II.* AlfUiB

(5o) et par suite

^ -*^cos*a + Bco9*p + (7co»*7+aJDcosôcos7 + aEcos7C08a+aFcosacos5

Ajoutons que » si Ton remplace la fftrce- p par deux composantes , dont Tune sotl comprise dans le plan que Ton considère , et l'autre perpendiculaire à ce plan » la seconde composante sera représentée , au signe près , par le produit

(95) /9C08^ = ^cos'a+Bcos'P + Ccos'7 + aI>cos^co97 + a£eo97C09a + aFcosacos^.

Observons enfin que cette seconde composante sera une tension, ou. une pvession suivant que la formule (a5) aura pour second membre une quantité positive ou négative.

Supposons maintenant qu'à parlir du' point {x , y^ z) on porte, sur la perpendfculaire au plan contre lequel agit la force p » une longueur r dont le carré représente la valeur numérique du rapport

pcoêi

et désignons par x + r» j' + t» « + Z' les coordonnées de l'extrémité de cette même longueur. On aura

V /' cosa cosp COS7 ^^ ^ X -r^ ; -* »

et par conséquent la formule (25) donnera

(29) y<x» + Jïy*4-Cr* + 2-i>yr+ai5zx + 2Fxy = =fci .

Les variables x , y , z , comprises dans l'équation (ag) , sont les coordonnées de l'extrémité de la longueur r^ comptées à partir du point (a> J> «) sur trois axes rectangulaires; et cette équation elle*mdme appartient à une surface du second degré qui a pour centre le point {x,jr$ «)•. Lorsque le polynôme

(30) ^co9*a+Bcos*p+Cco)*7+aDcospoos7+a£cos7C09a+af costtcosp

coneerve le même signe» quelles que soient les valeurs attribuées aux angles a, p, 7; alors l'équation (29) » réduite à l'une dos suivantes-

(3i) . Ax^+By^-^Cz* + a/)yz4-sFzx+ 2Fxy= 1 ,

représente un ellipsoïde. Mais, si le polynoine (3o) change de signe, tandis que les ailles «« Pf 7 varient» l'ellipsoïde dontil s'agit fera place au système de deux hyperboloides, dont l'un sera représenté par Téquation (Si) , l'autre par Téqualion (3»); et ces deux hyperboloides , dont Tun offrira une seule nappe , l'autre deux nappes distinctes» seront conjugués* entre eux» de aorte qu'ils auront le môme centre avec les mêmes axes » et seront touchés à l'inCni par une même surface conique du second degré. Ajoutons que , dans le premier cas » la force

(35) dtpcos^ = j^

sera toujours une tensioB, si le polynôme (5o) est positif, une pression» s'il est négatif. Dans le second cas, au. contraire, la force dont il s'agit sera tantôt une pression, tantôt Tuic tension , sdon que l'extrémité du rayon vecteur r se trouvera située sur la surface de l'un ou de l'autre hyperboloide; et «la même force s'évanouira toutes les fois que ce rayon vecteur sera dirigé suivant une génératrice de la surface conique ci-dessus jncDtionnée.

On démontre aisément que la normale, menée par l'extrémité du rayon vecteur r h la surface (3i) ou (39), forme , avec les demi*axes des coordonnées positives , des angles dont les cosinus sont proportionnels aux trois polynômes

y^cosa + Fcos^+£coS7 , Fcosa + Bcosp + Dcosv , fcosa+JDcosp + Ccosy.

Donc cette normale sera dirigée suivant la même droite que le rayon vecteur, si l'on a

^^,^ ^cos8t+Fcos6+J5cos7 Fcosa+BcoiS+Z)cos7 £cosa't-Dcosp+Ccos7

^ ^' COSa COSP 0087

La formule (34) se vérifie en effet , lorsque le rayon vecteur coïncide avec Tun des axes de la surface (3i) ou (32). Alors aussi on tire des équations (so) , combinées avec ta formule (34) >

.^ COSÎ^ COS/x COSV . |/(C0S*X + C0S*fi-fC08*v)

^ ' XOSa COSp ' COS7 |/(cOS*a+C05»P + C0S»7)

et il en résulte que la force p est elle-même dirigée suivant le rayon vecteur r, ou

* Voyez , relatWement aui propriétés des bjperboloides conjugués , les Leçons sur les applicatioos du calcul iqfioitésimal à la géométrie I page d;^].

suivant son prolongement. Par conaéqaent aux trois axes de la surface (3i) ou (Ss) correspondent trois pressions on tensions , dont chacune est perpendiculaire au plan contre lequel elle s'exerce. Nous les nommerons pressions ou tensions prinelpaUs. Il est d'ailleurs facile de s'assurer qu'on trouve parmi elles la pression ou tension^fykUBtmttm et la pression ou tension minimum. Car . si l'on égale à zéro la valeur de dp tirée de la formule (*is)« et si l'on a égard à l'équallon

COS"a + COS*P + COS'7= 1 ,

en vertu de laquelle une des trois variables a, p, 7 devient fonction des deux autres considérées comme indépendantes, on sera immédiatement ramené à la formule (34).

Si 4 à partir du point (a?» J^ » ^) on portait, sur la perpendiculaire au plan contre lequel agit la force p , une longueur équivalente non plus à la racine carrée du rapport

r- , mais à la fraction —

pcoso p

en désignant par x + x, /-J-y» s + ^ '®*

coordonnées de Textrémité de cette longueur , on trouverait

COSa COSp COSY ^ ^ » / • /

et par suite la formule (sa) donnerait

(58) {Ax + Fj + E%y + (Fx + Bj + Dzy + {Ex + Dj + Cxy = 1 .

L'équation (38) appartient à un ellipsoïde dont les axes correspondent aux valeurs de (X, p, y déterminées par la formule

^(>ifcos«+Fco5p+JSco87)+f(Fcosa+Bco8p+Dcos7)+£(£co8a+Dcosp+Ccos7)

cosa

/T \ î F(irfcoia+Fcosp+Eco87)+B(Fco8a+Bco5p+Z)co87)+I>(JBco8a+Dcosp+Ceos7)

cosp

__ E(^cosa4Fco8p+£'cos7)-Hl>(Fcosft-fBco8p->-JPcos7)->-C(£co8a-fJPco8p+Ccos7)

Or , celle-ci étant évidemment vérifiée par les valeurs de a , ^ , 7 qui satisfont à la formule (34) , on peut affirmer que les axes du nouvel ellipsoïde sont dirigés suivant les mêmes droites que les pressions ou tensions principales. On arriverait k la même con

clusion en observaDt que les valeurs maximum et minimum du rayon Tecteor, c'està-dire le grand axe ei le petit axe de Tellipsolde , correspondent nécessairement » en vertii de l'équation (Sj)» le premier à la pression ou tension minimum , le second à la pression ou tension maximum.

En résumant les diverses propositions que nous venons d'établir, on obtiendra le théorème suivant.

3.* TBàoBÊME. Sif après avoir faii passer par un point donné dCun corps solide un plan quelconque^ on porte» à partir de ce point» et sur chacun des demi-axes perpendiculaires au plan, deux longueurs équivalentes» la première à C unité divisée par la pression ou tension exercée contre le plan» la seconde à Cunité divisée par la racine carrée de cette force projetée sur Cun des demi-axes que Con considère » ces deux langueurs seront les rayons vecteurs de deux ellipsoïdes , dont les axes seront dirigés suivant les mêmes droites. A ces axes correspondront les preëstons où, tensions principales dont chacune sera normale au plan qui la supportera » et parmi lesquelles on rencontrera toujours la pression ou tension maximum, ainsi que la pression ou tension minimum. Quant aux autres pressions ou tensions» elles seront distribuées symétriquement autour des axes des deux ellipsoïdes», Ajoutons que» dans certains cas» le second ellipsoïde se trouvera remplacé par deux hyperbololdes conjugués. Ces cas sont ceux dans lesquels le système des pressions ou tensions principales se compose (F une tension et de deux pressions» ou d^une pression et de deux tensions. Alors » si Con substitue à la force qui agit contre chaque plan deux composantes rectangulaires» dont Cune soit normale au plan » cette dernière composante sera une tension ou une pression » suivant que le rayon vecteur perpendieulaire au plan appartiendra à Cun ou à C autre des deux hyperbolotdes » et elle s'évanouira quand le rayon vecteur sera dirigé suivant une des génératrices de la surface conique du second degré qui touche les deux hyperbolotdes à Fin fini.

ConcevoDs à présent que du centre du premier ellipsoïde on mène arbitrairement à la surface trois rayons vecteurs qui se coupent à angles droits. On prouvera sans peine que , fi l*on divise Tunilé par chacun de ces rayons vecteurs , la somme des carrés des

quotients sera une quantité constante » égale à la somme qu'on obtiendrait en faisant coïncider les trois rayons vecteurs avec les trois demi -axes de l'ellipsoïde. [Voyez les Leçons sur les applications du calcul infinitésimal à la géométrie, pages 274 et ayS]. De cette remarque, jointe au troisième théorème, on déduit immédiatement la proposition suivante.

4**' TaéoRÊMC. Si par un point donné d^un corps solide on fait passer trois plans rectangulaires entre eux, la somme des carrés des pressions ou tensions supportées par ces mêmes plans sera une quantité constante » égale à la somme des carrés des pressions ou tensions principales.

Il peut arriver que les trois pressions ou tensions principales , ou au moins deux

d*entre elles deviennent équiralenles. Lorsque ces forces se réduisent à trois pressions égales , ou à trois tensions égales » les deux ellipsoldesdont nous avons parlé se réduisent à deux sphères. Alors il y a égalité de pression ou de tension en tous sens , et chaque pression ou tension est perpendiculaire au plan qui la supporte. Il importe d'ailleurs d'ob$orver que de ces deux dernières conditions la aeconde ne peut être remplie qu'autant que la première Test pareillement* En effet , Ton suppose la force p constamment dirigée suivant la droite qui forme, avec les demi^axes des coordonnées positives, les angles a, |^, 7» la formule (34) ou (55) subsistera pour une position quelconque de cette droite , et par conséquent pour toutes les valeurs de « , ^ » 7 propres à vérifier Téqualion (36). Or, on tire delà formule (54) • i*"" en supposant deux des quantités

cosa, cosp , COS7 réduites à xéro» et la troisième à l'unité»