TT

(3) eo»(P,«) = o, (P,») = — .

Donc la vitesse du point A sera nulle on perpendiculaire au rayon vecteor OA. Gela posé, soient A\ A" deux nouveaux points du système invariable tellement choisis que le plan A A' A" ne renferme pas le point O; et désignons par *»',«»' les vitesses des points A', A'* Si les trois vitesses m, »', fn' différent de zéro • elles

seront respectivement perpendiculaires aux trois rayons vecteurs OA^ 0A\ OA'; et la vitesse «>> ne pourra être parallèle aux deux autres » puisque les trois rayons vecteurs ne sont pas compris dans un même plan. Admettons » pour fixer les idées , que des deux vitesses a>^ »^ la première »' ne soit pas parallèle à »• Les plans menés par les points A , A' perpendiculairement aux directions de ces Vitesses se couperont suivant un axe qui passera par le point 0\ et» si Ton nomme C un second point de cet axe , une force It appliquée au point G pourra être décomposée

en trois antres forces Q » Q\ Q" respectivement dirigées suivant les droites CA,

CA\ C O. D'ailleurs p ces droites étant invariables» on pourra supposer la force Q appliquée au point A, la force Q' au point A^, la force Q^'^ au point 0 dont la vitesse est nulle , et alors la somme des moment^ virtuels de ces trpl4 dernières forces se trouvera réduite au binôme

<?»cos(Q,«) + <?'«'cos «?',«'),

c*est-k-dire à zéro, puisque (Qf»)» {Q',^^') seront évidemment deux angles droits. Donc la force R , équivalente au système des trois autres , devra eUe-mônie fournir un moment virtuel nul ; et , comme cette force est arbitraire en grandeur ainsi qu'en dilection , il faudra nécessairement que la vitesse du point C auquel on la suppose appliquée se réduise à zéro,

On peut donc affirmer que, dans le mouvement d'un système invariable , quand la vitesse d*un point se réduit à zéro , d'autres points ont pareillement des vitesses nulles. Dans ce cas , les relations qui existent entre les diflférentes vitesses sont celles qu'indique le théorème a. Alors aussi la vitesse d*un point pourra être complètement déterminée, non-seulement en grandeur , mais encore en direction , si Ton connaît les coordonnées de ce point , la direction de l'axe instantané de rotation , et le sens dans lequel le corps tourne autour de cet axe , avec la vitesse angulaire. En effet , soient , pour un instant donné, « cette dernière vitesse « i, n, K les coordonnées d'un point O situé sur Taxe instantané de rotation , x, j, z les coordonnées d'un point A placé à la dis- ^nce T du même axe , « la vitesse du point A , enfin « , p > 7 et X , p , v les

angles que forment avec les demi-axes des coordonnées posilives, k« la direction de la ^tesse » , s.* Taxe instantané de rotation prolongé, à partir du point O,

dans une direction OO' telle que la vitesse tù produise autour de* OO' un mouvement de rotation de droite à gauche. Concevons d'ailleurs que la vitesse &>

soit représentée par une longueur AB portée sur sa direction h partir du point

A » et la vitesse angulaire ' ir par une autre longueur OC comptée à partir du

point O dans la direction 00\ Oo pourra, en prenant un point quelconque de Tespace pour centre des moments , construire ce que nous nommerons les moments linéaires des vitesses f» et ft , c'est-à-dire, les moments linéaires de deux

forces AB , OC qui seraient représentées par les mômes droites que ces vitesses. Gela posé, il est clair que, si l'on place le centre des moments au point A , la vitesse &>, mesurée par le produit rit, et dirigée suivant un demi -axe perpendiculaire au plan A 00' coïncidera en grandeur et en direction avec le moment linéaire de la vitesse angulaire v. Donc les projections algébriques de la vitesse » sur les axes coordonnés seront équivalentes aux projections algébriques du moment linéaire de la vitesse tt , c'est-à-dire, aux trois produits

ir[(ii-jr)cosv-(Ç-^)oo3fAl> »[(Ç-«)co5X.(Ç-4P)cpsv], ir[(Ç-a?)coSf»- (V-/)cos>j ,

de sorte qu'on aura

bi COS oc =:= ar [(i) -^) C08 v - (Ç - s) COSft] t

(lo) { «cosp=»[(Ç-«)cosX-(Ç-a?)cosv] ,

o>cos7=a[((-jr)cosp-(ii-/)cosX] .

Si le point O était l'origine môme des coordonnées, les formules (lo) se réduiraient aux suivantes

(n) 6>coss=-ar(/oosy-<co8fi}, fti0O8p=-a(scosX-scosy}9 MCOS7='-ir(â;oosf&-7CosX}.

Lorsqu'un corps solide, retenu par un point fixe O, vient à se mouvoir, la vitesse de ce point étant toujours nulle , le corps , en vertu do ce qui précède , ne peut que tourner à chaque instant autour d'un certain axe passant par le point dont il s'agit. Mais la position de cet axe varie en général d'un instant à l'autre dans le corps et dans l'espace. Cela posé, concevons qu'au bout du temps t , l'axe instantané de rotation rencontre aax points ^ et 2> la surface décrite du point O comme centre avec an rayon équivalent à l'unité. A. cette époque , les pointé C , D , situés aux deux extrémités d'un mémo diamètre , seront les centres insta$itanés de rotation de la surface sphérique; et il est clair que par chacun de ces points on pourra faire passer deux

IL' AiiKix. 11

oMrbea traitées sur la Mirfoce sphéri^œ de manière à comprendre » la premiève totu tes peints da corps , et la seconde tous les peints de Teepaee, qui deviendront plus tard, à la place dti poiul C ou D, des centres instantanés de rotation de fa même surface. Or, désignons par A le point du corps qui , an bout du temps i-\ritt, deviendra centre de rotatjon.de la surface sphérique , à la place du point C; et nommons B le point de l'espace sur lequel» h cette époque» le point A viendra s'appliquer. Si l'on considère AS comme un infiniment petit du premier ordre , les arcs CA, CB, mesurés à partir du point C sur les deujL courbes qui passent par ce point» seront en général des infimment petits du même ordre; mais l'aro AB, que te point A sera obligé de parcourir avant de s'appliquer sur le pomt B » sera une quantité infiniment petite d'un ordre plus élevé. Car I9 rapport de ce dernier arc à l'instant àt, ou la vitesse moyenne du point A t>endant cet instant» sera une quantité très-petite, attendu que le point A restera très-voisin du centre instantané de rotation depuis la fin du tempt

I jusqu'il la fin du temps 1-4- Al. Donc» à plus raison» la distance AB, com-^ prise entre les e&tréniités des arcs CAp C B ^ sera une quantité infiniment petite d'un ordre sopérieqr au premier. Il en résulte immédiafement » i.® que les deux courbes menées par le point C seront. tangentes l'uisà. l'autre» 2.* que des arcs correspondants» mesurés sur ces deux courbes à partir du point C , donneront pour différence» s'ils sont infiniment petits du premier ordre » une quantité infiniment petite d'un ordre plus élevé; et» s'ils sont finis» une quantité infiniment petite» c*est-à-dire nulle. Soit as Tun de ces mêmes arcs » considéré comme accroissement d'un arc fini s aboutissant

au point C * Si Ton désigne par u la limite du rapport — » c'est-à-dire» si l'on.

fait

u exprimera tout 2i-la-fois la vitesse avec laquelle chacun des centres instantanés de rotation se déplace sur la surface sphérique » et la vitesse avec laquelle il se déplace dans l'espace. Ajoutons que la courbe CA^ entraînée par le mouvement de la surbce sphérique sur laquelle elle est tracée» prendra successivement diverses positions, dans lesquelles elle se trouvera enveloppée par la courbe C B .

On serait encore parvenu à des résultats du même genre» aï In aorface sphérique» au lieu d'avoir pour rayon Tunité de fongueur* avait élé décrite » dit point O comme centre» avec un rayon quelconque. Cela posé» on déduira sans peine des principes ci* dessus éla(blis. la propositioa suivante*.

5.^ TnéoRÊME. Concevons quun corps solide, retenu par un point fixe^ se msuve d^une manière quelconque autour de ce point. Supposons (Cailteurs qu*à un instani

rlonné an trace , i .J datait corps, s.* dans fe^ipacB^ U$ différenteê droites avec tesqueUcs coineldera suecessivemeni Paxe instanta fié^ de rotation. Tandis que la surface conique ^ qui aura pour génératrices les droites tracées dans le corps solide , sera cntrainfepàr te numvement du corps. Me touchera constamment la surface conique qui aura pour ^o^ nératrices les droites tracées dans C espace, et par conséquent la seconde surface ne seira autre 'chose que Cenveloppe de la portion de C espace parcourue par la première*

Admettons maintenant qu*ane droite mobile , assujettie à passer par le point O , suive Taxe instantané de rotation dans ses positions successives. La quantité u , déterminée par la formule (la) » représentera évidemment la vitesse angulaire avec laquelle cette droite tournera autour du point O en changeant de position , soit dans le corps » soit dans Tespace.

Lorsqu'une des surfaces coniques mentionnées dans le théorème S se réduit à une droite 9 on doit en dire autant de l'autre surface. Alors la quantité m s'évanouit, et Taxe instantané de rotation conserve toujours la même position , non-seutemcut dans fespace» mais encore dans le corps solide. On peut donc énoncer le théorème suivant.

4-^ THioRÊVB. Les mêmes choses étant posées que dans te théorème 5 » si Cnxé 'instantané de rotation devient fixe de position dans le corps èolide, it sera fiœe daits C espace, et réciproquement.

On peut remarquer que la première partie du 4** théorème est évidente par elle mômë* Car y lorsque les mêmes points du corps se trouvent constamment sur l'axe de rotation , cbacon de ces points a constamment une vitesse nulle» el demeure en coméquesce immobile dans l'espace.

Il reste maintenant à faire connaître les relations qui peuvent exister entre les vitesses des différents points d'un système invariable ou d'un corps solide, quand toutes ces vi^ tesses diil^rent de zéro. Pour y parvenir , nous commencerons par établir une propositiot^ auxiliaire dont voici TénoBcé.

5.* TBioREHE. Supposons que deux points matériels A, A' se meuvent dans Ces^ pace dCune manière quelconque, et qu^un observateur, placé sur le point A', détermine, pour un instant donné , la vitesse apparente du point A » La vitesée absolut de celui-ci sera représentée, non^ seulement en grandeur, mais encore en -direction , par la diagonale du parallétogramme construit sur la vitesse' apparente m et sur une longueur égale' et parallèle à la vitesse absolue du point A\

Démonstration. Rapportons les positions de tous les points de Fespace it trois axes fixes qui se coupent à angles droits; et désignons » au bout du temps ts par ^i/» ^ les coordonnées du point A , par x\ y' z' celles du point A'. Soient , à la même époque 9

la ditUoce des points A, A'; « , m' lears vitesses absolues , représentées par de.«

Idngueiirs AB^ A'B' portées sur les directions de ces vitesses; et a, p » ^; %*, ^\ 7' les angles que forment ces directions avec les demi-axes des coordonnées positives. Los projections algébriques des vitesses absolues u » «>' seront

fr» COS a ==:

wCOSp = — ,

da^

dz »C0S7= — - , ut

dz'

M'cOSa'=^, w'cOSp' = -^, «'C0S7'=-7-

dt dt ai

Concevons d'ailleurs qu'un observateur^ placé sur le point A\ mesure à chaque instant le rayon vecteur r mené du point A' au point A, et les angles formés parce rayon vecteur avec les demi - axes des coordonnées positives , ou plutôt avec trois demiaxes parallèles menés par le point A\ Les angles dont il s'agit seront ceux dont le^ cosinus sont équivalents aux trois fractions

XP-Of

et Fobservateur aura tous les éléments nécessaires pour déterminer , non pas le mouvement absolu du point A dans Tespace, mais le mouvement relatif ou apparent de ce point autour du point A' considéré comme immobile, c'est-à-dire, i.* la courbe que le point A ^ vu du point A\ semblera décrire, 9.* l'intensité et la direction de la vitesse apparente du point A , ou , ce qui revient au même , les trois quantités

d{x-œ') dt

d{z^z') dt

qui représeoleront les projections algébriques de la vitesse apparente. Cela posé, admettons que Ton porte à partir du point A, et sur la direction de sa vitesse apparente, une

longueur A E propre à représenter cette même vitesse; puis, sur un demi-axe parallèle

à A^B\ une longueur AF = A^B\ Les trois longueurs AB, AE, AF^ étant projetées sur les axes des x, y et z, donneront pour projections algébriques les quantités (i4)» (i^) » (^7)» et, comme les équations

dx dx' , d{w-x')

^**i 17 — dT-^—dT-

^y ^dy' d{y-y) dt dt "^ dt

dz dz' d{M-t') di~^'^ dt

qui subsistent éTidemment entre ces quantités » sont entièrement semblables aux équations qui ont lieu entre les projectious algébriques de deux forces appliquées^ un point unique et de lenr résultante » on peut affirmer que la première longueur sera la. diagonale du parallélogramme construit sur les deux autres.

Ces principes étant établis , considérons un système invariable ou un corps solide qui se meuve d'une manière quelconque dans Tespace. Soient, au bout du temps t, a la vitesse d'un point O choisi arbitrairement dans le corps solide, et a, b, e les angles formés par la direction de la vitesse A avec les demi-axes des coordonnées positives. Concevons de plus qu'un observateur » placé au point O, détermine le mouvement apparent du corps autour de ce point regardé comme immobile* Ce mou^ vemeut apparent ne pourra être, en vertu de ce qui a été dit ci-dessus, qu'un mouvement de rotation autour d'un axe instantané passant par le point O. Soient >, ft« v les angles que forme cet axe, prolongé à partir du point O dans une direction telle que le corps tourne autour de lui de droite à gauche , avec les demi-axes des coordonnées positives; et désignons par v la vitesse angulaire du corps solide dans le mouvement de rotation apparent. Enfin , représentons toujours par Xp jr^ ^ les coordonnées d'un point quelconque A de ce même corps. Pour l'observateur placé au point O , les projections algébriques de la vitesse apparente du point A seront respectivement

(19) ir[(ii-j)c08v-(Ç-«)C0^rf , lf[(Ç-2)C0S^-(Ç-«)C0Sv], ir[(Ç-«)c08f*- (u-j)c0S>] ,

Donc* en vertu lu théorème 5, la vitesse absolue » du point A, et les angles a, p, y, que formera la direction de celte vitesse avec les demi-axes des coordonnées positives , seront déterminés par les équations

uC0Sa = ÛCOSa+»(>lC0Sv-CC0SfA) -trjCOSv-f irxCOSfAy

(20) { mcos^ =;ûoos^'f«(CcosX-{cosy) •^vrcosX+y^cosv 9

wcoS7 = ûcosc+ir(ÇcoSfA-i]CosX}-vscosfA+vjcosl^ •

Les valeurs précédentes de ft>cosa, »Cosp, WC0S7 , c'est-k-dire, les< projections algébriques do la vitesse absolue du point A sont nécessairement indépendantes de la position du point O. Elles devront donc rester invariables, tandis qu'on fera varier le point O, quelles que soient d'ailleurs les valeurs attribuées aux coordonnées x , y, z. Il en résulte que les coefficients de x, jr^ z, dans les seconds membres dès équations (90) , et par conséquent les trois produits

(91) »C09>^ MtOëyLp MCOSy

ae changeront pas de valeurs , si l'on remplace le point O par un autre. Donc » an bout d'un temps quelconque I, la vitesse anguUiire ft, et Us angles "^^ i^, ytê

fui diê0tmmml ia êifm9iên éô tuwô^ imkmiané dmng 4û «loitviBmeM <4e rê€a4iên uppafmUi $9$u en qwmiiiis indép0ndaniêê de la poshum de Cobeettttiemr* £a fireiiiièri) de Ms tpttnlité» Mi €8 qm nous nommerons "la viteeee ineianumée de réunion da corps solide.

Sopposons à présent qoe le point O coïncide , au boot du temps t, avec l'ori^lite même des oooréounées. On aura , dans oecas, (^Oj^i^o^C^o, olies formules (so) se rédmront k

ucosa = ncosa-v(7cosy-^co8p) ,

* (as) { uoo8^r=:aco8^-«(scosl-*«oo8v) f

wC087 = aC08C-ir(«COS/i-JCOSX) .

Soient d'ailleurs 9, ^ les angles que forment les directions des vitesse^ %^, a avec la dîreclion de Taxe inslantané de rotation. On aura évidemment

COS^ = COSaCOSX -(- COSpcOSp -^ C0S7COS'V ,

cosA = cosacos^ + cos6cos;a -4- COSCCOSv »

et Ton lirera des formules (29) , respectivement multipliées par cos:^ cosp, cos« ^

fl*C08^ = ÛC08À.

Cette dernière équation prouve que ta viies$e abêotue d^un point quelconque A du corps solide, étant projetée sur la direction d^un axe inetanUtné de rotation, fournit une projection constante, c'est-à-dire indépendante de la pêeition du peint A* On en conclut que la vitesse » obtiendra la plus petite valeur possible , lorsqne sa direction sera parallèle à celle des axes de rotation. Or , cette condition sera remplie , quand les coordonnées x, y , z vérifieront la formule

acosa-ir(ycosy-?cosp) ûco»^-ir(^cosX-«cosv) ûco8g« • (jgcoa|i-y C05I)

cosl

COSfi

COSv

que Ton peut remplacer par les équations

Acosa*»(/co8v-sGOS|A) = ncosAtCOsXy ncos^-ir(2cos>-a?co8v} = iicosA.cosjA) n cosc; - ir (seosfi -y cos X) = o cos à . cos v ,

(«7) et qui représeote ime droite dont cha(]se point eut animé d'une vitesse dirigée suirant Tajfce in«taDtané de rotation que fournirait le moaTeroent apparent autoot de ce peint. La droite dont il s*agit ici eat ce que nooi appoUerona Ctùice insiatuané de rokUion dm corps solide, et la viteise de chacun dea pointa attuéi sue cet axe seco la vitesse instamanée de t>nnslation du même corps* Dorénavant noua désignerons par u cette dernière Titesse. Si l'axe instantané de rotation du corps solide passait , non par le point {x,y, z), mais par le point (S * « » C) > on aurait nécessairement , dans la formule (aS) ,

(28) n^v, cosA==bi;

et la vitesse *> d'un point {x, y, t), situé hors de Taxe instantané » vérifierail l'é^ quation

(29) ^eosJ = zt:u,

le double signe dtz devant être réduit tantôt au signe 4^9 tantôt au signe — ^^ selon que le mouvement de rotation s'exécuterait de droite à gauche , ou de gauche à droite » autour de l'axe inatantané prolongé dans le ^ena de la vitesse u .

On pourrait au reste établir , sans calcul » la plupart des résultats que nous venons d'énoncer, à l'aide des considérations suivantes.

Soient OO'^ l'axe instantané de rotation que fournit, au hout du temps c, le mouvement apparent dn corps autour d'un point donné O. Four déterminer en grandeur et en direction la vitesse absolue d'un point A situé hors de cet axe , il suffira [Toyez le théorème 5] de chercher la diagonale du parallélogramme construit sur U\ vitesse apparente du point. A , et sur une droite égale et parallèle k la vitesse du point

0. II en>ésulle> i.'' qpe toua les pointa aituéa aur une droite parallèle à l'axe O O' seront animés de la même vitesse absolue , ^.? que la direction de cette vitease absolue

sera parallèle à l'axe O 0\ et dirigée suivant la droite eilft*même , ai cette droite a i'ié choisie de manière que la vitesse apparente de chacun de ses points soit égale et parallèle à la projection de la vitesse absolue du point O sur un plan perpendiculaire ù

Taie 00\ mais dirigée en sens inverse.

Il suit encore de ces considérations que les vtteasea ahsokiea de toua les points du corps solide , au bout du temps I » seront complètement déterminées , quand on connaîtra la position de l'axe instantané de rotation de ce même corps , ainsi que les deux vile'ases îoslaotanées de rotation et de translation. Cette remarque entraîne évidemment la proposition suivante..

6.* TaioREiifi. Quelle que soit la nature du mouvement d^un corp^soUde-, les relations fxiuanies entre les différents points seront toujours celles qui auraient lieu » si le corps, iieU retenu de manOre kpounobtmukmmu tOÊKmer autour (Sun axe.fimé'^ eê gUsser le ^^ de cet axe^

Si, pour fixer les. idées» on suppose que Tajce ioslaoiftBé de rotation passe , au bout du temps t , par le point dont les coordonnées sont Ç , >} , ç , , on déduira facilement des équations (20) la grandeur et la direction de la vitesse &> d*un autre point cIioîm arbitrairement dans le corps solide, et correspondant aux coordonnées as» j, s. Ëa effet , pour y parvenir , il suffira de poser , dans les formules (ao) , a = u , et de plus

cos a cosX »

cos 6 cos fi ^

c.o*c = cosv ,

ou bien

cosa = — cosX,

C0s6 — — COSf*>

cosc — «^-cosy 9

suivant que le mouvenient de rotation du corps solide s'effectuera de droite à gauche, ou de gauche à droite , autour de Taxe instaqtané de rotation prolongé dans la directiop de la vitesse >^ . Par conséquent on trouvera , dans la première supposition »

6>COSa = uC08^4-v[(i}-j)C08v-(C-«)cOSfi] , (3î») { «C08p=ir\iC0Sfl+«[(Ç-«)C0S>-(Ç-d?)C0Sv] ,

ucos7 = ucosif-f«ir[(Ç-â;)co8fiL-(vi-j)cos>] ; eX dans la secop4e

Me0S«£z-vC08X4-lr[(9-y)C0Sv-((-z)C0SfA}'»

(35) \ wcosp = -uco3fA+*[(Ç-'2)co8X-(E-a?)cosv] ,

o>COS7=s:- VCOSv + ir [(( - â?)cOSf»- (n -/) cosX] .

Lorsque l'axe instantané de rotation du corps solide passe par l'origine même des coordonnées, on peut remplacer par 2éro chacune des trois quantités i, ^ » ^t clans les formules (3a) ou (33) , dont les trois premièressse réduisent k .

/ »COSa = uC0sX-irjC09v + v^2^C0SfJi 9

(34) l wC08p=uC08fA-»2COSX+ tfa;C08v ,

\ 6>cos7 = ucosv-ird;cosfi4-ifjcosX ; et les trois dernières h

ft>COSâ = -uCO8X-irjCO6v4-lfi0CO8fi »

(35) ^ uC08^ = -uC08fA-ir2C08>'f irâ^COSy j

b) C0S7 = - u cosv - ir xr C08fi+ vj^ C08> .

Dans les éqiialîôna (24) «^ (3&) , ainsi que dans les formulea (ag^ , (3a) ot (33) , v ^ signe la vitesse instantanée de translation du corps solide.

lù'

cosa cosX

cosp

COSfA

co»7

Lorsque la qtiantité v, c'est-à-dîre, la Titesse instantanée de rotation du corps solide se réduit à zéro, on tire des formules (Sa) ou (33)

(57) zzzz.~.z^^=^^z:lî^ — :± i.

'' COSA COSfA GOSV

Donc alors tous les points du corps solide ont des vitesses égales el parallèles • comme si le corps était assujetti de manière k pouvoir seulement glisser le IcAg d'un axe fise, sans tourner autour de cet axe.

Nous terminerons cet article eu indiquant quelques propriétés remarquables de Taxe instantané de rotation d'un corps solide. Soit OO^ la direction de cet axe au bout du

temps I • Il est clair qu'à eette époque on poqrra faire passer par Taxe O O' deux surfaces réglées cçnstriMtes .de manière à comprendre tootea les . droites , tracées dans le corpa on dans Tespaco» 4|iit deviendront plus tard des axes instantanés de rotation. Gela posé, soient AA\ BB' deux droites obrrespondantesi comprises dans les

deux surfaces , en sorte que la droite AA^ doive s. appliquer sur la droite BB\ en devenant un axe de rotation du corps solide , h la fin du temps t^^t. Admettons

d'ailleurs, 1 .* qu'un plan mené par le point O perpendiculairement à Taxe O O' ren-

contre la droite A A' au point A, et la droite BB' au point B\ a.* que B soit le point de la seconde droite avec lequel le point . A coïncidera • quand la première droite l'appliquera sur la seconde». Enfin soit D la projection du poii|t B sur le plan OAB\ Si l'on considère M comme un infiniment petit du premier

ordre , la distance BB' et lea ares OA , OB', mesurés k partir du point O sur les deux courbes d'intersection du plan OA B' avec les deux surfaces r^lées , seront

eu général des infiniment petits du même ordre. Mais la distance DB\ et l'arc Au. que la projection du point A sur le plan OAB' sera obligée de parcourir avant de s'appliquer sur le point D , seront des quantités infiniment petites d^un ordre plus

élevé. En eflet, comme la longueur BB' sera mesurée sur une droite seusib|em^oi

perpendiculaire au plan doot il Vagit, le rapport de la pvo jectîpn DB' k BB^ sera très-petit; et Ton pourra en dire autant du rapport entre l'arc AD et l'instant^ I, attendu que ce dernier rapport représente une moyenne entre les diverses valeurs que reçoit la projection de la vitesse du point A sur le plan OAB\ depuis |a fin du temps I jusqu'à la fin du temps r -^ àC , et que cette projection reste évidemment très -petite pendant l'instant M. Si Ton conservait quelques doutes k cet égard, il

U.*A5XBfi. \%

suffirait d'observer que la projection de la vitesse du point A est la diagonale d'un parallélogramme construit sur deux côtés » qui restent très-^petits l'un et l'autre pendant l'instant M» et qui représentent» i.* la projection de la rilesse de translation du corps solide sur le plan OA B' sensiblement perpendiculaire à la direction de cette ▼itesse » s.® la projection sur le même plan de la vitesse apparente qu'attribuerait au point A un observateur placé en un point de Taxe instantané de rotation. Donc l'arc

ADt la distance DB' ^ la somme des longueurs AD , J}B\ et, à plus forte

raison , la distance A B' seront des quantités infiniment petites d'un ordre supérieur att premier. U est aisé d'en conclure» i .* que les deux arcs de courbes 0/f » OB^ seront tangents l'un à l'autre» a.* que les deux surfaces réglées se toucheront suivant la droite

00' , et que la première surface» entraînée par le mouvement du corps» prendra successivement diverses positions dans lesqudles elle se trouvera enveloppée par la seconde. On peut donc énoncer la proposition suivante.

7** TnioBiMB. Conê€van$ ^u*um eorp$ ÊoKde $c meuve d^une manîète quetoùnquc dans Cespace, ei qu*à «n imêtmtU donné an traee, i.* dan$ le earpê, s.* dan» Cespaee, Ue différeniu draUeê moee leeqneUee eoïneidera êuœeeeivemeni Faœe ineianiaTU de rotation de ce corps êolide. Tandis que ta surface réglée, qui aura pour génératriees les droites tracées dans le corps » sera .entraînée par U mouvement de eelui-^i, elle touchera constamment la surface réglée qui aura pour génératrices les droites tracées dans Cespace » et par conséquent la seconde surface ne sera autre chose que Cenveloppe de la portion de Cespaee parcourue par la première*

Lorsqu'une des surfaces réglées se réduit k une droite» on doit en dire autant de l'autre surface. Alors l'axe instantané conserve toujours la même position » non- seulement dans l'espace » mais aussi dans le corps solide. On peut donc énoncer encore le théorème suivant.

8.* TnioBâMB. Les mimes choses étant posées que dans le 7.* théorème p si Caxe instantané de rotation du corps solide devient fixe de positufn dans le corps, il sera fixe dans Cespace; et réciproquement.

n importe d'observer que la première partie du 8.* théorème est évidente. Car» si Taxe instantané de rotation coïncide » pendant toute la durée du moment » avec une seule des droites que l'on peut tracer dans le corps ; cette droite » étant constamment animée en ses divers points de vitesses vdirigées suivant elle-même» occupera toujours dans l'espace la même place.

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