CQ ayant égard aux équations (4e

Par conséquent, dans Thypothèse admise, les formules (90) deviendront

(42) /ICOS> = y^COSa, pCOSft = >f COS^ , fiCOSv == ^ COS7 ;

et , comm« on tirera de ces dernières

,.-. p cosa rosp C0S7 ^ V/(cos*tt«»-co9*p fcos*7) ^^

' 4 COS> COSft cosv |/(co8*X+cos*ft + cos*v) '

il est clair que la pression ou tension , désignée par p , restera la même dans tous les sens. C'est précisément ce qui a lieu, quand on considère une masse fluide en équilibre.

Si deux pressions ou deux tensions principales devenaient égales entre elles » les deux ellipsoïdes mentionnés dans le 5.* théorème se réduiraient à deux ellipsoïdes de révolution, dont le second se trouverait remplacé, dans certains cas, par un système de deux hyperboloïdes de révolution conjugués Tune à l'autre. Alors tous les plans mené« par Taxe de révolution de ces ellipsoïdes ou hyperboloïdes , supporteraient des pressions ou tensions équivalentes, dont chacune, étant perpendiculaire au plan qui lui serait ;^ouit]is , pourrait être considérée jcomme une pression ou tension principale.

ta supposition que. nous venons de faire comprend le cas oii les Irois forces > qui cornposeDt le système des prenions ou tensions principales , seraient équivalentes , et se réduiraient à une pression et à de^ix tensions » ou bien encore à deux pressions et h une tension. Seulement il importe d'observer que, dans le dernier cas , le premier ellipsoïde serait remplacé par une sphère, et qu'en conséquence tous les plans menés par le point i^»y> ^) supporteraient des pressions ou tensions équivalentes, mais dirigées, les unes suivant des droites perpendiculaires., et les. autres suivant des droites obliques à ces mêmes plans.

Génémtement » toutes les fois qu'une tension principale deviendra équtvaleote h unepression principale , lés plans menés par l'axe perpendiculaire aux directions de ces dciix forces supporteront des pressions ou tensions équivalentes, mais qui resteront obliques aux plans dont il s'agit , tant qu'elles seront distinctes de ces mômes forces.

Où peut encore supposer qu'une oo deux des tenions ou pressions principales fe rt-^ duisent à zéro , ou qu'elles s'évanouissent toutes. Dans le premier cas , les ellipsoïdes ou hyperboloîdes 9 mentionnés dan» le troisième théorème; se transformeront en cylindres droits qui auront pour bases des ellipses ou des hyperboles conjuguées. Dans le second cas, ohaoun de oes cylindres se trouvera remplacé par deux plans parallèles. Dans le troisième cas^ la pression ou tension , exercée contre un plan quelconque mené par le point {x , y» z) • se réduira toujours à zéro*

Les formules précédemment obtenues se simplifient , lorsqu'on prend pour axes coocdonnés des droites parallèles aux directions des pressions ou tensions principales correspondantes au point (ce , j, z). Alors , en-effet « la surface, que représente l'équation (sg], doit être une surface du second degré rapportée , non-seulement à son centre, mais encore è ses axes; et l'on doit avoir en conséquence

Cela posé, lès vareurs numériques dés quantités A» B\ C représenteront évidemment les pressions ou tensions principales, et lès formules (ao), (itu) , (aS) se rédurront à

(45) pC0S^ = y4c0Sa', p COS^ = JSCOS^ , pCOSy^TcOSy»

(47) p COS J= y^ COS • a + 5 COS • P + ^ COS • 7 , •

tandis que les équations (29) et (38) deviendront

(48) i<x' + iBy''4-<^z' = ±i ».

(3) B+^B = nr + ^r);

Pco8> = 2[±(fl4-^R)cos(rt + Aa)] ,

(4) { PC0Spi=2[±(ff + Afl)c08(fc + AA)].

On Irouvera par suHe

(5) ^ (r 4- Ar)' = (rcosa — pcos«)' + (rcosC — pcosp)" + (^cosc — PC0S7)'

= r' — 2rp(cosacosa -f- cos6cos^ -f- cosccosy) +p';

puis^ en considérant la quantité p comme infiniment petite du premier ordre , et négligeant les infiniment petits du second ordre , on conclura des formules (2) » (3) , (5) ,

(6) A r = — p (cosa cosfit -f- cos b cosp + cosocos7) ;

(7) B + ^R=zf{r) + f{r).^r = B + r{r).^r;

, . . rcosâ-pcosa cosa cosa

cos(a + ^a) = = = cosa — p Ar ,

' r-i-àr ^ r r

(8) ( COÎ) (6 4- A A) = L îlzrrcosfc p ^1 Ar ,

I ' r+Ar - r r

C0S(c-f- AC) = ^ ^ =:COSC p -= ^— Af.

r+Ar r r

Gela posé» en ayant égard aux équations (i) , ou reconnaîtra que les formules (4) puvent être réduites à

jPcosX = zj±j /^(r> — -^^ jcosa.Ar=p.^^ pcos«| ,

Pcos^=2J±rf(r)— -^Icosfc.Arip^pcospj ,

Pcosv = 2J± f{r) — i^|cosc.Arqp-iiî2.pcos7 ;

puiSr en remettant pour Ar sa valeur tirée de la formule (6), et faisant i fo^^ abréger ,

(il) / fi = p2 q=[f(r)+-^]co8ccosa ,

=F [r W + ^7^] 008a CM 6 ; on trouvera définitivement

(12) { Pc08f*:=FC08« + iïC0Sp + Dc0i7 ,

PC08v = Ec08a+ CC08P4-CC087.

Les formules (12), ainsi que plusieurs propositions qui s'en déduisent^et qui sont analogues aux théorèmes 1 , 9 , 5 du précédent article » sont dues à M. Fresnei , qui les a données dans Be$ Recherches sur la double réfraction.

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