SUR LES MOMENTS DINÈRTIE
Considérons un système de points matériels dont les masses sçieot respocjtiveipent m, m', m*, .... et représentons par n, r'^r'^wm les distances de ces points à un
certain axe 00'. La somme
., il
que nons désignerons » pour abréger, par la notation
imr^.
sera ce qu'on nomme le mùment iC inertie du système par rapport à Taxe 00\ M. Bihet a proposé d'étendre la même déoamimtia» ap (sas ioîi:Foii saf^nos^ ^e r» r\\ r% •^«.. représentent les distances des points matériels h un plan fixe» et d'admettre qoe,.dans cette supposition , imr* est le moment d'inertie du système par rapport au plan dont il s'agit. De plus, il a prouré qu'on peut toujours eonst^oit^, autour d'un point donné, un ellipsoïde dont ce point soit le centre, et dont chaque diamètre soit équivalent au au double de la racine carrée du moment d'inertie dà système par rapport au plan conjugué à ce diamètre. Nous allons faire voir , dans cet article , que les moments d'inertie du système, par rapport à différents axes menés paî^ un même point, peuvent être facilement déterminés , à l'aide d'un second ellipsoïde dont la construction fournit le moyen le plus simple de comparer entré eux ces moments A'inerCiô, et d'étabfir l'existence des trois droites désignées sous le nom d'axer principaux.
Soient A, A\ etc.. les différents points matériels dont les masses ont été représentées par m, m\ m'/..; et '
(0 . jK = zmr*
•' • 'JIJ a.
le moment d'inertie du système des points A, A\ A' •*. par rapport k Taxe OO* passant par le point O. Prenons ce dernier point pour origine des coordonnées, et désignons par », j, s les coordonnées rectang;ul^ires de la masse m. Soient
enfin s le rayon recteur OA , ^ que forme ce rayon vecteur avec l'axe OO' prolongé dans une certaine direction, et X, ifi^ v , kg ioglès fermés par celui -ci avec les demi-axes des coordonnées positives.- On «ara éxidemàient .
IL* ANlliB. i3
(a) r = #8în*, (5) 9*=zx* +y* + z*.
De plus» comme les angles compris entre le rayon Tecteur i et les demi -axes des coordonnées positives auront pour cosinus les rapports
dn tttmt^W ènteOMr
(4) COS^== — COSX-I- — COSfft + — cosv,
et par auite
(5) *€Ost±=?â:ec^l +>colifi -f£ «cxi^év ; puis Ton en cqpdttra
(6) r*=«'8in*}=«*--«*co§*i=»*-l-7*-f-:E*-(dioosH7Cos(A+coo8v)>
=:(ycosv-«cosft)«+(«cosX-»eosv)*+(a?cosv-ycosX)«.
H est bon d^obsM^er <qw réqvAtÎMi (6) pe«l étve ivoiplaeëe par Tatte quelcoofoe des deusoivaiilès
(y) r* s£:«*'sitt*ib^jr* sin*>i-f<s'^sûa*« -» »/scQS(ft«os<v - ftf j^oesvoosX -* &d;/4os^eDs^ ,
Gek poséi si Top fait» poor abroger*
(lo) D=ïmyz, Stssttnzdi, f=:itmmyi
on tirera do la formule (i)> combinée àrec rè<(ûation (7) ou (8),
{ii) JSt:^a^O0>8"X*f l^C08'fA4*CQO^*v<^sDeMfA«OSil*-a£oOSf€asK-sFtU>8lC(ISfty
ou
(i3) JS[ = 6siD*X+iSrsiQ*f&+/siû^y-*al)co8pcoflv-3£cosvcosX'^â^G08).oosfi.
Ajooloiis que ks qnaalitéa A, B, € , déteriminées par les formules (9) > sont précisément les moments d*inertiè reblift aux suas dès x^ y et «-
Concerons k présent que Ton désigne par '%,y\i *le9^é6ovâon|iéet d'un p0Uit O'
choisi arbitrairement sur Taxe 00\ et par k'* la longueur* '00*, On aura éfi^ demment
ÇpS^ OQSp
OOSV
dcArs
et, en substituant dans l'équation (i«) les Taleurs de cos9l» eosp, cosv ifarées de la formule ( i S) « on trourera
Ajl^ + JBy -h Ct* — «Dyx ^ aifn -^-^ sFityp- JK*^ .
SoypoÉMi do pJisB ^iie r^ia O0' Vmam ii ae lOQfUTojr ^ m :toiici||m( ^Atonr du point
0, «t ^ae> pendant ce moiiTement , la loogoeiir . 00' s^ k ' varie de inamère h étra constamment représentée paj: une certaine fonction .4u inoment d'inertie K» Ce moment d'inertie pourra lui-même sWprimer en fonction de la distance
et le point O' décrira éf idemment une surface courbe , dont la construction fera
connaître la dépendance qui existe entre la valeur de K et la direction de Taxe 00\
Observons d'ailleurs que cette surface courbe sera représentée par l'équation (i6)»
quand on j considérera k ei K comme des fonctions des coordonnées x» y» z devenues variables.
Parmi les différentes reUtions qu'on peut établir entre les fu^atités k et K^ l'une de ceUes qui ramènopt Féquatioii (|6) aux formes les plus simples consiste à supposer la longueur k réciproquement proportionnelle k U T^iA^ carrée du moment d'inertie £, Eu effet» si , pour fixer le« idée»^ pa prend ,
Féqùation (i6) deviendra
I/ÎT
ou
Kkf
^x* + jBy»+€?»» — «flyr— taFax — «i^otyzBt 1.
La aui^iiee , représentée par cette dertilèiiD éqiMidn , est-^ideaameni iiBecavfiiise du nh eond degré» qui a ponr centre tViginemétadè deé coordonnées, fie fflus/ciMbme lemô*ment d'inerlie K, uniquement composé de termes péittifs,'M i'évaÀoiiiim jamais «è y
moins que loos les pçinis nidl^ri^ donnés ne soient sitaés sur une méfloe droite , et qu'en conséquenoe la longueur k • conserrera généralement, pour toutes les positions
de Taxe 00\ une valeur finie; il est clair que la surface (18) sera im ellipsoïde. On peut donc énoncer la proposition suivante* .
1 . ** TaàoBiMB. ConsidérofU un syHèmc quetoonque de poinis maUrieU A , A\ etc. . U êuppoêonê qu^aprèê avoir mmU par un poinê: 0 pris à voUm^ dans Ce9paec une infinité d*axêês on détermine Us divers moments fC inertie du ^stème par rapport à ctUf mêmes axes* Si^-à partir dfU point, O^ Con porte sur chaque axe une longueur numériquement équivalente à Cunité divisée par la racine carrée du moment dUnprtie correspondant t Us extrémités des diverses longueurs seront comprises dans ta surface d^Mn ellipsoïde, dMt Upoinf . Û. ^sera U centre^
Si tous les points matériels du système que Ton considère étaient situés sur un même axe, le moment d'inertie Tetatifk cet axe deriendrait nul» et la (ongueur correspondante serait infiuiie; d*oii il résulté que relliptmdc^ se transformerait en ime surface cylindrique»
Observons maintenant que, la direction des axes coordonnés étant arbitraire, on pourra toujours faire coïncider ces axes avec ceux de rellipsoïde représenté par Téquation (18V Alors les produits jz^ zx„xy devront disparaître , ou , en d'autres termes» les coefficients D, E , F devront s'évanouir. On peut donc faire passer par le point O trois axes rectangulaires et tellement choisis qu'en lea prenant pour axe» coordonnés on ait à-la-fois
(19) 2fnjrsï=o, zmzx = o^ imxy = o.
Ces trois axes sont ceux qu'on a nommés les axes principaux du système relatif aix point O. On appelle nïomenfs d*inertU principaux ceux qui se rapportent k ce» mêmes axes. Comme, en vertu de f équation (17), la valeur de K augmente, tandis que la longueur k diminue ^ et réciproquement, il est dair que Tun des moments d'rnertie^ savoir, celui qui correspondra au grand axe de l*ellîpsoîde, sera lemoment dlnertte minimum > tandis qu'un autre , savoir, celui qui correspondra au petit axe de rellipsoïde,. sera le moment d'inertie maximum.
Lorsque l'elUpsoîde est de révolution , il existe une infinité de systèmes d'axes rectangulaires pour lesquels les conditions (19) se trouvent vérifiées. En d'autres termes, il existe une infinité de systèmes d'axes principaux» Chacun de ces systèmes se compose 1 .* de l'axe de révolution , a.* de deux autres axes qui passent par le centre de l'ellipsode et se eoupeni k «ngles droits dans le plan de son équateur. Alors aussi deux momente d'inertie relatifs k des droites qui formeilt le même angle avec Taxe de révolution ••»% nécessairement égaux entre '.emu ,
(97) Lorsque rellîpsoîde se transforme en une surface cylindrique , celte dernière est toujours une surface de réyolutîon , et Ton rentre dans le cas que nous venons d'examiner. Seulement Tun des nM>menfts d'inertie principaux s'éTanouit*
Lorsque rellipsolde se réduit à une sphère, les conditions (19) se trouvent vérifiées pour tout système de trois axes rectangulaires passant par Porigine. Trois axes de cette espèce, pris au hasard, forment donc alors un système A*àxes principaux. De plus, tous les moments d'inertie deviennent ^aux entre eux.
En faisant coïncider les axes coordonnés avec les axes principaux, on simplifie les équations (is)» (i3), (18), puisqu'alors les coefiicients D, E, F s*éf anouissent ; et l'on obtient immédiatement les formules
(ao) ^ = ^C08"X 4- ^cos V 4" CcoB'^ ,
(m) Ax'-^Bj'-k-Cf^i,
dans lesquelles A, B, C désignent les trois moments d'inertie principaux. La formule (90) sert à exprimer le moment d'inertie relatif à un axe quelconque passant par un point donné O , en fonction des moments d'inertie principaux, et des angles > » .ia, v que forme Taxe dont il s'agit avec les axes principaux.
Dans le cas où les axes principaux ne coïncident pas avec ceux des w, j et z, leurs directions, ainsi que les valeurs des moments d'inertie principaux, peuvent être facilement déterminées. En effet, dans rellipsolde représenté par l'équation (18), te rayon vecteur , mené du centre au point (x , y , x) , devient normal à la surface , quand tes coordcmnées x, y, z vérifient la formule
, , ^x-Fy-Ei By-Di-Fx Ct-Ex-Dj
D'ailleurs on tire de cette lonmtle combinée avec les équations (i5) et (1»)
^oosX-FcpSfA-Ecosv Bco8fi>-Doosi»-Fcos> Ccos»>Jgco8>-l>eospi ^
'*^' COSX COSfA OOSif
eu, ce qui revient au même,
(£ — »^) cot> 4- Fcosfi 4- iffeoiv = o »
(aS) { FeosX-f-(J[ — 2ï)cosp4.Dcos» = o,
£€0êX4-DcQSfi4- (£— <7)coe»=#;^
et par suite
(a6) {K—A){K^B){K—C)-'D*[K'^A)-^B'{K-'JS)--F»{K^C)'HDBF=o.
Cela posé 9 les trois valeurs do K, propres à Férifier J'équation (s6]^ seront évidemiDent les trois moments d'inertie relatifs aux axes de Teilipsolde (18) « c*est-h-direj les moments d'inertie principaux. De plus^ à chacun de ces moments correspondront deux systèmes de valeurs des angles >, f*, v» déterminés par les équations (a 5) réunies à la suivante
(27) C0I*X4-C0S»fx + C0S*v= 1 ,
ou, ce qui revient au même, pour la formule
COS^ COSic COSv
{K-B){K-C)-D* {K-C)iK-J)-E- ~ iK-J){K-B)'F*
i/l[iK'B)iK-C)-D*y+i{K'C)iK-JY-i:'y+HK'J)iK-B)-F*y\ '
et il est clair que œs deux systèmes indiqueront les deux directions suivant lesquelles oa peut prolonger, à partir de l'origine, Ttm des axes de Tellipsoide , c'esi-è-dire, l'un des axes principaux.
L'équation (26) est une de celles que Lagrange avait rencontrées dans ses recberchei sur le mouvement de rotation d'un corps solide. Cet illustre géomètre avait démontré que les trois racines de l'équation dont il a'agît sont toujours réelles. Mais H. Bîoet a prouvé le premier que ces racines étaient précisément les moments d'inertie priocipaux.
Supposons maintenant q«ie l'on veuille déterminer le moment d*inertie du systèflM
des points matériels A , A\ ... par rapport à un axe, qui forme toujours avec ceux
des a; » j' , ft les angles A, f^* v> mais qui pasëÇjMsr un point C distinct de IV
rigine. Soient d'ailleurs ^ ce moment d'inertie; 0, b, c les coordonnées du point
S'ê "R ^t ^ les distatrees respectives de forigme O ^ da peint A aa nouTel
axe; M la somme des masses m, m^ ; enfin S, ij C les eoordonnées du
centre de gravité du système des points A,A\.. On aura
(29) Ût^^mâC-,
De plus , pour déduire la distance ^ ' de la distance r déterminée par Téqualion (G), il suffira évidemment* ée transptrier-l'origtne aupofit {a 4 bg c) , et dereu}-
placer en conaéipeoce x^y^^ par a» — a^jr— ^^z— -c. On aura donc eocore
et Ton en condora , en rédubant œ , j et ^r à zéro ,
(5j) JI*îîstf* + 6»4*«* — (^ûos>+frW8^ + ucos»)*.
On trouvera par suite
(3a) ^•=r»+il'-a[tf«+^jr+c«-(aco8X + ico8fi+cco8v)(«co8X+yco8fi+»co8v)].
puis , en ayant ég;ard aux équations
(55) 2m» = Mit ifny = Mii, 2ms = JlfC,
on tirert des fermttlas («9) et (St)
(54) 2ML=JE+MJl*-aM[aï+^« + cÇ-(ac08H*co8fA+cco8v)(Çco»>+iico8f4+Çoosv)]. ^
Si Ton fiiit coïncider Torigine avec le centre de gravité du système des points A , A\, etc..., (» n» ( s'évanouiront, et Téquation (54) donnera simplement
(55) ^t=JC+ilri^^
Cette dernière formule comprend un tbéoréme dont voici Ténoncé»
a.* THioBftu. Pour obtenir te moment d'inertie dCun tprstème de points matériels par rapport à un axt quelconque, il suffit it ajouter, au moment tf inertie relatif à un axe parattète passant par te centre de f^raviti, ta somme des masse$ des différents poinu
muit^liée par te earré de ta distanee entre les deux axes.
Les théorèmes 1 et a s'étendent au cas même oh le nombre des peints matériels A \ vf» ... devient tiflni , «t où le lytftèMO de œs points se traasforive en un eorps solide. Umqne le cotfps wt homogèM , et qn'im plan , ip— é par le pobt O, divise le <?(»rps en deuxpMlief syukélrifiieSy ce phn renferme éndMHneM deox ânes éa rdlipseîde représenté par l'équation (18) j et par conséquent deux des axes principaux relatifs au point 0« De odta reiwrqiio mx déduit imniédiatevieAt la proposition suivante.
3.* TnicaftHE. Lorsque, par (e centre de gravité d^un eorps solide et homogène, on peut m/ener trois plans , dont ehaous^ divise le i»rpê en 'deux parties trymétriques, les droites d^interseetiosk de ces mêmes plans sont pricisime^ les axes principaux relatifs au centre de gravité.
( »oo ) Ainsi p par exemple , dans un pafriléKpipède rectangle et on ellipsoïde homogènes » les axes principaux relatifs au centre coïncident arec les droites menées par le centre parallèlement aux arêles , ou avec les aies de l'ellipsoïde. ^
Quand on se propose d'évaluer le .moment d'inertie d*un corps solide homogène « le moyen le plus simple est d'employer \f formule (ai), et de déterminer les constantes G» Hf I, à l'aide de la division da corps solide en tranches infiniment minces , comprises entre des plans parallèles aux plans coordonnés. Ainsi , en particolier , poar déterminer la constante
ou le moment d'inertie du corps solide relatif au plan des /» «• on cherchera d'abord le moment d^inertie d'une tranche très - mince du même corps , renfermée entre deux plans perpendiculaires à l'axe des œ, et correspondants aox denx abscisses x, a; -f- ào;. Soit V l'aire de la section faite par le premier de ces deux plans dans le corps solide , et p la densité du corps. La masse de la tranche dont il s'agit* '^t agn; mopnent d'inertie par rapport au plan des jr , z seront exprimés par deux produits de la forme
(36) (i=fcf)pJ7Aa5, (37) (i =fcf)pi7fls«Aaî,
f désignant un nombre qui s'évanouira toujours avec Aas , et qui pourra changer de valeur quand on passera du premier produit au second. Gela posé , si l'on divise le corps en un très-grand nombre de tranches semblables à celle que nous venons de considérer, on trouvera pour la somme des moments d'inertie de toutes ces tranches
(38) C = z(i=t:tjpt7a>'A»,
le signe 2 se rapportant aux diverses valeurs de ^x; puis, en faisant converger chacune de ces valeurs yers zéro , et passant aux limites , on obtiendra l'équation
(59) C= r^'pVx*dx.
Dans la formule ($9)» Xo et cCi représentent la pins. petite et la piuii grande des valeurs de l'abscisse se. Cette formule. s'étend au cas même oii la densité p devient variable avec l'abscisse x\ et » quand le^ corps est homogène , elle se réduit à- .
G = p .1 Vx*dx. On trouvera de la mémemanitee
Izspf'fra'dt;
(>oi )
pourvu que Ton désigne par j^ el ji Ui plui petite et la plus grande des valeurs de y relatives aux divers points du corps solide , par Zo et ^^ la plus petite et la plus grande des valeurs de z^ enfin par F et fF les aires de deux sections faites dans le corps par des plans perpeiidicuI^irQs nu^ aji^ deis y H z, ei cprreapondaat» le premier à lordonnée j, le^ecQAd ^ TordAnnée z.
Pour montrer une application des formules (ai) et (4o) , concevons que le corps sojide soit un parallélipipède recta^ngle et homogène^ 4^nl le centre coïncide avec l'origine , et dont les arêtes soient parallèles aux àXûs ^es x, j, z. 3i Ton désigne par a^b^c ces trob arêtes , et par U . I9 masse du parallélipipède » on aura évidemment
V = be, a5o = û» ajg = — a, M = pabo ,
Ç = p6c I x^dx= — I a5*a» = — Jfa».
On trouyera de même
il = — ltb\ J = —Mc^;
la 12
0t par suite |a formule (ai) donnera
f, . «f ■# a*sin»X + *»sto»^ + c»8lo*v
14* j A = ii— • ^ •
ta
Tel sera le moment d'inertie du parallélipipède relativement à un axe mené par le centre de manière à former les angles ^ f* » v avec les directions des trois arêtes.
Si le parallélipipède se transforme en un cube , la valeur de K deviendra indépendante des angles > » ^a , v ; et , en ayant égard à la formule
sin'> + sîn'^ -|" ^^^*^ = 3 — (cos*X -|- oos"|* + cos'v) = a , on tirera de l'équation (4 1 )
(4«) K=:l-Ma\
Considérons encore un ellipsoïde homogène qui ait pour centre rorigine, et qui soit représenté par l'équation
IL* ANNiE. l4
( lOd )
(45) lF + ir-4-^ = i.
La section faite dans cet ellipsoïde par on plan perpendiculaire à Taxe des x , et correspondant à l'abscisse x, sera nne ellipse qui» étant eHe-mème représentée par Féquation
aura pour demi-axes deux longueurs mesurées par les produits^
De plus, comme, pour déterminer la surface O de cette ellipse, il suffira de muilî' plier le produit des deux demi-axes par le nombre ir , on aura encore
On trouvera é'aiUevrs , en désignant par M la masse de rellîpsoide ,
Cela posé, la première des formules (4o) donnera
On aura de même
H:^\Ub\ I=:^±Mc%
et par suite on tirera de la formule (ai)
,,.. jj jy a»sin«X'f6»sin»fft-c«8iD»y
( io3 )
Tel sera le momenl d'inerlie de l'ellipsoïde relativement à une droite menée par le centre de manière à former les angles ^ » p , v ayee les directions des trois axes.
Si lellipsolde se transforme en une sphère , la valeur de ' K deviendra indépendante des aogles ^ » f^ » v » et se réduira simplement à
(45) K=^Ma*.
Noos terminerons ici cet article » sans nous arrêter aux applications que Ton peut faire àe la formule (35) » ni à la formule bien connue qui sert à déterminer le moment d'inertie d*un solide de révolution par rapport à f axe de ce même 5oHde«
asBX
