FM

(54) il tat&n iriAemmmt d*atsigDer h la fonction f (f) une ralear telle que l'on ait , poix

ou j ce qui rerient au mAme ^

f r(r..)...(r-i..t.)t(r-.H/(».tII)'TM-FM]

M" ^ « (— )Fn)) "■

Or , en Terta de la formule (64) de la page s3 du premier volume , la condition (48)

aéra TériGée , si l'on prend

(49) (r-.)(^», + «)',M-rW=C,.

ou

(5.) ,M = 2(iî£(^^.+^)-^

G désignant une quantité constante que l'on devra réduire à — F(n)> siTonTeulque j{r) conserre une valeur finie pour r =: » . On pourra donc supposer

(50 ,(^)=-ïi^(^«.+«r

Ea substituant cette dernifere Talear de f(r) dans la fortoule (45) , l'on troiiTcn

y=iii±mi4^]

Par conséquent on peut énoncer la proposition suivante.

4.* TBioaims. Si Con intègre Céquation (4i] d» manière que la fonclian y et m dérivéeê d'an ordre infiriear à n te réduisent , pour x = x, , aux différtnts lermet de la iuiu (45) , Ut valeur de y sera celte que difermine ta fbrmule (Sa).

Concevons maintenant que la fonction y, et ses dérivées d'un ordre inférieur à n, doivent se réduire , pour x = Xt, non plus aux différents termes de la suite (4ô) , ^ mais k des quanUtés quelconques désignées par

\lors, par des raisoanemenla semblables h ceux dont nous avons fait usage pour établir

le tliéorême a , on prouvera sans peine que la valeur de y coïncide encore avec celle que fournit Féquation (Ss) , quand , après avoir développé la fraction

(55) JW-FW

en une série de termes proportionnels aux différents produits

(54) u'^rr:!, u , «(n — l) , ... u(î1 — l) .,. (n — n -|- a) ,

on remplace respectivement ces mêmes produits par les quantités

(55) lî, , '''(^•^""z) ' "•(^•"^'7") '"' ''"""'(*'*"^"J"]

Ajoutons que» pour eflectuer le développement en question , il suffira d'avoir égard aux observations suivantes.

Si Ton désigne par t{œ) une fonction entière de le variable x, du degré m, et par n un nombre entier quelconque , on aura généralement , en supposant ^x=i,

(56) f (« + «) = f (X) + ^ Af (X) + i^A«f («) + ... + "^"7^; j";7'^ A"f(a^) .

puis on en conclura « en réduisant x à zéro,

(Sy) f (n) =

f(o).£(±Mn.^(')-'*^f'H^(°)n(n-.).../H-^^-')^"^^^°)n(n-0..(n-m

Or» les deux membres de la formule (57), étant des fonctions entières de n, qui demeurent égales toutes les fois qu*on prend pour n un nombre entier, ne cesseront pas d'élre égaux» si Ton y remplace n par x [voyez le chap. lY de l'Analyse algébrique]. On aura donc » quel que soit x »

1 1.3 l.SiOtt.Tfl ^

Si» dans la formule (58)» on substitue la lettre n à la lettre se» le rapport — ^-^ — —

à la fonction {{x) » et Je nombre n — 1 au' nombre m » on obtiendra immédiatement le développement demandé.

Gonsidéroni enCo réquation différenlielle

L*inlégrale générale de cette équation sera [voyez la page a63 du premier volume]

<^) ^-<=' ((F(r))) +'*'i' -Pôîl)

les fonctions ^ (r) , F(r) ayant les mêmes valeurs que dans la formule {4^}; et, si Ton a recours aux raisonnements à l'aide desquels nous avons établi le ihéorémc 5, on obtiendra immédiatement la proposition suivante»

5.* TflioRÂiiE. Si Con intègre Ciquatian (Sq) de manière que la fonction y et ses dérivées d^un ordre inférieur à n, se réduisent , pour x = X(,, à des quantités données

Ia » ^1 » )9a f ••• y)/i— ■! »

la valeur générale de y sera celle que fournit C équation

quand 9 après avoir développé la fraction (53) en une série de termes proportionnels aux produits (54) , on remplace ces mêmes produits par les quantités (55). '

Si ,à réquation (i) on substituait celle-ci

/£ \ ^"^ *» rf^-'j' fl, i^^-'y ««-« dy an >., .

^ ' ^«'•^«+i^i/««--'^(^a?+B}»£/a?''-»^'"^(>^a?+J?)«--"i/a? (^ap+fi)'*-^ -^ ^ ^

la valeur de y conserverait la forme que lui assigne l'équation (6i)» Seulement la valeur de F(r) deviendrait

(63) F(r)=a^^«r(r— i)..(r— n+i)+a,/<''-*r(r— i),.(r— n + 3)+.. + a„,/fr+rt„,

et par conséquent on se Irouverait conduit au théorème que nous allons énoncer.

6.* THÉoKÊirE. Si ton intègre Céquation (62) de manière que la fonction y et ses dérivées d^un ordre inférieur à n se réduisent, pour x = Xof à des qumitUés données

ia valeur générale de y sera celle que fournit C équation (6i) jointe à la formule {Gi\, pourvu qn^après avoir développé la fraction (53) en une série de termes proportionnels aux produits (54) $ on remplace ces mêmes produits par les quantités (55).

1,** Exemple, Proposons-nous d'inlégrer Féqualion

(l*y ^ dy y

^ ^' dx^ '^ 'x dx ^ * '

de manière que Ton ait y = rio ck y=:ni pour a5= 1 . On trouvera, dans ce cas particulier , , .

et Ton tirera de la formule (6i) » en remplaçant les exposants de n par des indices^

j.=<î:j(r,. +«.)«-+ /f(T)''»rf*j-(prr)j '

OU , ce qui rcTient au même ,

2/ Exemple» Proposons-nous d'intégrer l'équation

de manière que l'on ait j = îi. et yz=zr,i pour aj=i. On trouvera, dans ce cas, F(r)==r'+ i ,

et par conséquent

(69) . j' = »!oCosl(aî)+>î, sinl(a5) -|- / 3;/(») . cos^l f — J.d*.