OU ASSUJETTI A CERTAINES CONDITIONS
S 1.** CONSIDÉRATIONS GàN^BALES.
Lorsqu'un système invariable , libre ou assujetti à certaines conditions , se meut dans Tespace » il existe entre les vitesses des diSërents points certaines relations qui , dans beaucoup de cas, s'expriment très- simplement, et que l'on déduit des formules relatives à la transformation des coordonnées. Je vais montrer , dans cet article , que les mêmes relations peuvent être tirées du principe de vitesses virtuelles. Ordinairement on se sert de ce principe pour déterminer les forces capables de maintenir en équilibre un système de points matériels assujetti à des liaisons données, en supposant connues les vitesses que ces points peuvent acquérir dans un ou plusieurs mouvements virtuels du système « c'est-à-dire dans des mouvements compatibles avec les liaisons dont il s'agit. Mais 'il est clair qu'on peut renverser la question, et qu'après avoir établi les conditions d'équilibre par une méthode quelconque , ou même , si l'on veut , par la considération de quelques-uns des mouvements virtuck , on pourra se servir, pour déterminer la nature de tous les autres, du principe que nous venons de rappeler. Ajoutons qu^il est utile, dans cette détermination , de substituer au principe des vitesses virtuelles un autre principe que l'on tire immédiatement du premier , et qui se trouve renfermé dans la proposition suivante.
Théorkm s. Supposons que deux systèmes de forces soient sueeessivement appliqués à des points assujettis à des liaisons quelconques^. Pour que ces deux ^sternes de forces soient équivalents ^ il sera nécessaire^ et il suffira que, dans un mouvement virtuel quelconque, la somme des moments virtuels des forces du premier système soit égale à ta somme des moments virtuels des forces du second système.
Démonstration. Supposons que les deux systèmes de forces donnés se compçsent, ie premier des forces P, P\ P', .... le second des forces Q, Q\ Ç'.... Ces deux systèmes seront équivalents, si un troisième système, choisi de manière à faire équilibre pu premier, fait en même temps équilibre au second. Or, soient 77, R\ A'.,., les
( 7» ) forces qui composeront ce troisième système. Pour que le principe des vitesses vxrlueltes soit vérifié » il sera nécessaire » et il suffira que , dans un mouvement virtuel quelconque ,. la somme des moments virtuels des forces B , R\ B" , prise en signe contraire* devienne équivalente non-seulement à la somme des moments virtuels des forces P, P\ P', ... mais encore à la somme des moments virtuels des forces Q, Q\ Q^... Donc ces deux dernières sommes devront être égales et affectées du mémo signe.
Nous allons maintenant appliquer le théorème qui précède à la détermination des mouvements que peut prendre un système de points matériels liés invariablement les uns aux autref» Nous commencerons par examiner le cas où tous ces points sont compris dans un plan fixe dont ils ne doivent jamais sortir. Nous passerons ensuite au cas général où on les suppose disposés arbitrairement dans l'espace.
S 2. Sur U mouvement (Cun système de points matériels qui , étant liés invariablement les uns aux autres s et compris dans un plan fixe , se meuvent sans sortir de ce plan.
Considérons no système de points matériels qui , étant liés invariablement les uns aux autres, et compris dans un plan fixe» se meuvent sans sortir de ce plan. Le mouvement du système étant compatible avec les liaisons données sera un mouvement virtuel. Cela posé, on déduira sans peine du théorème établi dans le § i.** les propositions suivantes.
1.** TnioBBiiE. Si, à une époque quelconque du mouvement, deux points du système invariable ont des vitesses nulles , les vitesses de tous les autres points se réduiront à zéro.
Démonstration. Ce théorème , qui est évident par lui-même» quand les deux points donnés ont des vitesses constamment nulles, c'est-à-dire quand ils demeurent en repos» peut être démontré» dans tous les cas» à Taide des raisonnements que nous allons indiquer.
Soient A\ A' les points dont les vitesses sont nulles» et » la vitesse d*un troisième point A choisi arbitrairement. Si Ton applique à ce dernier point une force P comprise dans le plan fixe» et dirigée d'une manière quelconque» on pourra généralement la décomposer en deux autres forces P\ P' dirigées suivant les droites
A A\ A A". D'ailleurs » ces droites étant invariables » on pourra supposer la force P' appliquée au point A' , la force P' au point A' , et alors la somme des moments virtuels de ces deux forces s'évanouira. Donc » la force P, équivalente au système des deux autres » devra elle-même fournir» en vertu du théorème établi dans le premier paragraphe , un moment virtuel égal à zéro. On aura donc nécessairement
(,J PwC09(P,w) = 0,
quelé que soient Tangle (P,») el riateosité d«J la force P; c'est-à-dire , en d'autres termes ,
Les raisonnemenU qui pi^èdeat ne seraient plus applicables , si le point A éuit situé
sur ta droite A' A'* Mais ,» alors , en remplaçant la force P par deux forces parallèles P\ P" respectivement appliquées aux points A' A^ , on démontrerait , comme on vient de le foire, les formules (i) et (a); et l'on reconnaîtrait encore que, danj l'hypothèse admise , la vitesse du produit A se réduit à zéro.
s.' Théorème. 5î, à une époque quelconque du mouvement » Uê vitesses detouêles poinU du système invariable sont différentes de zéro, ces vitesses seront toutes égales et dirigées suivant des droites parallèles.
Démonstration. En effet, soient M^ (a" les vitesses de deux points quelconques A'' A". Si ces vitesses ne sont pas dirigées suivant des droites parallèles, les perpendiculaires élevées sur leurs directions, et dans le plan donné, par les deux points A\ A\ se couperont en uo troisième point A. Or, si Ton applique à ce dernier une force iP comprise dans le plan fixe et dirigée d'une manière quelconque , la force P sersi
équivalente au système de deux autres forces P\ P' dirigées suivant les droites AA\
A A", et respectivement appliquées aux points A\ A". Cela posé , si l'on nomme b» la vitesse du point A , on aura nécessairement , en vertu du théorème énoncé dans le premier paragraphe ,
(5) P « cos (P?6)) = P'«' cos (P>' ) + P Vcos {P\ «•) .
D ailleurs, les droites AA\ A A' étant perpendiculaires aux directions des vitesses
w\ ta" y on aura encore
(4) co5(pC«')=o, co8(P",w'')f=o.
Donc , la formule (3) doimera
quelles que soient leç valeurs des quantités P, (P,<^) » et par conséquent (a) w = o.
(75) Cette conclusion étant contraire k l'hypothèse admise dans renoncé du théorème a , il est clair que le point A ne saurait exister. Donc les yitesses de deux points quelconques A\ A" sont 'dirigées suivant des droites parallèles.
II reste à faire voir que les vitesses «', m' sont égales. Or, considérons d'abord le
cas où la droite A' A" n'est pas perpendiculaire aux directions de ces yitesses. Le point d'application d'une force P, dirigée suivant cette droite, pourra être transporté soit en A\ soit en A". On aura donc
(5) P«'cos(P^'')=P6.'co8(i>,'^')
et, puisque les angles (P, ^' ) , (P, »') seront ^anz, san3 être droits , on tirera de la formule (5)
Si la droite A' A" était perpendiculaire aux directions de toutes les TÎtesses , on choisirait hors de cette droite un point quelconque A dont on désignerait la vitesse par M ; puis , en raisonnant comme on vient de le faire , on établirait les équations »'=«», 6»'= ft» , desquelles on tirerait encore t»^ = «' .
?•* TnioBBiiB. Si, à une ipaquû quelconque du tneuvement, un $eut point du sys^ tème invariable a une vitesie nulle, la vitesse d^un second point choisi arbitrairement sera perpendiculaire au rayon vecteur mené du premier point au second, et proportionneUe à ee rayon vecteur,
Démonstration. Soit O le point unique dont la vitesse est nulle , et t» là vitesse d*un autre point A choisi arbitrairement. Si l'on applique au point O une force
P dirigée suivant OA , son moment virtuel sera nul; et, comme on pourra transporter le point d'application de la force P de O en >1 , on aura encore], en vertu du théorème établi dans le premier paragraphe,
(;) Pwcos{P,w) = o;
puis l'on en conclura , en observant que les quantités P, » ne sont pas nulles ,
(7) cos(P,«)=5 0, (P,») = — .
Donc Taogle (P,u) sera droit , et la vitesse ^ perpendiculaire an rayon vecteur 0^«
Soit maintenant m' la vitesse d'un troisième point A'. Cette vitesse sera ^le- II. « ANNis. 10
même perpendiculaire au rayon vecteur O A\ Cela posé , appliquons aux points A et O deux forces égales à Q, et formant un couple » dont la première soit dirigée suirant la même droite et dans le même scna que la vitesse « • • La somme des moments virtuels des deux forces du couple se réduira au moment virtuel de la première, et par conséquent au produit
Concevons en outre qu*on applique aux points A^ et . O deux nouvelles forces Q' qui forment un second couple équivalent au premier , et qui soient dirigées suivant des
droites perpendiculaires au rayon vecteur OA\ Les moments linéaires des deax couples devant être égaux , si Ton désigne » pour abréger» par r,r' les rayons vecteurs
O A , ÔA\ on aura nécessairement
(8) Q'r' = Qr.
D'ailleurs la sonidne des moments virtuels des forces du second couple , savofr
<?Vcos«?S«') = ±L<?V devra être égale à la somm» de» moment» virtools dea forces du prenter. Ofi aupa donc
(9) ÇVcos«?C«') = ^<?'«' = Ç«>
et par suite
(10) COS«?%w')=r:i, OU «?',«') =:o,
(11) çv = <2».
Or, il résulte de Téquation (10) que la vitesse &>' est dirigée dans le sens de la ibrce Q\ Donc les vitesses », t»' sont dirigées* ainsi que les forces Q et Q\ de manière à faire tourner dans le même sens , autour du centre O » les deux points A et A'; ce qu*il était aisé de prévoir. Quant à 1(l formule (1 1) » si on la combine avec la formule (8) , on en tirera immédiatemenl
Donc les vitesses dea points • A tt A' soart , non «* seulement perpendictflarres aux rayons. vecteurs r, r' , mais encore proportionnelles h ces rayons vecteurs.
Dans le mouvement que nous venons de considérer » la vitesse d*un point placé & Funité de distance du centre O , est ce qu*on nomme la vitesse angulaire du système invariable autour de ce même centre. SI Ton désigne la vitesse angulaire par « » la vitesse du point A , situé à Textrémité du rayon vecteur r , sera déterminée par
la formule — = * # ou
{i3) w = rif.
Lea théorèmes i » a et 3 indiquent toutea les relatiooi qui peuvent exister entre les vitesses de points matériels liés invariablement les uns aux autres » et compris dans un plan fixe dont ils ne doivent jamais sortir* Ces théorèmes prouvent que les vitesses dont il s'agit sont toujours celles que présenterait le système pris dans Tétat de repos » ou transporté parallèlement à un axe fixe, ou tournant autour d'un centre fixe. Ajoutons 1/ que le mouvement de translation parallèlement à un axe fixe» se déduit du mouvement de rotation autour d'un centre fixe , quand ce centre s'éloigne à une distance infinie de t'erigine des coordonnées » s.* que le centre de rotation est un point dont la position, déterminée à chaque instant, varie en général d'un moment à Tautre dans le pkn qoe l'on considère* C'est pour cette raison que nous désignerons le point dont il s^agit se«s le nom de centre instantané de rotation.
Nous terminerons ce paragraphe en indiquant quelques propriétés remarquables du contre instantané de rotation d'une surface plane d'une étendue indéfinie, et dont les points, liés invariablement les uns aux autres, se meuvent sans sortir d'un certain plan. Nous observerons d'abord qu'à la fin d'un temps désigné par I, les diflérents points de la surface mobile occuperont dans l'espace des positions déterminées , et que Tun d'eux I le point O , par exemple , sera le centre instantané de rotation* De plus, il est clair qu'à cette époque on pourra faire passer par le point O deux courbes distinctes tracées de manière è comprendre la première tous les points de la surface mobile, et la seconde tous les points de l'espace,, qui deviendront plus tard des centres instantanés de rotation. Cela posé, soit A le point de la première courbe qui deviendra centre de rotation à la fin dn temps f -f- à t , en s'appliquant sur un point correspondant de la seconde cMrbe désigné par B. Soit d'aillenrs ^s l'arc OA mesuré sur la première courbe, et regardé comme l'accroissement .d'un are fini s aboutissant au point A, Si l'on considère la quantité M comme infiniment petite du premier ordre » l'arc AB que le point A aura parcouru , pendant l'instant A i, pour arriver à la position B , sera évidemment une quantité infiniment petite d'un ordre supérieur au premier. En eflet, pour le démontrer, il suffira de faire voir que le rapport de ce dernier arc à M est une quantité infiniment petite. Or , ce rapport i^présente précisément une moyenne entre les diverses valeurs que prend la vitesse du point A pendant l'instant ^t; et par conséquent il a pour mesure le produit qu'on
( 76 ) obtient en multipliant une valeur moyenne delà vitesse angulaire pur une valeur moyenne de la distance infiniment petite qui , à cette époque du mouvement » sépare le point A du centre de rotation. L'arc A B sera donc une quantité infiniment petite d'un ordre supérieur au premier, tandis que l'arc OA ou A« sera en général une quantité infiniment petite du premier ordre. Il est aisé d'en conclure que les arcs OA, OB , comptés à partir du point O sur les deux courbes ci -dessus mentionnées, auront pour différence* une quantité infiniment petite d'un ordre supérieur au premier. Donc ces deux courbes seront tangentes l'une à l'autre [voyez le tome L*, pag. 177 et suiv.] ,
et le rapport — ne variera pas sensiblement quand on y remplacera l'arc OA ou
As ^ê par l'arc OB. Donc, si l'on désigne par y^ la limite du rapport -— , c'està-dire , si l'on fait
V exprimera tout k-la-fois la vitesse avec laquelle le centre instantané de rotation se déplace j en passant d'un point à un autre» sur la surface mobile, et la vitesse avec laquelle le même centre change de position dans l'espace. Ajoutons que la première courbe, entraînée par le mouvement de la surface sur laquelle elle est tracée, parcourra une portion de l'espace qui aura pour enveloppe la seconde courbe; et que , si l'iiistant ai acquiert une valeur finie, les arcs correspondants OA, OB, mesurés sur les deux courbes , offriront pour différence une longueur infiniment petite , non plus du second ordre, mais du premier, c'est-à-dire qu'ils seront égaux entre eux.
Dans le cas particulier où l'une des courbes que l'on vient de considérer se réduit à un point, on doit en dire autant de l'autre. Alors la quantité ci-dessus désignée par 0 s'évanouit, et le centre instantané de rotation conserve toujours la même position nonseulement dans l'espace , mais encore sur la surface mobile.
S 5. Sur le mouvement d'un système de points matériels, placés arbitrairement dans ^ C espace , et liés invariablement les uns aux autres.
Considérons un système invariable de points matériels qui , au lieu d'être renfermés dans un plan , soient distribués arbitrairement dans l'espace , et se meuvent d'une manière quelconque. Alors , à la place des théorèmes 1 et 3 du § 2 , on obtiendra immédiatement les propositions que nous allons énoncer.
1.*' TnioRÊME. Si , à une époque quelconque du mouvement , trois points du système invariable, non situés sur une mém^ droite s ont des vitesses nulles, les vitesses de tous les autres points se réduiront à zéro.
(77) Bimmutration. Ce théorème, qui est érideot par lutm^me, quand les trois pointi doonés ont des viteises coostammaot Dulles, c'est-à-dire quand ils demeurent en repos, peut être démontré dans tous les cas à l'aide des considérations suivantes.
Soient A', A*, A'" les poinU non sttnét eu ligne droite, dont on suppose les Tïtesses nulles, et w la vitesse d'un quatrième point A choisi arbitreiremenl. Si ('on applique k ce dernier point une force P dirigée. d'une maniëre quelconque, on pourragé&éralement la décompowrvô trois autres forces P', P', P'" dir^ées suivant les droite! AA', A A', AA'". D'ailleurs^ ces droites étant iuvarialilefl , on pourra sd^poser la force P' appliquée an point A', laforce P' au point A', la force P'" au point A'", et alors la somme des moments virtuels de ces trois forces s'évanouira. Donc la force P, équivalente au système des trois autres , devra eUe-mfime fournir un moment virtuel égal fc zéro. On^ anra donc
(i) i»».cos(l»,«) = o,
quelles que soient les valeurs des quantités P, {P.") , et par conséquent
La démonstration précédente ne serait plus applicable , si ]« point A était situé dans le plan du triangle A' A' A'". Mais alors il suffirait de remplacer ta lone P par trois forces parallèles P', P', P'" respectivement appliquées auE points A", A', A'" pour démontrer, comme on vient de le faire, les équations (1) et {%) , et l'on reconnaîtrait encore par ce moyen que, dans l'hypothèse admise, la vitesse du point A se réduit A zéro.
a.* Thâobbvb. Suppôtotu fu'à uni époque quôiconijue du mouvmrunt deux point» du rystèiM invariable aient de* vitettet nulle» , et que tout Ut point» titué» kort de la droite qui joint te» deux premier» aient de» vitettet diffirenlet de zéro. On pourra dit tort affirmer, 1.* que te» vite»»ei det diver» point» titué» »ur la droite dont il t'agit te riduitent à zémt; a.* que la vitetae (Tun point ehoiti arbitrairement kort de la même droite e»t non-ieulement perpendtcutaire au plan qui renferme tout à-la-fois le point et Ut droiu, et par coméquent à leur plu» courte dittanee r, mat» encore proportionnelle à la longueur r.
Démonttralion. Soient O' , O' les deux points dont on suppose les vitesses nulles , et u la vitesse d'un troisième point O choisi arbitrairement sur la droite O'O'. (1 suiCra d'appliquer b ce troisième point une force P dirigée d'une manière quelconque , puis de remplacer la force P par deux ibrces parallèles appliquées aux points
0\ O'f «t d*a?oir égard au théorème éôoncé dtfis le premier paragn^ibe^ peur établir les équalioo^ (1) et (s) , doiU la aeo^nde expriaie que la vitesse du point O se réduit à zéro.
Concevons à présent que Ton désigne par » , non plui la vitesse d*uD point situe
sur la droite 0*0", mais la vitesse d'un point A situé hors de eette droite. Si Ton applique h ce point uqe force P dont la direction soit comprise dans le plan 0*0" A , on pourra décomposer la force P «n deux autres forces P\ P' dirigées
suivani les droites A0\ AO". D'ailleurs » ces droites étant invariables , on pourra supposer la foroe P* appliquée au peint 0\ la force P" an point O^ , et alors la somme des' moments virtuels de ces deux forces s'évanouira. Donc la force P» équivalente an système des deux autres » devra etle-méme fournir un moment virtuel égal à zéro , en sorte qu^on aura . ^
Ponc , puisque les quantités o* , P sont , par hypothèse » différentes de zéro , l'on aura encore
(5) cos {Pp w) = o , ou (P, w) = — .
Cette d^nière coa4itioa devait 6tre remplie , Quelle que soil la droite comprise dans le plan AO'O" et suivant laquelle on suppose dirigée la force P, on peut affirmer que la direction de la vitesse iki sem perpendiculaire è toutes tes droites renfermées dans ce plan^ et pai» eoiMéquept au plan lui-même.
Soit maintenant t^^ la vitesse d*un nouveau point A\ situé» comme le point A,
hors de la droite O'O". La vitesse a»' sera perpendiculaire au plan AO'O'*
Soient d*ailleurs B^ B' les points où ta droite O'O" est rencontrée par les perpendiculaires abaissées sur elle des points A, A'; et désignons par r, r' les
longueurs A B » A^B^, qui mesurent les plus courtes de ces pomts à la droite O 0'.
Enfin , appliquons aux extrémités de la droite A B deux forces égales k Q , et formant un couple , dont la première soit dirigée suivant la même droite et dans le même
sens que la vitesse »; .puis au& e^ctrémités de la droite A'B' deux forces égales à Q, et formant un autre couple, dont la première soit dirigée suivant la même droite que la vitesse &>\ Si les deux couples deviennent équivalents , leurs moments linéaires feront égaux, ainsi que les moments virtuels des forces Q et Q' respectivement appliquées aux points A et A*, On aura donc alors
(4) Q't'^Qt,
el par suilc ((!) co.(9>') = i, oa «?^.') = o,
Il résulte de l'éqnaLion (G) qiw la fitesse »' ect dirigée dan» le aiôiae sens que la force Q'. Donc lea vitesces u« w' sont dirigées , ainsi qae les force* Q ^ Q' , de manière k faire tourner dans le mémo aeni, autour dn conire O, lea deux points A et A'; ce qu'il était ai«é de prévoir. Quant h la fonania (8), eUe exprime q«e les TÎtesses des points A , A' sont proportioaneiles aux phis courtes distnoe* de ces psiits à la droite O'O'. ,
Dans te aM>ur«BMDl que not» reaODS de conâdérer , les Tilosies des différants poiale da système invariable ont entre eRes les méihes relatioils que si , la droite OÙ' étant Sie, le sysibme teurnatt autour de cette droite. On désigne ponr cette raison la droite 00' sous le nom d'an» ifutatUani dé rotation . et Ton nomme vite$K angulaire du ifilëme la rîtesse d'un point placé à l'unité de distance de cet axe. Si l'on représente par > cette vilesie angulaire, )a vîteite d'an satre- point A, situé ft la distance r de l'axe 00', sera déterminée par la formule
Si noas s'avon pM examiné dans ce pangraphe le cas o^ «i seul point d> s^rstème infariable aurait une vitesse nulle , c'est que ce cas ne peut jamais se présenter qtliifiA'le tysttme invariable a plus de deux dimensions. Suppesona en effet que le point O ait uQc vitesse nulle; soit <" la vitesse d'un autre point A choisi arbitrairement , et «Ppliquints à <b dernier poiot une fbree P dirigée suivant la ^ite AO. La moment virloel M catt« force devra conserver la même valeur quand oH transportera lepoint d'application de A ea O. On anra en coBséqbence
r.co.(j>,«)=o
el l'on en conclura
OU
