SO

et que la tïléiïr cle t;'^'"> , donnée par la formule (sg) , s*évanouira toujours pont X = ^b ; il suffira éfkleBiiBeal d'aasujetlir les fonctions

doui la première vérifie Téquatiou (i ) » à prendre » pour ce = Xo > des valeurs respectivement égales aux quantités

On aura donc, en vertu du 2/ théorème.

(5o) u=imzmji

pourvu que , dans la fonction entière de » équivalente au rapport *-^-^^ ^ , on

remplace leii exposants de la lettre yi par des indices; et Pou tirera de l'équation (^5) , mais sous la même condition ,

ou , ce qui revient au même ,

Si à Téquation (aS) on substituait celle-ci ,-, d'y d'^'-y d'-^y dr

la valeur de y conserverait la forme que lui assigne Téquation {Sa). Seulement la fonction F(r) deviendrait

(34) F(r)=aor» + a.r'— »4-a,r"-* + ...+a„^,r4-a

On peut donc énoncer la proposition suivante^

3.* TnioBÂME. Si Con intègre Céquation (33) de manière que la fonction y, th iti dérivies d*un ordre inférieur à n ^ se réduisent , en vertu de la supposition

as r= sTo» à des quantités données Do » ^i » d> /••• ^n-i ; la valeur générale de y

loppcmcni au rappçri — ^

( 3» ) sera celle que fournit téquatùm (3s) jointe à la formule (34) , lorsque., 4an$ le dire-

|JI/ N Jf/ \

loppemenl du rapport — Lil— i2L^ suivant Us puissances eniièru de n, m iransforme eh indices les exposants de ces puissances^ Exemple. Proposons- nous d'intégrer l'équalion

de manière que Ton ait, pour une valeur nulle de x, j = >2o ot j^';=:yi,. Oo trouvera, dans ce cas particulier,

r-iî et l'on tirera de la formule (Sa), en remplaçant les exposants de n par des indices,

(56) j,= <rj(r«. + ,0e"+/V^'-V(«)rf*|-((7T7r)T

ou f ce qui revient au même ,

(57) j = ^oCossD + )9sSinx-t- / 8in(aî — ^)*f{z)dz. 9.^ Exempte. Proposons- nous encore d'intégrer l'équation .

de manière que Ton ait, pour une valeur nulle de x , / = >io et y=:r,^. On trouvera, dans ce cas particulier,

F(r)=r.-.r+, = (r.,)», !:(±lM= (2:lIl±Z± = (,-,)„.+,.. 'x.= o;

( 55 ) et Ton tirera de la formule (3i) '

(39) 7 = <î. [(r— a) «. + «.] e'-'^ rc'^<'">f[z)dz

OU, ce qui revient au même,

(4o) y=[>I.4-(''. — ''.)«]6'+y*'(x — »)6— */(s)rf«.

CoosidéroiM encore Téqualion «différentielle

a \ ^"J . ^' <^"""'J . <»» d'^-^y Qn^i dy a»

dans laquelle A, B^ a^, a» a„^i9 a» désignent des quantités constantes. Si

l'on fait, pour abréger,

(4^) F(r)=y<''r(r— i).. (r— n+ i)+a,^'*-"y(i*— i).. (r— n+2)+..+a«^,/fr+a„ ,

rintégrale générale de Féquation (40 sera [voyez la page sGi du premier yolume]

? (r) désignant une onction arbitraire de r , qui ne devienne pas infinie pour des valeurs de r propres k vérifier la formule

Cela posé , concevons d'abord que les valeurs des fonctions {5), correspondantes à x^=Xo9 doivent se réduire aux différents termes de la suite

^^^^ "^ — * ' Axo-^B ' {Ax^+B}* • - {Ax,+By-^ '

Comme » en représentant par m un nombre entier inférieur k n , on tirera de la

formule (45) ^