SUR QUELQUES PROPRIÉTÉS DES POLYÈDRES

Rapportons tous les poioU do l'espace à trois axes rectaugulatres des x» y^z; et désignons par s , s\ s',.*, les faces d*un polyèdre quelconque. Soient d'ailleurs « , P, 7; a\ P\ y'; ol's P'f 7'; etc. ... les angles que des perpendiculaires élevées sur les plans de ces faces » et prolongées en dehors du polyèdre» forment ayec les demi -axes des coordonnées positives. Le produit «cosa représentera évidemment la projection de la face s sur le plan des jr , z perpendiculaire II l'axe des x » cette projection étant prise avec le signe -|~ ^^ ^^^c le signe — , suivant que la face s sera située par rapport au polyèdre» du côté des x positives , ou du c&té des x négatives. De même le produit rcos^» ou rcosv représentera la projection de la face s sur le plan des z,x ou des x, y , prise avec le signe -|~ » ^^ ^^ ^^^ ' ^® trouve située» par rapport au polyèdre» du côté des y ou des z positives^ et avec le signe — * dans le cas contraire. Cela posé , si Ton nomme projectiom algébriqua de la face s sur les plans coordonnés les trois produits scosa, 5COsp» scosy, on établira sans peine les propositions suivantes.

i."" TuÈOBBMB. La somme des projections algébriques des faces d^un polyèdre quelûonque sur chacun des plans coordonnés se réduit à zéro.

Ce théorème » qui était déjà connu » se trouve renfermé dans les trois équations

*cosa-|- j'cosfli' + *'co*«* + -«» = Oj (i) { «cosP4-*'cosp'4-^'cosp'-|- ... =0,

*cos7 4"*'coS7'4-*''cos7' 4" ••• =^.*

Pour démontrer ces équations » quand le polyèdre est supposé couTexe » il suflSt d'observer que la projection de ce polyèdre sur le plan des y,z, par exemple, est tout à la fois équivalente à la somme des termes positifs du polynôme

(«) «C0Sa-4-*'C0Sa'-|-*'c0Sa*4" ••• »

et à la somme des termes négatifs pris en signe contraire. Donc ce polynôme aura toujours , dans Thypollièse dont il s'agit » une valeur nulle. On doit en dire autant des deux polynômes

(3) scoêP'^s'cosp' -{-s'oosp' + .,, ^

(4) *co»7 4-«'co8'/ + **cos7*4-^««« •

Le Ihéoréme i/' étaDt ainsi démontré » dans le cas où le polyèdre est conircxc» il est. fkcile de reconnaître qu'il s'étend au cas même où celte condition ne serait pas remplie.

2.* THioRÊMB. Supposons qu*après avoir projeté lès différentes faces tfun polyèdre sur Us plans coordonnés, on multiplie la projection algébrique de chaque face sur Cun de ces plans par Cune des coordonnées du centre de gravUé de la face que l'on considère, puis, que Con ajoute au produit ainsi formé tous les produits de même espèce^ La $&mmt qui en résultera sera équivalente au volume du polyèdre, si Con a employé dans chaque multy}Ucation ta coordonnée perpendiculaire au plan sur lequel les différentes faces étaient projetées. Cette somme sera nulle dans le cas contraire.

Si Ton nomme v leyolume du polyèdre , et ç, »», C; Ç\ >î' ?'; Ç% u', ^"^ etc. ... les coordonnées des centres do gravité des différentes faces , lo théorème a sera renfermé dans les neuf équations

5ÇC0Sa+i'Ç'c0Sx'+... =C, *y,C0Sa+i'iî'C0S»' + ... =:.0, *ÇC0Sa+j'Ç'c0S«' + ... =0^

(5) \ *fcosf+*'ï'cosp'+...=o, «ïrcosp+j'»j'cosp'+... = », •Çcosp + «'Ç'cosp' + ... =Oy *5co57+5'Ç'cos '//+.•. =0, JncoS7 + .f'>j'cos7' + ... = o, *Çcos7 + «'Ç^co87' + ... =¥.

Pour démontrer la première des équations (â), projetons les différentes faces du polyèdre sur un plan perpendiculaire \ï Taxe des x, et qui soit situé tout entier, par rapport au polyèdre, du côlé des x négatives. Soit x=^a Téquation de ce dernier plan. La projection de la surface s sur le plan x-=a sera représentée , au signe près , pan le produit jcosa, tandis que le V4»lume compris enlre cette surface et sa projecUoa sera équivalent au produit ,

(6) s{l — a)cosz

pris avec le signe -4~ ^i ^^^^ '^ signe — , suivant que la surfâée s sera situéo , par rapport au polyèdre , du côté des x positives , ou du côté des x négativcii* Cela posé 9 pour obtenir lo volume v , il suiCra évidemment, si le polyèdre est cou- ▼cxe, de former les produits semblables à l'expression (6) , puis d'ajouter, parmi ces. produits j 1.* ceux qui seront positifs , s.** ceux qui seront négatifs, et de retrancher de lit première somme la valeur numérique de la seconde, ce quL revient à réunir les doux, sommes en laissant chaque prodJuit affecté du signe qu'ilprésento. On aura donc

(7) «(5 — a)co8a + «'(«' — a)cosci'-|-#''(ç'^a)co8«» + ...=v; puis , on en conclura, en ayant égard à la. première des formules (1) ,

On établira do la même manière , si le polyèdre est convexe , les deux équations

(9) tfiï 4- «'«' + **"* + ••• =v ,

et l'on reconnaîtra ensuite que les équations (8) » (9) » (10) peuvent être facilement étendues au cas où il s'agit d'un polyèdre quelconque.

Pour démontrer l'équation

(u) sicosP-^-s'i'cosp' +«''5^cosf* + ... =0 ,

il suffit d'observer que le polyèdre » s'il est convexe , donnera pour projection sur le plan des X » z une surface telle qu'en multipliant Tabscisse du centre de gravité de cette surface par la somme des termes positifs ou par la somme des termes négatifs du polynôme (3)» on reproduira la somme des termes correspondants k des cosinus positifs, ou la somme d/es termes correspondants à des cosinus négatifs dans le polynôme

(12) #ÇC0sP4-«'Ç'C05p'4-5'rC08P''4-

Il est aisé d'en conclure que les deux dernières sommes seront égales» au signe près» comme les deux premières. Donc» en réunissant les deux dernières sommes avec les signes qui leur conviennent, on obtiendra zéro pour résultat, ensorte que la formule (11) se trouvera vérifiée. Le même raisonnement s'applique en général à celles des formules (5) dont le second membre est nul, et peut être facilement étendu au cas même où le polyèdre proposé , cessant d'être convexe , présenterait des angles rentrants en nombre quelconque.

Aux propriétés des polyèdres » énoncées dans les théorèmes 1 et 2, correspondent des propriétés analogues que présentent les polygones renfermés dans des plans , et que nous allons indiquer en peu de mots.

Considérons un polygone quelconque renfermé dans le plan des x,y, et dont les côtés soient désignés par r, r', r*,,.. Nommons «, p; «', p' ; «', ^*... les angles

que forment, avec les demi-axes des coordoanëes positives , des perpendiculaires élevées sar ces cotés, et prolongées en dehors da polygone. Soit enfin s la surface du polygone, et ï,'»; Ç',îï'; Ç^ *>*#.. les coordonnées des milieux des Côtés r, r\ r",... On aura

(i5) r cosa4-»''cosa'-J-eic. =0 , rcosP + r'cosfi' -^eic. =o ,

et de plus

( rÇC0Sa-|-r'Ç'C0Sa'-|-... =* , . f>îCOSa4-»''*î'cOSx'4-... := O ,

( i'îcos?4-r'ç'cosP'4-... = o, «•«cosp + r'ïj'cosp'-f-... =$.

Si , pour plus de commodité , on nomme projections algébriques des côtés du polygone sar les axes des / et x les produits

rcosa, r'cosa'» r*cosa*,...

rcosp, f'cos?', r^'cos^'j...

les équations (i3) et (i4) fourniront les théorèmes suivants dont le premier était déjù connu.

3/ THioBÂHB. Si Con projette '(Sur Caose des x ou sur[Vaœ des y Us divers câtés iun polygone tracé dans le plan des x, y, là somme de ients pro/ections algébriques sera équivalente à zéro.

4.' THioEÊME. Supposons qu^après avoir projeté sur Paxe des x ou sur Caxe des j Us divers câtés d^un polygone renfermé dans le plan des x, y, on multiplie la projection algébrique de Cun de ces côtés par C abscisse ou C ordonnée du point qui le divise en deux parties égales , puis qiCon ajoute au produit ainsi formé tous les produits de mime espèce. La somme qui en résultera sera équivalente à la surface du polygone , si Von a employé dans chaque multiplication la coordonnée perpendiculaire à Caxe sur lequel an projetait les différents câtés. Elle sera nuUe dans le cas contraire.

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