pourra être réduite à

(Hft )

Or , il résulté de cette dernière é([ualion que » dans toot mouYement compatible avec lei liaisons du système , la vitesse virtuelle da centre de gravité , étant projetée sur l'axe dès ce , donnera une projectiod nulle. Donc » pour qu'il y ait équilibre entre différents poids , il est nécessaire et il suffit que , dans chaque monvement virtuel , k direction primitive de la vitesse du centre de gravité soit horizontale.

Datis ce qui précède , nous avons admis que les résistances opposées aox mouvements de différents points par des liaisons établies entre eux pouvaient crollt^ indéfinimem et au-delà ^e toute limite. Concevons maintenant que ces résistances ne puissent d^asser certaines limites sans que les liaisons se trouvent rompues , alors il ne suffira pins pour l'équilibre que l'on puisse déterminer les coefficients > , p » v , ».. de manière à vérifier les équations (4) » (5) , etc.... du § 3.* Il faudra encore que les valeurs de X, fi» y>... tirées de ces équations /et substituées dans les produits

{ fdLy fdiy /dLy] /dMy /dM\* (dM\ A fdNy (dNy (dNy\

fournissent des nombres dont les racines carrées ne dépassent pas les limites des résistances que la première» la seconde, la troisième ...• liaison peuvent opposer » sans se rompre , au mouvement du premier point. Il sei^ de même nécessaire que les racines carrées des produits

^Afdiy (diy fdLy] ^l/dMy /dMy fdMy] -ifdNy rdNy /dNy

'*|b) +M "-{i?) j' ^^ j(^) +M nÂ>) j' ^'(fe) +M n^)

ne dépassent les limites des résistances que les diverses liaisons peuvent opposer au mouvement du second point; et ainsi de suite.

DE LA PRESSION DANS LES FLUmES.

Dans les traités de mécani^jue ob les équations d*équilibre des fluides ne sont pas in^médiatement déduites de la formule des vitesses virtuelles , on a recours » pour démontrer ces équations» au principe de C égalité de pression en tout sens. Or, ce princ^pe luimême peut être facilement établi à l'aide des considérations suivantes.

Soient x , y , z les coordonnées rectangulaires d^un point pris au hasard dans une masse fluide en équilibre, dont chaque molécule est sollicitée par une certaine force accélératrice 9 et X , Y, Z les projections algébriques de cette force sur les axes coordonnés pour le point {x,y, z). Si l'on fait passer par ce même point une surface s plane 9 rigide et infiniment petite» cette surface devra rester en équilibre , et par conséquent les pressions exercées contre elles par les couches de fluide qui l'avoisinent de part et d'autre » devront se réduire à des forces égales et directement opposées. De plus , chacune de ces pressions devra être perpendiculaire au plan de la surface s. Car , si celte condition n'était pas remplie , les nioléoules fluides qnt touchent la sur&ce ne pourraient demeurer en repos. Cela posé, si l'on désigne par ps chacune des deux

pressions dont il s^agit, le rapport ^— ou la qupntjté p sera ce qu'on nomme la pression hydrostatique , exercée au point [x, y, z) contre le plan de la surface' s.

Considérons mointenant dans la masse fluide un second point qui ait pour coordonnées Xo » y et 2 . Faisons passer par ce point un nouveau plan , et traçons d^ans ce nouveau plan une surface infiniment petite «« » dont la projection sur le plan des y, z se confonde avec celle de la surface s. Enfin, soit a cette projection , et po la pression hydrostatique exercée au point {xo,y, z) contre le plan de la surface So> L'équilibre qui a lieu dans la masse fluide ne sera pas troublé , si Ton vient h solidifier une portion de cette masse. Or , admettons que la partie solidifiée soit comprise dans le cylindre qui aurait pour génératrice une droite parallèle à l'axe des œ, et pour bases les surfaces infiniment petites So » '• Soit d'ailleurs p la densité du liquide au point x,y, z, et supposons x> Xo»> Si Ton projette sur Taxe de x les forces motrices qui sollicitent les diverses molécules du cylind)*e, et les pressions supportées par les

deux bases , on trouvera a 1 pXdx pour la somme des projections algébriques des' forces motrices appliquées aux diverses molécules^ p»«o X — s on p^a pour la ppo^-

jection algébrique de la pression p^ê^ supportée par la surface «o# eufin psx— - — ,

ou — pa pour la projection algébrique de la pression p$ supportée parla surface ê. Quant aux pressions supportées par la surface latérale» elles seront» en chaque point de cette surface » perpendiculaires ^ la génératrice du cylindre » et par conséquent k l'axe des as; d'où il résulte que leurs projections algébriques sur cet axe s'évanouiront. D'ailleurs le cylindre, derenu solide» doit rester encore en équilibre au milieu de la masse fluide. Donc la somme des projections algébriques des forces appliquées i Bes molécules et aux surfaces qui le terminent doit se réduire \ zéro. On aura donc nécessairement

a I pXdx-4'Poa'^pa = o f

J Xo

Or» si Ton vient à faire tourner le plan de la surface n autour du point (â?» j^ «) » sans changer la position du plan qui renferme la surface <« » la pression p » exercée contre la première surface» et déterminée par l'équation (i)» ne variera pas. Donc cette pression conserve la même valeur» quel que soit le plan contre lequel elle «'exerce» ou » en d'autres termes » il y a, au point \pty% ^) choisi arbitrairement dans la masse fluide» égalité de pression en tout sens. Ajoutons que de l'équation (i) diifôrenciée par rapport à as» on tire inmiédiatement

dm dt

^fX. Oa troavera de même

=py.

= pZ»-

et par suite (3)

dp = p {Xdx 4- Ydy + Zdz).

Ces dernières formules sont les équations connues » à l'aide desquelles on fixe les con^ ditions d'équilibre d'une masse fluide^ et la valeur de la pression hydrostatique en chaque point.