lco»7 = o
Alors aussi l'élimination des angles «, p, y entre les formules (39) produira Téquation
'^Uz'^dy) \dx I [dx^dzj \dy ') [dy^dxj W~V~
qui aura pour racines les quantités
fff
et de laquelle on conclura
da dy di
Il +1 8 +■ C =
d^ dX. ^^ ^^ JL/^ fiV —{— H\' —(^
dy dz dt dx\ dx dy
drA^ dx] •
dldiidX^ \d\ldj^ dX\^ ldjn ldX diy j^/£5 f[w\* ^/^^ ^CX /rfC ^\ /^ ^A \dxdydz (\dx\dz dy] (\dy\dx dz) ^dz\da dy) ii\dz dy) \dx dz) \dy dx)
Si Ton supposait les axes coordonnés parallèles aux droites suivant lesquelles se mesurent les dilatations et condensations principales relatives au point {x, j, z) , les conditions (21) ou (99) seraient vérifiées. On aurait donc» en négligeant les infiniment petits du second ordre » ou d'un ordre plus élevé ,
dn , dl dz dy
dx dz
dy dx
et , comme par suite Téquation (34) se réduirait à
(S-)fê-)(S
on pourrait prendre
dl dx
dn
d^ dz
Dans la même supposition , la formule (3i) donnerait
dJi dn d^
« = -7- COS'a + -— c0S*P + -r- C08*7,
dx dy dz
ou , ce qui revient au mjSme «
(4o) e = l'cOS'a + l'cOS'P + i'"C0S*y.
Celte dernière se déduit immédiatemient de l'équation (a6) » quand on considère comme des quantités infiniment petites.
( 6* ) Rerenons au cas db les ax^ ooordonoés sont dirigea aui? ant des droites <|uelcoaques. Alors , si l'on fait , pour abréger ,
dm uy dt
dz dy dx dz dy dx
la formule^ (3 1 ) donnera
\t^%) c= Jt,C0S*ft+q(J,C08'P + GCOS*7 + a(0CO8pcO87+ S^COSyCOSa^ a/cOSaCOS^,
GoDcevons mainlenaDt qu'à partir du )H)int (x» j, «) on porte, sur h droile qui forme avec les demi-axes des coordonnées ppsitives les angles a, p, y, une longueur
dont le carré représente la valeur numérique du rapport — ; et désignons par £d+^>
j 4~ 7 » ^ -4* 2 les coordonnées de l'extrémité de celte longueur. On«aura
C'>8* cos^ eo«7 "^ \ • /
et Ton tirera de la formule (4^)
(44) ' ot>ît* + iiîiy* + Gz* + 2(jE)yz + 2iî:zx4.2^xy = ±i.
L'équation (44) * semblable à la formule (39) de la page (So) , appartient à une surface du second degré, dont le centre coïncide avec le point (^» 7» ^)* Celte même /équation représente une ellipsoïde, dans le cas où g ne change pas de signe tandis que Ton fait varier les angles a» p » 7 ; et se réduit alors à
(45) oi,3t' + iiî,y+cai* + 2(Dyz4-2£zx + «/xy = > .
ou bien à
(46) cHDX* + Tfty' + G2*4-aûE)y* + 2£2x4-s.»<î'xy = — 1 .^
selon que Ton suppose s constamment positif ou constamment négatif. Dans ce cas , il n'y aura, autour du point {x, j, s), que des dilatations linéaires , si • est positif» et des condensations linéaires , si « est négatif. Dans le cas contraire , rellipsoîde $e trouvera remplacé par le système de deux byperboloîdes conjugués , dont l'un , représenté par l'équation (45) » comprendra les extrémités des rayons vecteurs dirigés dans les divers sens suivant lesquels le corps solide se sera dilaté , tandis que l'autre , repni-
(69) sente par réqualioD {Ifi) , comprendra les extrémités des rayons vecteurs , dirigés dans les divers sens suivant lesquels le corps solide se sera condensé. Ajoutons que , dans tous les cas possibles , les condensations ou dilatations mtixunum ou minimum correspondront évidemment à deux axes de Fellipsoîde ou des deux hyperbololdes. Cela posé , on pourra énoncer la proportion suivante,
TnioB&iis* Supposons que, par l\fftt d*une cause quelconque, un corps êolide ait passé d^un premier état naturel ou artificiel à un second état très -peu différent du premier , et qu*à partir d^un point donné de ce corps solide, on porte , sur chacun des detni'àxes aboutissants au même point, une longueur équivalente à C unité divisée par la racine carrée de la condensation ou dilatation linéaire mesurée suivant le demiaxe que ton considère. Cette longueur sera le rayon vecteur d'un ellipsoïde qui aura pour centre le point {x, jr, z), et dont les trois axes correspondront à trois dilatations ou condensations principales. Quant aux autres dilatations ou condensations, elles seront symétriquement distribuées autour de ces trois axes. Dans certains cas , Vellip*solde dont il s*agit se trouvera remplacé par deux hyperbololdes à une nappe et à deux nappes ^ qui, étant conjugués Cun à C autre, auront le mime centre avec les mêmes axes , si serons touchés à Cinfini par une même surface conique du second degré. Ces^ cas sont ceux oit Uy aura , autour du point donné, dilatation dans un sens, condensation dans un autre. Alors la surface conique dont nous venons de parler séparera la région dUaiée, qui correspondra au preimier hyperboloide , de la région condensée quicorresh pondra au second , et les génératrises de cette surface conique indiqueront les directions suivant lesquelles il ny aura ni dilatation ni condensation. Ajoutons que , parmi les condensations ou dilatations principales, on rencontrera toujours, si le corps est dilaté dans tous les sens, ou condensé dans tous tes sens autour du point {x,y, z), un maximum et un minimum de dilatation, ou bien un maximum et un minimum de condensation; et, si le contraire arrive, une dilatation maximum avec une condensation maximum*
Il peut arriver que les trois condensations ou dilatations principales , ou au moins deux d*eDtre elles , deviennent équiTalentes ou se réduisent à zéro. Alors rellipsoïde et les hyperboloides mentionnés dans le théorème précédent deviennent des surfaces de révolution ou de^ cylindres , et peuTent même se réduire k une sphère, ou à un système de deux plans parallèles. Ainsi, en particulier, lorsque le corps solide est dilaté dans tous les sens, ou condensé dans tous les sens, et que les condensations ou dilatations principales sont équivalentes, Tellipsoîde se change en une sphère, et la condensation ou dilatation linéaire a une valeur constante, qui reste la même, dans toutes les directions autour do point {x^y , z). Dans ce cas , la condensation ou dilatation du volume est évidemment le triple de la condensation ou dilatation linéaire.
