AS

naisoD de la surface par rapport aux plans dont il s*agit« Cela posé , soit v le Tolume d'une portion du corps de?enue rigide , j, s^ «', .... les aires des surfaces planes ou courbes qui recouvrent le volume i; ; x,jr,z les coordonnées rectangulaires d*un point pris au hasard dans la surface s; p h pression ou Xeusion exercée en ce point contre la surface; a» ^» 7 les angles que la perpendiculaire k la surface forme avec les demi-axes des coordonnées positives; enfin ^» f^'» 1» les angles formés arec les mêmes demi-axes par la direction de la force p. Si l'on projette snr les axes des x, y et z les pressions ou tensions diverses auxquelles la surface sera soumise , les sommes de leurs projections algébriques sur ces trois axes seront représentées par les intégrales

(1) / / pcos\,co9y dydXf t J pcos[L,cos*fdydx^ 1 1 pcosv.cosfdydx,

tandis que les sommes des projections algébriques de leurs moments linéaires seront respectivement, si Ton prend pour centre des «moipepla Forigine 4^ coordonnées ,

(2) / j p{jrcoS'»'ZCO^fi)cosydydûBfJ I p{tcos\''aco$v)co8jdydXf 1 j p{acoBn-ycos\)coiydjrda;

eu , si Ton transporte le centre des moments au point.quî a pour coordonnées Xo rjo r ^o >

jy*/>t{r-ro)cosv.(« -XoOcoSfi^cpsyjfjrfa?, .

(3) / I j p{{i'to)con\'{x'Xo)cos'9]cosydydx,

JJ P[(^-«?o)cO5fX-,(jr-^o)C08>]CQS7</yé/a?.

Dans ces diverses intégprales , les limites des int^rations relatives aux variables x , y devront être déterminées d'après la forqie du contour de la surface s , de manière qu'on ait entre ces limite^

(4) jlC0BydydX:=:9.

Si la surface s devient plane^ et le volume v ' très-petit, en sorte que chacune de ses dimensions soit considérée comme une quantité inÇniment petite du premier ordre » alors les variations , que les trois produits

(5) pCOSX^ pCOSft, pcosv ,

éprouveront , dans le passage ^'un4>o}nt h un aiili^ de |a surface s , seront encore in-

linîincni peliles du premier ordre; et» en négligeant les infinimeiH petits du troisième ordre dans les valeurs des intégrales (i) , on réduira ces intégrales aui^ quantités

(6) />5C06>, pSCOSft, pSCOSv.

Si d'ailleurs on fait coïncider le centre des moments ^ayec un point du vdume v , les intégrales (5) seront des quantités infiniment petites du troisième ordre, et il suiEra de négliger 9 dans ces intégrales, les infiniment petits du quatrième ordre , pour qu'elle^ se réduisent au^: produite

(7) /?*[('î-^o)co8v-(ç-2o)oo8fx], /?j[(,ç--Jo)cosX-(Ç-a?o)coâv], pj[(ç-a?o)cosfi-(u-jo)co3>], !>'}>$ désignant les rapports

/ / xtOBfdydx I f j^eosydydx j j zoo9ydyda>

c'est-à-dire les coordonnées du centre de gravité de la surface s .

Soit maintenant m la masse infiniment petite comprise sous le volume v. CoiK cevons en outre que la lettre 7 représente la force accélératrice appliquée à cette masse 9 si le corps solide est en équilibre , et dans le cas contraire, l'excès de la force accélératrice appliquée sur cefle qui serait capable de produire le mouvement observé de la masse m. Enfin nommons X, Y, Z les projections algébriques de la force ?» et S», >3o« (o les coordonnées du centre de gravité de la masse m. Si l'oa suppose que la force accélératrice ? reste la même en grandeur et en direction dans tous les points de la masse m, il devra 7 avoir équilibre entre la- force motrice m^ appliquée au point (S«^, Ho t (o) n ^^ 1^ forces auxquelles se réduisent les pressions ou tensions exercées sur les surfaces 5, tf\ . . . • • Donc lès sommes des projections algébriques de toutes ces forces et de leurs moments linéaires sur les axes dés x,jr,z devront se réduire k zéro. Donc, si Ton se contente de placer un ou plusieurs accents à la suite des lettres p, ^»f&»Vy E»>i>C» comprises dans les expressions (6) et (7)» pour indiquer les nouvelles valeurs que prennent ces expressions » quand on passe de la surface s à la surface s', ou a% ou s"', etc. ...9 on trouvera , en négligeant , dans les-sommes des forcesprojeléeSt les infiniment petits du troisième ordre, et dans les souimc:^ des moments Hnéaires projetés , les infiniment petits du quatrième ordre ,

p5C08>+p'5'cosV+ +w^ = o,

(9) i />*cos^+p'*'co8^'+.....+my = o,

Cio){/?*[(ç-2o)cos>-(^a?„)cosv]+pY[(Ç'-ro)co8X'.(Ç'-a?t,)co8v']+..+m[(Ço-^D);ï f?«[(Ç-^o)co5fi-(«-^o)cosX]+/?'j'[(ï'-a?o)cospi'-(iî'-7o)cosV]+..+m[(Ço-a:o)y-(«

Or , la masse m élant elle-même infiotmëat petite du troisième ordre , les termes qui la renferment seront du troisième ordre dans les formules (9) , du quatrième ordre dans les formules (lo). On pourra donc négliger ces termes» et remplacer les formules dont il s'agit par les suivantes

pjcosX+p' j'cos^'+p''j*'cosl'+/"j'"co8>'" + *=^o ,

(il) l p#C05fA+/?'5'C0SfA' + />*5''C08fX*+p'"j'"C0SfA'"+ ^= 0 ,

pJCO9v+p'j'C0Sv'+p*5*C0Sv''+p'"3"'c0S^'" + . . := 0 *,

( P^ [(« -Jo) COS V - (Ç - «« ) COSfi] + p'j' [(n' - Jp) COSv' - (Ç - «o) COSft' ] + ...... = 0 ,

(12) \ p5[(C-îo)cosX- (Ç-a?o)co8v]+p'j'[(Ç'-ro)co5V-(Ç'-a?o)cosv'] + = 0,

p«[(Ç-a;o)co9^-(ïî-jo)co8>]+p'j'[(Ç'-*.)cosfi'-(n'-jo)cos)/] + =o.

Si Ton voulait tenir compte des variations que peuvent éprouver la force accélératrice ^ et ses projections^ algébriques X f YfZ, quand on passe d*ua point à un autre de la masse m, il faudrait remplacer» dans les équations (g) et (io)« les six quantités

mX t mJK, mZ;

[(^o-7o)Z'-(Ç<.-î„)y], »n[(i;.-:o):r-(Ç.-x<.)Z], m[{l,-a:o)Y-ino-y.)X]

par six intégrales de la forme ,

rÇCfXdidydx, fjjfldzdydx, JJJ ^Zdtdydx;

/YTpt(j'-J'»)Z-(«-"")l']''*<',)rf«> jyfpl{z'to)X-{x-X„)Z-\d2dydXr

? désignant la densité du corps solide au point (a> » j, z) , et les limites de^ int<;|^raf tioDs étant relatives au& limites du volume v.- Mais, comme les trois premières inl4

gralcs seraient des infiniment pcllls du troisième ordre , et les trois dernières des infini. ment petits du quatrième ordre, on se trourerait encore ramené aux formules (n) et (is). Il reste à faire voir comment » à l'aide de ces formules» on peut découTrir les relations qui existent cnlro les pressions ou tensions exercées en un point donné d'un corps solide contre divers plans menés successircment par le même point.

Concevons d'abord que le volume v prenne la forme d'un prisme droit » dont les deux bases soient représentées par 3 et par s\ On aura $'=:$; et» si, les dimensions de chaque base étant considérées comme infiniment petites du premier ordre, la hauteur du prisme devient une quantité infiniment petite d'un ordre supérieur an premier, alors, en négligeant^ dans les formules (u)» les infiniment petits d'un ordre supérieur au second , l'on trouvera

(pCOS>.-|-p'C0SX')5= O , (pC0S.:A + p'C0Sfi')^=:0 , (jOCOSV + JE>'cOSv')| = 0;

ou , ce qui revient au même ,

p'cosV = — pcos^, p'cos/a' = — pcosfA , p'cosv' = — pcoi»;

et Ton en conclura

COS/ = — C0S>, C0Spt' = — COSfX , C08v' = — COS».

Ces dernières équations ont rigoureusement lieu dans le cas où la hauteur du prisme s'évanouit, et comprennent un théorème dont voici l'énoncé.

1/' Théorème. Les pressions ou tensions exercées, en un point donné d'un corps soliiU contre les deux faces d*un plan quelconque mené par ce point , sont des forces égaUt d directement opposées ; ce qu'il était facile de prévoir.

Soient maintenant

les pressions ou tensions exercées au point {x,y, z) et du côté des coordonnées positives contre trois plans menés par ce point parallèlement aux plans coordonnés dei y, z , des 2: , x et des a; , j. Soient de plus V, \l\ /; "k", ^^, v''; X'", ^'", v'" le* angles formés par les directions des forces p', p'', p" avec les demi -axes des coordonnées positives. Enfin concevons que le volume v , prenant la forme d'un parailé' lipipède rectangle, soit renfermé entre les trois plans menés par le point {x, jfZ), ^ trois plans parallèles menés par un point très- voisin (« + ^«,7 + ^7), • + ^5)* *^

ons ou tensions, supportées par les faces du parallélipipèdc qu! aboutiront à ce der- •oint , seront à très-peu prfes

p'Aj^Ar, p''^z^x, p'"tkxtky,

\ que leurs projections algébriques sur les axes des x,y ^i z se réduiront sentent aux quantités

/[>'C0«f4'.AjAr, p^COSfA^AcAj;, p"'c0Sfx'".A«Aj,

p'cosv'.AjA;, ;>*COSv^ A::Aj-, /?"'cosv'''. AarAj,

t aux pressions ou tensions supportées par les faces qui aboutissent au point {x,y^ z) , (cront> en vertu du i." théorème, respectivement égales, mais directement ops à celles qui agissent sur les faces parallèles aboutissant au point (cc-f-Aa*, ,y^ r4--^0' Donc les projections algébriques de ces nouvelles tensions seront riquement égales aux projections algébriques des trois autres, mais affectées de ( contraires, en sorle que chacune des formules (ii) deviendra identique. Ajoutons s centres de gravité des six faces du parallélipipèdc se confondront avec leurs centres ure , et seront situés sur trois droites menées parallèlement aux axes des x ,y ^ z \ centre du parallélipipèdc, c'est-à-dire^ par le point qui a pour coordonnées

a; + ~Ax, jr + i-Aj,

w -4- — As.

posé, il est clair que^ si Ton prend ce dernier point pour centre des moments, la ère des formules (12) donnera

5Sv*A2;ACB ^ - f"\m^"'^X^y — - (-p^COSv'') A jAaî ^ + (-p'"C0Spi'") AîCAj —

' conséquent

p COSv =/!> COSa , p COSA ==/' COSv , />'C0Stt' = p''C08)*.

On trouvera de même

lie les axes des x^ y , z sont entièrement arbitraires « les équations (16) cornent évidemment le théorème que nous allons teoncer.

• (48) â.* TflàoBEVB. Si par un point quelconque dHun corps solide on ment deux axes qui se coupent à angles droits , et si Con projette sur Cun de ces axes la pression ou tension supportée par un plan perpendiculaire à Vautre au point dont ils^agit, la projection ainsi obtenue ne variera pas quand on échangera entre eux ces mêmes axes.

Concevons à présent que le volume v prenne la forme d'un tétraèdre dont trois arêtes coïncident avec trois longueurs infiniment petites a>orlées & partir du point {^f y> ^) sur des droites parallèles aux axes coordonms. Considérons le point {x,y, z) comme étant le sommet de ce tétraèdre; désignons sa base par s, et soient «^ p, 7 les angles que forme^ avec les demi-axes des coordonnées positives, une perpendiculaire élevée par un point de celte base , mais prolongée en dehors du tétraèdre. Les trois faces qui aboutissent au somoiet du tétraèdre seront mesurées parles valeurs numériques des produits

scosot, sco$p ,

SCOS7

Cela posé , si Ton nomme p la pression ou tension supportée par la base du tétraèdre, et si l'on continue d'attribuer aux quantités p^p", p"' les valeurs qu'elles ont reçues dans les équations (16) , la première des formules (11) donnera évidemment

p«COSX—- p'cOsV.tfCOSa — p^COSX^^COS^ — />'"C08X'". «COSy = O ,

et par suite

pcosX = p'cos^'. coBot + p'cQsy, cosp-|-p'''cos;"'. cosy, Outrouvera de même

(18) \ pC0SfA = p'C0Sfi'. COSa4-p*CO8.tt',C0sP-l-f)'"cOSfA"'.COSy, p COS V = p'cOS V ^ COSa + p*COS v^ COSp +p'"C0Sv'". COSy •

Donc , si l'on fait , pour abréger ,

A=p'cosy, B=p'co»i>.', C z= p'" cof'" ,

i)=p*Co8v' = p"'cosfi"', £ = ;)"'co8X"'=p'co8/, F = p'cmi^'=p"coi)'.

on aura simplement

pco»y.z= Acota-{' Fcosp -{- E COS-/ ,

p cOSfi == FcOSa + B COSP + Z)COSy ,

p COS V = Ecos» + Dcoêp + Ccosy .

Ces dernières équations fook connaître les relations qui subsistent» pour le point {x » ^» 2) > entre les projections algébriques

E, D, Cl

des pressions p\ p' , p"' exercées en ce point, du côté des coordonnées positives , contre trois plans parallèles aux plans coordonnés , et les projections algébriques

(5) f>cos>^, pcosfi, pcosv

de la pression ou tension p exercée au même point contre un plan quelconque perpendiculaire k une droite» qui» prolongée du côté oh la force p se manifeste» forme » avec les demi-axes des coordonnées positives , les angles «, p » 7.

En partant des équations (ao) » il est facile de reconnaître que» si le volume v » au lieu de présenter la forme d'un tétraèdre , est terminé par un nombre quelconque de faces planes» les formules (11) et (la) seront toujours Térifiées. En effet, ces différentes faces étant représentées par s» $',.•• nommons «» p » 7; a, ^' 7^ etc. ... les angles que des droites perpendiculaires aux plans de ces mêmes faces , et prolongées en dehors du volume v » forment arec les demi-axes des coordonnées positives. Il suffira » pour obtenir la première des formules (1 1) , d'ajouter les équations (1) de la page 38» après les avoir multipliées respectivement par A, F, E , puis d*aToir égard k la première des formules (ao) » ainsi qu'aux formules analogues. On établirait de même la seconde et la troisième des formules (11)» en ajoutant les équations (1) [page 38]» après les avoir respectiToment multipliées par les coefficients F» JS » D » ou par les coefficients E, D, C. Enfin» si l'on combine les formules (%o) et autres du même genre» Don-seulement ayec les équations (1) de la page 38» mais encore avec les équations (5) de la page 39» on parfiendra sans difficulté aux formulas (is).

On déduit aisément des formules (so) » i.' rinCensilé de la force p, t.* l'angle compris entre la direction de celte force et la perpendiculaire au plan contre lequel elle s'exerce. En effet » si l'on ajoute ces formules » après aToir élei^ aii carré chacun de leurs membres » on trouyera

(aî) p* = (i#cosa-f^co8p+£cos7)*+(Fcosa+Bco8p+Dcos7)'*f(£oo8a+Dcosp-f-Ccos7)'. De plus » si l'on nomme ^ l'angle dont nous venons de parler » on aura éridemment (^3) cos^ = cosacosX«)-cospcos|A4*cos7eo8v »