SUR LES DIVERSES PROPRIÉTÉS DE LA FONCTION

r[x)= 1 t'-^e-^^dz.

L'intégrale définie

que H. Legeodre a désignée par la notaiton r (as) « et qa'il a nommée intégrale Eulérienne de seconde espèce , jouit , comme Ton aait , de plusieurs propriétés remarquables. Ainsi » par exemple , en désignant par n un nombre entier, et par x une quantité posilÎTe • on a généralement

(s) r(n) = ï. a.S... (fs— i), (5) r(tiB + *^)=0(cB+ i)...(aj + n— i)r(«),

et, en supposant as '^ i ,

ir

smirs

A ces formules » que j*ai rappelées dans le résumé des Leçons données k TËcole royale polytechnique » et dont les deux dernières entraînent les équations

(6) r(*4-i) = «r(«), (6)r(^)=«ï. (7) r(n4-|)=y~...^irJ.

OD doit joindre encore les suiTantes

(8) r(aj) = (air)"» 'a (i+O»

^^r(,)r(l.s)r(lt,)....r(JLi^.) (9) « : rôSJ =î«'î * •

Dans réquation (8) , qui a été donnée par H. Laplace , et qui coïncide , pour dea valeurs entièrea de a», avec la formule (i5a) du Mémoire sur les intégrales définies prises entre des limites imaginaires , t désigne un nombre d'autant plus petit que la valeur de 00 est plus considérable. Quant k la formule (9) , M. Legendre Fa élabliot dana ses Exercices de calcul intégral , k l'aide d'une intégntion double » el en s'appuyant sur les propriétés de la fonction

i/Mr(i+«)

J*observerai ici que la même formule pourrait ëlre déduite dea équationa (5) et (8). En effet , il résulte évidemment de l'équation (5) que le premier membre de la formule (9) ne varie pas quand on fait croître la valeur de x de l'unité. Donc ce premier membre ne variera pas non plus , si l'on ajoute à la valeur de x autant d'unités que l'on voudra » et si l'on fait croître x par ce moyen au-delà de toute limite. Or, quand la variable x devient infinie » t s'évanouit dans l'équation (8) , en vertu de laquelle le premier membre de la formule (9) se réduit k

D'ailleurs , si I'mi fait , pour abréger »

I et , si Ton a égard k la formule

oit trouvera , pour des valeurs infinies de x »

(i5) |(P) = -l+-l+... + iLlL = ilL. (.4) p = a-T^.

jgn substituant la valeur précédente dç P dans l'espression (lo), on obtien<b>a pour résultat le second membre de U formule (9).

Nous terminerons cet article en faisant observer que, pour élendre les équations (3) , (4) » etc..» au cas où la variable x prend nne valeur quelconque, positive ou négative, il suflit de remplacer la formule t{x) = j »"^»a-*rffiD par la formule (16) de la page 60 du pjremier volume. Alors » il l'on pose succ^psivenient

r désignant une quantité positive et plus petite que l'unité , on aura

(.4) ri-r) = f'.r^dx, r(-r-,)=j;"iril+îrfi. etc.

et généralement

"ft