cosp cosa --COfÔ ^cosy
\ dx dy ^ dz I
.[ dX, dX, ^ dX, y
La quantité 1 + < , déterminée par la formule (6) , n'est autre chose que le rapport du rayon vecteur r h l'expression (3) , c'est-à-dire le rapport entre les distances qui séparent les deux molécules infiniment voisines m et m\ dans les deux états du corps solide. Par suite , la valeur numérique de c servira de mesure à ce qu'on peut nommer la dilatation ou la condensation linéaire du corps suivant la direction du rayon vecteur r, savoir à la dilatation linéaire, si c est une quantité positive, et à la condensation ou contraction linéaire , dans le cas contraire.
Concevons à présent qu'à partir du point {^> y» ^) on porte sur la droite quiforme , avec les demi-axes des coordonnées positives , les angles a , ^ , y , une lon^ gueur équivalente à 1 + < : ^^ désignons par
les coordonnées île IVxtréinitf^ de celte longueur. On aura
^'' toîia COSp COS7
et la formule (6) donnera
/ dl rfÇ rfS y ( dn dn rfn \' / dK d^ rfÇ \ •
r5i»-5^y-rf-i*j *v-r.^-Tj^-TsV *v-T^^-d-yy-T^^) ='•
Cette dernière équation représente une ellipsoïde dont la constructioa suffit pour indiquer les rapports qui existent entre les dilatations ou condensations linéaires dans les différentes directions autour du point {x, y, z). Nous appellerons diiatations ou condensations principcdes celles qui correspondent aux trois axes de l'ellipsoïde, et parmi lesquelles on rencontre toujours les dilatations ou condensations maximum ou minimum. Les autres se trouTent symétriquement distribuées autour des trois axes de ce même ellipsoïde.
On peut aisément déduire des équations (6) et (8) les valeurs des variables ^ et s » ^ * 7 qui correspondent aux condensations et dilatations linéaires principales. En effet, si l'on pose , pour abréger^
et de plus
dy dz^\ dy * j dt "^ dy\di ' j '
(Ml ; E = -11 f
d% I dl \ ^ drt dr,
dt \ ds
\ dn dr, IdX, \ rfÇ
"^i^ dtds'^\dz~^jdx'
\dx I dy dxXdy j dx dy^
( 63 ) les formules (6) et (8) se rédtiifDnl aux suifranles
(i5) Ax' + By4-Cz»4.«Dyz + aEzx4-2Fxy— 1.
Or, dans Tellipsoide représenté par l'équation (i3) , le rayon vecteur mené du centre à an point de la surface sera normal à cette surface « si les angles a, p , y , formés par le même rayon vecteur avec les demi-axes des coordonnées positives » vérifient la formule
Acosa+Fcosp + £GO'«7 Fcosa+Bcos^ + Dco87 Ecosa+Dco9^ + Coos7
^ ^ COSa COsp COS7
et , comme les trois fractions qui précëdeni , quand elles deviennent égiiîcs enlre elles , sont en même temps équivalentes au rapport
(Aco8g-fFcosp-fEcosY)cosg-f (Fçosg-l-Dcosp-f Cco97)co8p-f(Kcosg+Dco8p+Ccos7)coà7
C0S'a+CO8*p+C08*7 ~ '
il est clair que les valeurs de 9» a^ ^1 7 correspondantes aux dilatations ou condensations principales seront déterminées par la formule
Aco8a•^Fco8p + £cos7 Fco9a+Bcosp + Dcos7 Ecosa + I)cos6 + (:cos7 __
^ ' cosa cosp ces 7
jointe à l'équation
(16) C08»a4-C06»P + COS»7= 1.
D'ailleurs on conclura de la formule (i5)
(A — 6)cosa + Fcosp + Eco87 = o ,
(17) { Fcosa4-(B — o)cosp + Dcos7 = o ,
BCOS a -4- D cosp 4- (C — ^) COS7 = o ,
et par suite
(18) (A — 0)(B — 9)(C — 0)— D«(A — ô) — E«(B — ô) — F'(C — ô) + 2DEF=:ro.
Soient B' , 0^, 9^" les trois racines de eclto dernière équation , et e\ f^» t"^ ie& valeurs correspondantes de c» en sorte qu'on ait
(lA). ,' = ! I, t':=J^ ,, ^'^^—^^1^ ,^
V Mi ^0, ^^u ^/q/./
Chacune des trois quantités e\ c', **" représentera toujours, lorsqu'elle sera positive, une dilatation principale» et lorsqu'elle sera n^ative, une condensation principale prise avec le signe — . De plus, on aura évidemment, en vertu de l'équation (i8) ,
(2o) { o'ô'" + ô'"e' + ô'ô* = B C -f C A + AB — D' — E* — F- ,
ô'ôV = ABC — AD' — BE* — CF« + 2DEF.
, Si l'on supposait les axes coordonnés parallèles aqi droites menées par le point (x. y, z), et correspondantes' aux dilatations ou condensations linéaires principales, l'équation (i5) représenterait un ellipsoïde rapporté, non -seulement à son centre, mais encore à ses axes. On aurait donc alors
ou , ce qui revient au luéme ,
d7i . d^ dl dl dn dn , dX, d^ dz dy dy dz dy dz dy dz
^ dx dz dz dx dz dx dz dx
dy dx dx dy dx dy dx dy
cl comme l'équation (i8) se réduirait h
on pourrait prendre
(•24) 9' = A, e' — B, e"'=rC.
Par suite la formule (12) donnerait '
(26) Ô = 0'cos'a-|-0'coS»P4-ô'"cos'7 ,
ou , ce qui revient au même.
Uéquation (96) sert à déduire la dilatation ou condensation » mesurée suiirant un axe quelconque , des condensations on dilatations principales , mesurées suiyant t^ ois axes qui se coupent à angles droits , quand on connaît les angles a, ^^ y que forme le premier axe prolongé dans un certain sens arec les trois autres.
Outre les condensations et dilatations linéaires dont nous venons de parler, il peut être utile de considérer la condensation ou dilatation d*un très-petit élément de volume qui renferme le point {x, y, 9). Or» supposons qu'en vertu du changement d'état du corps solide» ce petit élément ait varié dans le rapport de 1 h 1 4* ^- ^ valeur numérique de u servira précisément à mesurer ce qu'on peut appeler la dilatation ou la condensation du volume au point {^9 y» <) » savoir la dilatation du volume» si la quantité v est positive » et à la condensation du volunae dans le cas contraire. Ajoutons qu'il suffira » pour déterminer la quantité v , de connaître les condensations ou dilatations linéaires principales» c^Mt-à-dire » en d'autres termes» les valeurs de t\ 1'» l'^^ En effet » concevons » pour fixer les idées » que le petit élément de volume ait été ren* fermée dans le premier état du corps solide » sous une surface sphérique décrite avec un rayon infiniment petit désigné par p . Ce petit élément » qui avait alors pour mesure le produit
prendra évidemment » aprbs le changement d'état » la forme d'un ellipsoïde» dont les trois aies seront
p(i+0, p(»+0- pO+O.
et en conséquence il deviendra équivalent au produit
On aura donc
ou , ce qui revient au même ,
(66) ^ En combinant cette dernière équation avec la troisième des formules (so) , on trouvera
(aS)
(— î— )'==ABC — AD»--BE» — CF» + aDEF.
Les équations (lo) , (i i) , {i») , (17) , (97) et (a8) se simplifient, quand ta forme du corps solide varie très-peu dans le passage dtt premier état au second. En effet , si Toq considère les quantités
comme infiniment petites du premier ordre , on tirera des équations dont il s'agit , en remplaçant B par (i+0~'» ^^ négligeant les infiniment petits du second ordre ou d*un ordre plus élevé »
li'
d\ dn d}^
. = — C0«»«-|- — COS'P+^COS'y
cosvcosa;
