O* PO

deux composantes — el -jp , qui forment avec elle les angles {Q»H) et (P,/î).

Oo pourra supposer que les forces -r- , -^ seront dirigées suivant la nién)e droite que

PQ la résultante R , et alors les deux forces équivalentes à — -— formeront chacune avec

U direction de R un angle égal h {P ^Q). Donc elles formeront entre elles un angle

fgal au double de {P,Q). Donc , puisque Tanglo (P ,Q) aX dr pîi par hy pqthèsc .

b forces équivalentes h —^ seront égales, mais directement opposées. Par consé-

JP' O^ qaeoi elles se feront équilibre , et les ibrces -h" • ^ > dirigées suivant' la mémo droite,

pourront remplacer h elles seules les Ibrces P, Ç, ou leur résultante R. On aura

dooc l'ëquatico x

de laquelle on déduit immédiatement la formule (i). Cette démonstration est due à l'auteur de la mécanique céleste-

Lemme 3» f^a résulta^U R de deux forec^ P , Q qui $e eoupcfU à angles droits eit repréëentée, nan^sçulsmsnt en grandeur, ainsi qu'on Ca prouvé ci-dessus» mais tneart e» direction par la diagonale du reatangU consiruil sur Us dewB composâmes*

Démonstration* Cette proposition est évidente , dans le cas où les forces P*Q sont

égales entre elles« Alors \% résultante R doit nécessairement ditisor l'angle {P»Q) en deux parties égale* , et l'on a , en- vertu du lemme %» fi* = aP»,ouiî = P |/T .

N est encore facile do démontrer le lemine 3 , d;ms le cas où l'on suppose Q*:=P* , ou Q-=iP^'^. En effet , considérons trois forces égales à P , dirigées mvant trois droites qui «oieBt perpendiculaires l'une ft Tautro. Ces trois forces seront représentées par trois arêtes d'un cube qui aSoutiront à un même sommet. De plus, la résultante de deux de ces forces étant égale k P ^^ , et dirigée suivant la diagonale d'une .des faces du cube , la résultante R des trois forces sera nécessairement comprise dans loQl plan qui renfermera Tune dos forces P et la diagonale du carré CQnstruit sur lef deox autres. Or , il existe trois plans de cette espèce , et ces trois plans se coupent suivant la diagonale du cube. Donc la résultante des trois forces P , ou , ce qui rc* vient au même, la ré^nUftate des forces P et Pf/T tpii se coupent à angles droiU , !^era dirigée suixant la diagonale, du cube. Laquelle est en même temps la diagonale du rectangle construit sur les (ei»cea P et P (/T •

On prouverait absolument de le même manière que, si l'on désigne par m un nombre

(5« ) entier , et si Ton suppose le lemme 5 démontré dans le cas ou l'on a Q = P \/m » la résultante de trois forces respectirement équivalentes à

P, P. Px/m

et représentées par trois droites perpendiculaires entro elles , sera dirigée suivant la diagonale du parallélipipède rectangle qui aura pour côtés ces mêmes droites. On en conclut que , dans Thypothèse admise , le lemme 3 subsistera encore si Ton prend pour Q la résultante des forces P et P\/^ , c'est-à-dire si l'on fait Q=:^P\/m+ï. D'ailleurs le lemme 5 est évident» quand on a Q=P , ou , ce qui revient au même, f>i = i . Donc ce lemme subsistera encore , si Ton prend Q = P y/i-f-i = P v^ * » ®" Ç= P ^iTfTisrP j/3", etc.. . . » ou en général Q = P \/7^ , m étant un nombre entier quelconque.

Concevons à présent que m et n désignant deux nombres entiers » on construise un parallélipipède rectangle qui ait pour côtés trois droites propres à représenter les trois forces

P. P\/m, PV/T.

La résultante de ces trois forces sera évidemment comprise , i.^ dans le plan qui renferme la force P\/T et la diagonale P^/m + i du rectangle construit sur les forces P,P\/m ,a." dans le plan qui renferme la force P \/m et la diagonale P ^/n-f-» d" rectangle construit sur les forces P, P\/H . Donc celte résultante sera dirigée suivant la diagonale du parallélipipède; et le plan, qui renferme la même résultante avec la force P, coupera le plan des deux forces P^m ^ P\/'n suivant la diagonale du rectangle construit sur ces deux forces. Donc la résultante des forces P \/7n , P v/T i qui doit être évidemment comprise dans le plan dont il s'agit» sera dirigée suivant cette dernière diagonale. Donc le lemme 5 subsistera» quand on remplpcera les forces P et Q par deux forces égales à P ^m , P \/li » c'est-à-dire par deux forces dont les carrés soient entre eux dans le rapport de m h n. Donc le lemme 3 subsistera encore entre les

forces PetÇ, si l'on suppose 57= — » ou Q=:Py ^ .

Soit maintenant Q=iPx , x désignant un nombre quelconque. On pourra faire

varier les nombres entiers m et n de manière que le rapport — converge vers la li-

uiile x^, et il est clair que, dans ce cas, la résultante des fcnrces P et P r ^ » dirigées suivant deux droites perpendiculaireè l'une à l'autre» tendra de plus en plus à se confondre , en grandeur et on direction « d'une part avec la résultante des forces P, Px, et d'autre part avec la diagonale du rectangle construit «ur ces deux forces. Donc la résultante. des forces P, Px sera représentée par la diagoaale dont il s'agit.

Corallatte i .'^ Si la force B est feprésenlée par la longueur AB portée à partir de son point d'application {A) sur la droite suivant laquelle elle agit , et si Ton mène par le point {A) deux axes perpendiculaires l'un à l'autre » on pourra substituer à la force B les deux forces représentées en grandeur et en direction par les projections

de la droite A B sur les deux axes*

Corollaire s. Coocevoiis maintenant que » deux forces P, Q étant appliquées à un

même point {A) , tt représentées par deux droites AB , AC qui forment entre elles un angle quelconque , on trace dans le plan de ces deux. forces deux axes dont l'un coïncide avec la diagonale du parallélogramme auquel elles servent de côtés , et dont Tautre soit perpendiculaire à celte diagonale. On pourra substituer aux deux forces P, Q les quatre forces représentées en grandeur et «en direction par les projections des

droites A B , AC sur les deux axes. Or, de ces quatre forces» deux étant directement opposées, se feront équilibre. Les deux autres « dirigées suivant la diagonale du parallélogramme , s'ajouteront et donneront pour somme une force représentée en grandeur et en direction par cette même diagonale. On peut donc énoncer la proposition

1.** TH&oakiiB. La résultante B de deux forces P^Q simultanément appliquées à un point matériel (/4)> et dirigées fCune manière qufilconquep est représentée en grandeur et en direction par la diagonaU du parallélogramme construit sur ces deux

forces.

Corollaire i." Comme la diagonale B du parallélogramme construit sur les deux forces P, Q est en môme temps le troisième côté du triangle que l'on forme en menant par Texirémité de la première force une droite égale et parallèle à la seconde , et

que l'angle opposé dans ce triangle au côté B est le supplément de l'angle {P$Q) p on a nécessairement r en vertu d'une formule connue de trigonométrie.

(2) i?'=P'+Ç' + «POcos(P,<?) .

Corollaire s. Dans le cas où les forces P,{^ doTiennent égales entre elles » leur résultante B est représentée en grandeur et en direction par la diagonale du losange coostroit sur ces mêmes forces. Alors la formule (2) se réduit à

(5) B^ = ^P' {i4-cos(P,"5)j-

De phis , si l'on suppose ^P,B)=^9 , on trouvera dans le cas présent ( P , Q ) = a 9 , et, comme on a généralement

(4) cos-î9 = acos*ô — 1 ,

.( 54) réi|ualion (3) donnera . H = 3Ptoa9 , ou, c&qui reviAnl au même

(5) R=iPcos{K^{) ■

On peut ail reste s'assurer directement que le second membre de la formule (5) représente ia diagonale du losange construit sur deu\ forces égales h P .

li est facile de démontrer le tfaéocème i.*', poar le tas où-tes fbrces P,Q ont entre elles un rapport quelconque , quand une fois on a établi ce théorènie pour le cas où l'on a .Qzz=:P , c'Q$i-à;4îrc quand on a établi la formule (&). Or, on peut donner de cette fonnule une démonstr/ition directe , qui se déduit à la vérité de Téquation (4) » mais qui parait uivriler d'être remarquée. Je vais l'exposer en peu de mots.

Admeitonsque In formule (à) soit vérifiée pour le cas où l'on a [P,R)z=zt , t désignant un angle droit ou un anglç aigu. Je dis qu'elle subsistera encore si l'on suppose

iP,ll)=~ ou (P./0 = ^-^.

£n ellct, dans ces deux hypothèses, l'angle {P,Q) compris entre les directions dt^ deux forces égales P, Q sera équivalent à l'un des angles t, n — t ; et l'on prouvera, en raisonnant comme dans le lemnie 2 , que l'on peut substituer au système des deux forces

P,Q ou à leur résultante li . quatFe composantes égales à -^ , parmi lesquelles deux

seront dirigées suivant la même droite et dans le même sens que la force // , Vendis

que les deux autres formeront chacun^ avec la résultante It un angle équivalent à {P,Q], c'estrà-dif'e, à ? pu à n — t. Or , puisiju'on suppose la formule (5) vérifiée dans le

cas où Ton a {P, /{)=:•:, le$ deux dernières composantes pourront évidemment être remplacées par une force unique égale ^ s — cos t , el dirigée dans le sens de la résultante It , ou dans le sens opposé. Par conséquent on trouvera définitivement

OU ' »

(6) ^' = 2P*(idtcosT) ,

le si^ne ± devant être réduit au signe -[* » ^^^^ '^ cas où l'on aura ( P , iî ) z= — ,

et au signe — dans le cas où l'on aura (P, R) = ----.- . Comme on tirera d'ail- *îours de la formule (4) > en y. posant successivement 0 = — et 9 = ,

T 1 4-C0St=2C05' - , 1 C0ST=2C0S

|\iqiialion (6) donnera dans le premier cas

^ = 2 cos - ,

et dans Id second

7î = 2COS— ^

Donc, si Téquation (4) subsiste quand on attribue h l'angle {PfU) la valeur r , elle subsistera encore qnand on attribuera au même angle Tune des valeurs - , 1 .

Or, celle équation se vérîGe quand on suppose {P,B) ti:= - , puisqu'on a ëviflcm-

rocnt dans celte hypothèse 7î = o , et C05(P,-ff)=o. Donc elle sera cgalrmont vraie si l'on suppose

^ ' 2 îî 4

ot par suite , si l'on prend

(^•^)=L-=i'- (^)-îO-i)=x-

Donc elle sera encore vraie , si l'on attribue à l'angle {P,fi) Tune des valeurs

Ole

it iStr Oit iX 3irX Ht \ ^ ^N 7"

Te ' 2 T = 7(r ' ^Kj" 8"y~76" ' 'l\J'~'^ j~'^ '

En continuant de même , on prouvera que la formule (5) a généralement lieu lorsque

l'angle (P,^) reçoit une valeur de la forme ^" 7* ~ ' " désignant un nombre entier quelconque, et sm-|-i un nombre impair inférieur ]x 2". Si maintenant on représente par 0 un angle aigu pris 5 volonté, on pourra faire varier les nombres entiers m et n dç manière que le rapport' ^ — s'approclie indéfiniment de la li-

mite G ; et la résultante K tendra de plus es plus îi se confondre d'une part avec une force équivalente à sPoosO , et d'autre part avec la résultante de deux forces <^gales à P , qui forlnerateftt entre elles un ang^e double de 0« Donc cette dernière l'^suliantc sera représentée en grandeur par sPcos^ , et vérifiera rnoorc la formule (o).

(36) ta construction géométrique qui sert à déterminer la résultante de deux forces P, O, appliquées à un point matériel (/^) t peut être facilement étendue à la composition de plusieurs forces P^ P\ P'.... • appliquées sulv&nt des directions quelconques à ce point matériel. En effet, après avoir composé^ entre elles les forces P, P^ , on pourra composer de la même manière la résultante des forces P, P' avec la force P**, puis

la résultante des forces P, P', P" , avec la force P'", etc

Pour obtenir la dernière de toutes les résultantes, ou, ce .qui revient au même, la résultante de tontes les forces données , il suffira évidemment de mener, par rextrémité de la droite qui représente la première force P , une seconde droite égale et parallèle à la force P* ; par Textrémité de cette secondé droite , une troisième droite égale et parallèle -'1 la force P" ; par Textrémité de la troisième di^oltc, une quatrième égale et parallèle h la force P^" , etc... Si Ton joint ensuite le point matériel donné avec Textrémité de la dernière droite, on obtiendra la résultante cherchée, qui se réduira>dans le cas de deux ou. de trois forces , à- la diagonale f u parallélogramme ou du parallélipipède construit sur ces mêmes forces , et qui , dans le cas général , formera le dernier côté d'un polygone dont les autres côtés seront les forces données. La construction précédente subsiste « quelles que soient les directions des forces P,P\P'.... Si on l'applique au cas où ces forces sont dirigées suivant une même droite , les unes dans un sens , les autres en sens contraire ^ elle fournira une résultante égale à la somme des forces qui agissent dans un sens , moins la somme des forces qui agissent dans l'autre sens, et dirigée dans le sens des forces qui composent la plus grande somme. Ainsi, par exemple, pour obtenir la résultante de deux forces. P,Q appliquées au point {A) et dirigées suivant

la même droite , il suffira de porter sur cette droite , à partir du point {A) ^ AB = P,

dans le sens de la première fbrce; puis., à partir du point (B), B D = Q , dans le sens

de la seconde force. La force représentée en grandeur et en direction par la droite A D , force évidemment /gale h la valeur numérique de P — Q , et dirigée dans le sens de la pins grande des forces P, Q , sera précisément la résultan te cherchée; ce qui s'accorde avec les principes relatifs h la composition des forces qui agissent suivant une même droite.

Pour ternfiner cet article ^ je vais rappeler ici quelques propriétés de la résultante de plusieurs forces; ce qui me fournira l'occasion de Axer le sens de certaines expressions dont je ferai dans la suite un fréquent usage.

Lorsqu'une force P , appliquée au point matériel (/f) , est représentée en grandeur cl en direction , par une certaine longueur AB comprise entre le point [A) et le

point [B) , si Ton projette la longueur- AB sur un plan ou sur une droite, la pro-* jeclion pourra être censée représenter en* grandeur et en direction une nouvelle force dirigée de la projection du point {A) vers la projection du point (B). Cette douxAlc force est ce qu'on appelle la. projection de la force donnée P sur le plan ou sur

la droite que i*on considère. Cela posé, concevons que, tous les points rlc IVspace élc'int rapportés à trois axes rectangulaires des x,y,z, on projette successivement la force P >ur trois parallèles à ces trois axes menées par le point (A) . Les trois projections seront évidemment les côtés d'un parallélipipède rectangle qui aura la force P pour diagonale; par conséquent, la force P sera la résultante des trois forces représentées par les projections dont il s'agit. €es trois forces se nomment , pour cette raison , Tes camposanieê rectangutaires de la force donnée , parallèles aux axes. Comme les projccu'oos d^une longueur sur deux droites parallèle» sont néces:»airement égales , il est clair que les projections de la force P sur les ^xes mêmes des coordonnées doivent être égales en intensité à ses composantes rectangulaires. Lorsqxie la force P est dirigée suivant une droite comprise dans Tun des plans coordoiNiéSj ou dans un plan parallèle, par exemple,, dans le plan des x^y, cette force a seulement deux oomposantes rectangulaires, parallèles. Tune à l'axe des c&, l'autre à l'axe des y,, et se réduit à la. diagonale du rectangle construit. sur ces deux composantes.

Les définitions précédentes étant admises , concevons que plusieurs forces P, P\ P'\», , dirigées dans l'espace d'une manière quelconque, soient appliquées simultanément au point matériel {A) , et que l'on cherche, i.® la résultante de ces forces, a.® la résultante de leurs projections sur un plan fixe , 3.® celle de leurs projections sur un axe fixe Pour obtenir ces trois résultantes, il faudra, d'après la règle énoncée plus haut, porter à la suite les unes des autres, h partir du point {/i) ou. de- ses projections , i.*^ des droites égales et parallèles aux forces P,P\P^,.,; 2.* des droites égales et parallèles à leurs projections sur le plan fixe; 3.® des droites égales k leurs projections sur l'axe fixe , et dirigées dans les mêmes sens. En joignant le point A , ou sa projection , avec l'extrémité de la dernière droite , on. obtiendra. dans chaque cas la résultante cherchée. Or, les droites ainsi construites sur le plan ou sur l'axe fixe étant évidemmentJes projections des droites construites dans l'espace , on doit conclure que la résultante des projections des forces P,P\ /'^.. sur ce plan ou sur cet axe est précisément la projection de la résultante de ces mômes forces. On peut donc énoncer la proposition suivante.

2.' Thêob^he. Plusieurs forces P^P'^P" ... étant appliquées à un même point y iuivant des directions quelconques, si on les projette , ainsi que leur résultante B , sur un plan ou sur un axe donné , ta projection de cette résultante, ru sera autre chose (fue ta résultant» de leurs projections.

Pour montrer une application de ce théorème, supposons que l'on. projette Ma-fois, ^iur l'un des plans coordonnés , une force et ses trois composantes rectangulaires. Comme,, parmi les projections de ces trois composantes, l'une s'évanouira, les deux autres projections, respectivement égales aux composantes qui leur correspondent j. auront néoesr .«airement pour résultante la projection de la force donnée.

Il ne reste plus qu'à traduire en analyse les résultats que nous venons d'obtenir. Qos T parviendra sans peinn, en ayant égard aux observations suivantes.

Pour que rcifet d'ane force &^\i cooiplèt^oieDt détermioé , il ne suflU pas de coaoafireson io(en$ilé> son poiut d'appllcaliou, et la droile suivaat laquelle elle agit. Iliaul encore sovoir daus quel sens elle est dirfgée suivant çeitp droite, ou, en d'autres termes, quelle est sa direction. Car deux forces qui agissent suivant une même drolle, peuvent être dirigées en sens contraires. Ainsi , Ton peut dire qu'une senle droite comprend deux dîrcclions dliTéreiUes^ et Ton n'obtient qu'une seule de ces deux directions, lorsqu'à partir iWm point donnii on prolonge indéfiniment cette droite daoa un sens déterminé.

Sauvent on appelle ax€ une droite men^ par on point quelconque de Tespacc , ot prolongée indéfioment dans les deux sens. Nous dirons qu'un axe de cette espèce se divise en deux demi^axes, aboutissans au point que Ton considère, et dont chacun se prolonge indéfiniment dans un seul sens. Par conséquent, chacu^ de ces deux demi-axes aura toujours une direction déterminée. Si l'on considère trois axes rectangulaires des X, y ei z, chacun d'eux sera diTi9é à rorigînc en deux demi-axes , sur Pup desquels se compteront les coordonnées positives , tandis que l'on comptera sur l'autre les ooordonnéc5 négatives.

D'après ces définitions, il est clair que, si Ton lient compte seulement des angles qui renferment au plus 200 degrés [notuvelte division), deux axes ou deux droites, tracés de manière à se couper, formeront toujours Pun avec Pautre deux angles, Pun aigu, l'autre obtus, tandis que deux directions ou deux demi-axes, aboutissant à un point donné , formeront un seul angle, tantôt aigu , tantôt obtus. Lorsque deux directions ou deux demi-axes aboutiront h deux points dilTérens de l'espace, ils seront censés former enti*c eiYX le même angle que formeraient deux demi-axes parallèles et prolongés dans les mômes sens , ù partir d'un point unique. Gela posé , Pangle que deux forces formeront entre elles sera tonjours complètement déterminé, et l'on pourra en dire autant des angles formés par une force avec les demi-axes des coordonnées positives. Soient «^ p , ^ , ces trois angles pour une certaine force P, en sorte que

a désigne Tangle formé par |a direction de cette force avec le demi-axe des io positives ;

fj avec le demi-axe des y positives ;

Y avec le demi-axe des z positives.

Il est clair que la direction do If^ force P sera complètement déterminée , si l'on connaît son point d'application avec les trois angles «,^,7* En effet, menez par Io point d'application trois demi-axes parallèles k ceux des coordonnées positives , et construisez ensuite , autour de ces demi-axes, trois cônes droits dont les génératrices forment respectivement avec ces mêmes demi-axes les angles et , ^ ^ 7 • La direction de la force P devra ôlre celle d'une génératrice commune aux trois cônes. Or, il est bien vrai que les surfaces des deux premiers cônes se cpnpent suivant deux génératrices. Mais on doit observer que , ces deux génératrices formant avec le troisième demi-axe deux angles difTérens , \\\u aigu , l'autre obtus , une seule se trouve comprise dans la surface du troisième cônr.

(39) Lorsque les angles « , p , 7 , sont connus avec Tîntcnsilé de la force P, on en déduit encore les Taleurs des composantes rectangulaires de la force , ou , en d'autres termes , ses projections sur les axes, et même le sens dans lequel chacune de ces pro> jections est dirigée. Considérons, par exemple, la projection de la force P sur Taxe des X. Elle sera , d'après un théorème de trigonométrie, égale au produit de celte force par le cosinus de Tangle aigu qu'elle forme avec Taxe dont il s'agit. Or , la direc lioD de la force P forme avec les deux demi-axes des x positives et des .œ néga> tires deux angles supplémens l'un de Taulre, dont le premier est représenté par <t, ci le second par n — « . En conséquence , la projection de la force P sur l'axe des x

se trouvera représentée , si l'angle « est aigu , par le produit jPcosa,

et si l'angle « est obtus, par Pcos(7r— «)= — Pcos«,

cest-à'dtre, dans les deux cas, par la valeur numérique du produit

P cos « .

Il est d'ailleurs évident que celte projectioiir sera dirigée dans le sens dos x positives,

si Fangle « est aigd, dans le sens des x négatives si l'angle a est oètus, et que

le produit Pcosec sera positif dans le premier cas , négatif dans le second. En résumé,

le produit Pcos« sera équivalent à la projection de la force P sur l'axe des x ,

prise a?ecle signe -4- ou avec le signe — , suivant que cette projection sera dirigée dans

le sens des x positives ou dans le «eas des x négatives.

De même les produits Pcosp , PC0S7, seront respectivement égaux aux projections

de la force P aur les axes de» y ei z, prises taftiM avec le signe -f- , tantôt avec

le signe —, suivant que chacune de ces projections sera dirigée dans le sens des coor-

données positives ou négatives.

Les trois produits

-Peosi», Pcosp, Peosv,

àont on vient de montrer la signiflcalion , sont ce que nous appellerons désormais les projectianê algébriques de la force P sur les axes des x , des y et des z. Gomme les valeurs numériques de ces trois produite feprésentent précisément les composantes rectangulaires de la force P , * et que ces trois composantes sont les arêtes d'un parailéifpipède rectangle qui a h foece ell^mémc pour diagonale « il est clair que la somme des carrés de ces produits doit être égale au carré de P. On a donc