SUR LA DÉTERMINATION

DES CONSTANTES A1^BITRA|RÊS

RENFERBIÉES DANS LES INTÉGRALES DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES.

J'ai fait voir» dans le premier volume des Exercices de mathématiques , avec quelle facilité Ton déduit du calculdes résidus les intégrales générales des équations différentielles linéaires à. coefficients constants » et méme^ dans plusieurs cas, à coefficients variables. Mais les intégrales dont il s*agit renferment des fonctions arbitraires ; et de ces fonctions dérivent ^ après l'extraction des résidus, des constantes arbitraires» qui, dans chaque problème, doivent être déterminées de manière à vérifier des conditions particulières. Or , dans la plupart des questions qui conduisent à des équations différentielles de Tordre n entre deux variables a? » j » on connaît a priori les valeurs des fonctions

y — dx'

correspondantes à une valeur donnée Xo de la variable x . Alors on peut fixer complètement la forme de la fonction arbitraire comprise sous le signe £ , et Ton y parvient en efj^t, quand Téquation est linéaire» en suivant les méthodes que nous allons indiquer.

Considérons en premier lieu Téquation différentielle linéaire

dans laquelle a, » a, » ... Aa.i » an désigaent des coë'fficients constants; et faisons» pour abréger »

(a) F(r) = r" + fl, r"- ' + a.r"— + ... + ««... r + a^ .

intégrale

le signe C ^^Q' relatif k la lettre r » et • r (**) représentant une fonction d^ r

assujettie k conserver ùbe rafetir IBiûie pour toèt^s te Vat^ûrs'dfe r î>ropl^s k vérifier la formule

Gela posé , concevons d'abord que les valeurs des fonctious

correspondantes k âb = sd. t doÎTont se réduire aux différents termes de la progressipn géométrique

(6) «•=!, «S ïj»,... lî"-»,

I] désignant une quantité constante. Comme, en nommant m un nombre entier quelconque » on tirera de ta formule (5)

il suffira évidemment d'assigner k la fonction 7 (r) une valeur telle que la condition

lit rXp m

se trouve remplie pour toutes les valeurs de m inférieures k n . En d'autres termes , il suffira que Ton ait , pour m <in ^

^ ((F(r))) -^^ar-,))-*' OU 9 ce qui revient au même »

(9) ^^'"^'i}rt]\T ^^'

Or, le produit (r — «) F(r) étant , par rapport k r , du degré n — 1 » on aura généralement^ en vertu de la formule (64) de la page a5 du premier volume ,

(lo) C/ ■ »

et par conséquent la condition (g) sera vérifiée , si Ton pî*end

OU y ce qui rerienl au m£i^e ,

C déaigiuiiit une quantité ponitaote» c'esk-k-dfre indépendante de r. De plus , si Ton veu^t que » 4^ns TéqualioQ ( 1 ) > I9 foncilop 7 (r) copserTe une valeur finie pour toutes les valeurs finies de r , et en particulier pour r = n , il est clair que le numérateur de la firaction

F(r)->-C r-ïî

devra s'évanouir avec son dénominateur. Il faudra donc que Ton ait

F(ii) + C = o , ou C = — F(i») ; et par suite là formule (1^) donnera (i3) ç(r) = — L2 — Lie

En substituant cette dernière valeur de v ('*) ^ns Téquation (3) , on trouvera

On peOt donc énoncer la propoaiticai suivante.

1." J4ftQaftMB. Si Con intègre C équation {i) de manière que la f onction y et $es dérivieê (Fun ordre inférieur à n ^ c'est-à-dire , tes quantités

' V* ii/C«-3> vC*— O vC«— O

se réduisent^ en vertu de la supposition x = Xo , aux différents termes de la pr^f^eùion géométrique

(6) >ï% *»»,->»»,... Jï»-% n«-% lï»-»-

/a valeur générale de y êera eelU que détermine la formule (j4)'

Si , dans le second membre de Téquation (i4) > on dëreloppe la fonction — ^^^* ^^'' en un polynôme ordonné suivant lès puusances ascendantes de i, on en conclura

(i5) j^ = P + <?'» + *'»• + ... 4- 17>ï«-3 + f'ïî»-» + ^lî"-» ,

P, Q, R, ... V, f^, fV désignant des quantités indépendantes de n» et qui renfermeront la seule variable x. Or ; la valeur précédente de y devant satisfaire aux conditions énoncées dans le i.*' théorème, quelle que soit la valeur attribuée à la constante arbitraire n, il en résulte évidemment, *i.^ que chacune des fonctions

substituée à la place de y dans Téquation (i), vérifiera cette même équation; â.^que l'on aura » pour la valeur particulière x^ de la variable x ,

P=i, Q = o, R=zo, ^ = 0;

P' = o, Ç'=i, /î' = o, W = oi

(16) {' P' = o. Ç' = o, R'=\, fV'^o;

/>C— 0 = 0, ÇCi.-0 = o, ^C— 0 = 0,... »^<«-'>=i;

Concevons maintenant que les valeurs des fonctions (5) » correspondantes à a; = x«, doivent se réduire , non plus aux différents termes de la progression (6) , mais à des quantités quelconques désignées par

(17) ^o f ''a » "a » ... ïlii — 3 • Qn««a » Hfi«.i>

Pour obtenir la valeur générale de j , il suffira évidemment de recourir h l'équation (i5) présentée sous la forme

(18) • jr = PiïO 4- Q*î« + fil,* + ... + f7*ï"-» + f^ïï"— + ^«"— ,

et de remplacer dans cette, équation les exposants placés à la droite de la lettre n par des indices. En d'autres termes , on aura

Il est clair en effet que celte dernière valeur de jr vérifiera Téquatioa (i) avec les conditions prescrites. Or, le second membre de la formule (ig) est précisément ce que devient le second membre de l'équation (i4) développé suivant les puissances entières de TU ^ quand on substitue des indices aux exposants .de ces puissances. On peut donc énoncer encore le théorème suivant.

2.* THioBÊMB. Si Con intèg;rc C équation {\) de manière que la fonction y et ses dérivées dCun ordre inférieur à n, se réduisent , en vertu de la supposition x=:Xo, à des quantités données >io » «i » ••• Vn—i » Ict valeur générale de y sera celle que fournit C équation (i4) * lorsque , dans la fonction entière de n équivalente au rapport

—^ ^ , on remplace les exposants dis puissances de i par des indices.

Exemple. Proposons-nous d'intégrer l'équation différentielle

de manière que l'on ait, pour x = o, /=i et j'=io. On trouvera, dans ce cas particulier y

F(r) = r» + a*, -■ ^" ^ ^ == = riï« + D', »io=i, »jt = o, aîo = o;

r-ïî

et l'on tirera de la formule (i4) t en remplaçait les exposants de n par des indices ,