P»COS»« + P»C08'P + P»COS
On en conclul , en divisant P' ,
(;) i = cos» « + cos*p+coà'7«
Celte dernière équation exprime , comme l'on sait, que cL,p,y, sont trois angles formés par une même droite avec les axes des coordonnées.
Considérons à présent plusieurs forces P^P\ P^... simultanément appli<{uées à un point matériel (^) • ; Soit R leur résultante , et supposons que les forces
P,P',P\..R forment respeclirement , avec le demi-axe des x ftositires , les angles
avec le demi-axe des y |>08itiTes , les angles avec le demi-axe des z positives, les angles
VfvSv""' • ^'
Si l'on projette ces différentes forces sur Taxe des x , la projection de la résultante R, étant la résultante des projections des forces P^P'^P",.., sera équivalente à la somme de ces dernières projections prises tantôt avec le signe -|-, tantôt avec le signe — » suivant qu'elles seront dirigées dans le même sens ou dans le sens opposé. D'ailleurs, la somme ainsi obtenue sera évidemment égale, au signe près« à la somme des projections algébriques des forces P, P', P^. . . , c'est-à-dire , à
P^îos «+P' ces «'+ P* cos »"+ etc. . . . ^
puisque , dans cette seconde somme , deux forces dont les projections sont dirigées en sens contraire , fournissent toujours deux termes de signes différens. Ajoutons ^e les deux sommes seront affectées du même signe ou de signes contraires, suivant que la projection de la résultante agira dans le sens des x positives ou dans le sens des x négatives. Cette projection étant elle-même égale au produit
A cos a
pris avec le signe + dans le premier cas , et avec le signe — - dans le second , on doit conclure que les deux quantités
Acosa, Pcos«-|-P'cos«' + P*cos«'' + etc. .. .
auront non-seulement la même valeur numérique, mais encore le même signe. On trou*vera donc
flcosa=Pcos«-|-P'cos«'+P"cosa"4-etc. . ..
£n d'autres termes^ la projection algébrique de la résultante sur Caxe des x sera
éfttmiiflAie à Im $amm9 (kê prtjfcetiânii ttigUn^itiûêê d$e 9amp0émU€9 mr tel, «b«. Lu m^ne t éblÎMi écmol ^friéenimeot kibsi&ter enlre les pl<0)Qolton» algébrique» dkfl foree«
sur les axe» des x et des j , it est dtS/Ê qu'à F^quatiou précédente o» pourra ^indre celles qui suiveni :
Jt c6s6 3= ^ eosl^-f* P'cosp' + P' cosp' 4- ctc
A cose= P COS74" P'cony' -^ P" cosy" -^eXc....
Lorsque les forces P, P\ P'* • • ,« . sont coouues eo frandeur el eu direction , les trob équations
(B cosa = Pcosa -^ P'cùsa* + P^'cosgc' + fc , ,.; . Aèeaé=sPMsp4'P'€os^'4.P'eoap''4-
( iî €0s c = P cos 7 4- ^' cos 7' 4- P"" cos y*' 4- • .,
serrent à déienniner immédiaienient la grandeur et ladirecti<Mi delà résultante. En effet, on connaît alors les seconds membres des équations dont il Vagit» et si , pour abréger, on I06 désigne par
00 aura simplement
(9) Acosar^ji:» JlcQsésrK, Uexm4 = Z .
Or, an lire do ces dernières foraiules
iï«(cos*a4-cos»64-cosV) =J!:*+y'4'^' i
ou, parce que les angles a, é« e, sOnt assujettis I Téquation de condition coi'a4coii'&4*cos'c:=si ,
(10) ji*=jr»4-i^+^'-
On aara en conséquence
La valeur de B étant ainsi déterminée» on obtiendra les âhgles a» 6, e, dont chacun renferme au plus soo d^rés , par te moyen des formules
(i«) eM0i:3= — , cesfr^^» eoa^ss^.
On voH par ces formiilos que les cosinus des asgles cherchés seront positifs on négatifs en même temps que les quantités X, Y, Z, qui leur correspondent respectÎTeiiient* Par suite» les angles a, b, e^ seront aigus ou obtus suivant que les quantités X , Y, Z , seront positives ou négatives.
Lorsque» dans la formule (lo) » on substitue pour X^ Y\ Zt leurs valeurs, en ayant égard aux équations de condition
(l5) C0S"a + C0S'P-|-COS"7=:l, C0S*a'4"C0S*P'-t-C0S'7'= l. OtC r
on trouve
(i4) iï»=P» + />"«+P'*4-etc
4-aPP' (COS« COSa'+COSpcoSp'-f'COSy COS7'') + 2PP*'(C0SaC0S«* + C0SPC0SP*-|-C0S7 COSV*^)
+etc
+ aP'P*(cos«'co*«'4-cosp'cosp'-|-cos7'cos7^)
Dans le cas particulier oh la résultante R est formée seulement par la composition de deux forces P, P\ l'équation précédente se réduit à
(l5) fl» = P* + P'^»+2PP'(C0SaC0Sa'4-C0SPC0Sp' + C0S7C0S7')-
Mais y en vertu de Téquation (5) , on doit avoir aussf
(16) J?*=P»4-/*'* + aP/''cos(P,P').
la notation {P,P') désignant Tangle compris entre les directions des deux forces. Les deux valeurs précédentes de A* devant être égales, on en conclut
(17) C0S(P,P') = COSaCOSa'-|-CO8pCOSp'4"0OS7COS7' .
Par conséquent, pour obtenir U cosinus de CangU compris entre deux directions, H suffit de multiplier deux à deux les cosinus des angtes^ que ces mêmes directions forment avec les demiroxes des coordonnées positives^ et d'ajouter tes produits^ On se trouvera ainsi ramené à un théorème connu d'analyse appliquée. En vertu de ce théorème , on aura encore, dans le cas général , et quel que soit le nombre des forces P, P\ P'^... »
C0S(P, P'') = C0Sa C0Sa^4-C0SP COsP*+C087 C0S7* ,
etc. • • • .
COS (P',P*') =C0S«'C0Sa^-4-COSP'C0SP*'4-COS7'cOS7* ,
etc
Par suite , l'équation (i4) deviendra simplement
(i8)iî'===P>+F>+P^>+..+aPi>'co8(P,FH-aPi>''co9(P,P^)+..+aFP*cos(P^
Aiasi , U carré de ta résultante de plusieurs forées est égal à la somme des carrés des cornposantes, plus à la somme de leurs doubles produits respectivement multipliés par les emnus des angles compris entre les directions de ces mêmes forces comparées deux à
deux.
Les composantes rectangulaires de la résultante R, ou ses projections sur les axes des x,jr,z , étant précisément égales aux yaleurs numériques des quantités X^Y^Z, il est facile d'en conclure que les projections de cette résultante sur les plans coordonnés respectivement perpendiculaires aux mêmes axes , c*est-à*dire , sur les plans des 7,2» Ae$ ZfX et des x^y, seront représentées par les expressions
i/(F»+Z'). ^{Z'^X'), x/iX'+y).
Nous Tenons de rappeler celles des propriétés des résultantes qui sont relatives aux projections» Dans on autre article, nous examinerons les propriétés relatives aux moments, et nous développerons , à ce sujet , la théorie des moments, linéaires.
APPLICATION DU CALCUL DES RÉSIDUS
