SÛR LA FORCE VIVE D'UN CORPS SOLIDE

ou DTJN SYSTÈME INtAlttAÔLE EN MOUTÈMENT.

On sait que la force ?i>e d*un aystème invariable ou d'un corps solide en-mouTemenk se décompose en deux parties j dont l'une représente la force Tire du corps déterminée par un observateur, qui, placé au centre de gravité, regarderait ce point comme immobile, tandis que l'autre partie est la force vive que l'on obtiendrait, en supposant la masse entière transportée au point dont il s'agit , et animée de la vitesse avec laquelle il se meut dans l'espace. Toutefois le centre de gravité n'est pas le seul point qui jouisse de la propriété que je viens de rappeler ici, et l'on peut démontrer qu'elle est commune à tous ceux qui sont situés sur la surface d'un cylindre droit à base circulaire dans lequel deux génératrices opposées comcident , l'une avec l'axe instantané de rotation du corps solide, l'autre avec la droite menée par le centre de gravité parallèlement à cet axe. C'est en effet ce qui résulte des considérations suivantes.

Soient A, A\ A'.., les difCirents pointa matériels qui composent le système invariable ou le corps solide ; fn, m', mV.. leurs masses respectives , et M la masse entière. Soient d'ailleurs, au bout du temps i.

les vitesses des points A , A\ A' ... ^ et du centre de gravité (7 , \* la force vive-

du corps solide , c'est-à-dire, la somme des forces vives de ses divers éléments, 00' I l'axe instantané de rotation du même corps , enfin v et » ses vitesses instantanées» de translation et de rotation» On aura

if = m -|- m^ 4- vT^' + «'• 9 ou , ce qui revient au même ,

et

i|»* = mw*4'''* ** +®lc* ••' »

(i) i|f = 2mV et (a) ,|,« = 2m«*^

le signe z indiquant une somme de termes semblables et relatifs aux masses m r ^^'* m'.... D'autre part, si l'on nomme ti la distance entre l'axe 00* et uo âxe pa-

rallftle € G' n^raé par le ceôtte de grivité p r , « les loi^ueurs des perpendiculaire»

ababeëet éé point A sur ien'detfx aie» (fC. OÔ', «l ^ l'angle que cet perpendiciilanrea foraaeni entre elle»; on troufera encore

(3) »» = v« + 5*»S (4) a« = v» + A*if*;

(5) 2m«* = 2mr»-f-*i?»?

(6) iR« = r* + #«~ar#oo«^.

En effet, jplour établir ces <|uatre éqaatîotts , il suffira d'observer, i.** que la ritesse absolue da point A <m G est la diagonale d'an rectangle construit sur la vite^e v de Taxe

instantané de rotation et sur la vitesse apparente s« ou Ru qu'attribuerait au point

^ ou 6 un observateur placé sur Taie OO'^ a.* que la différence entre les quantités sms' et imr^ , c'est-à-dire , entre les moments d'inertie du corps solide relatifs

aux deux axes OO' et GG\ doit être , en vertu du second théorème de Tarticle précédent, équivalente au produit de la masse entière par le carré de la distance des deu^ axes, 3.* que cette distance est le cdt^ opposé k Pangle à ^ dans un triangle formé ayec les trois longueurs r^ê et B* Si maintenant on substitue» dans la formule (2) , à la place de «i*» sa valeur donnée par Téquation (5) , on frouvera

(7) 4»« = Jfw«-4-ir«2ms*,

puis , en ayant égard à la formule (5) ,

(8) 4.* = Af(«»4-fl»«»)4-«'2«»r%

ou , ce qui retiéiA a^ didme ,

(9) +» = If n^ + »*2mf » • '

De plus ^ si Ton Mmme IC et 9C ^ moments d'inertie du corps solide relatils h

l'axe G G' et à un axe parallèle AB mené par te point A^ on aura évidemment

(10) K = tmt\ (11) 3t = iS:+Jirr».

et l'on tirem de l'équation (8) , oombMe «riac les fiMrmnles (3>, (6) , (10) et (1 1)

(1») V = *fM* — tj|f•*rscos»4-^t•^

Il importe de remarquer que le dernier tanne de chacune des équations (7), (9), (is) représente la force vire qu*attribuerait au corps solide un obseryateur placé sur Tun

des axes 00\ GG\ AB. En effet, la vitesse apparente du point A , pour un spectateur placé sur Taxe 00\ étant précisément égale au produit s«. il est clair que la force vive attribuée par ce spectateur au corpa solide sera équivalente à Texpression

ïm(5«)* = ir»2m#*.

c'est-à-dire, au carré de la vitesse de rotation du corps par le moment d'inertie Zms*

relatif à Taxe OQ' l et , si le spectateur se transporte sur Taxe G G\ ou sur Taxe

O 0\ il faudra évidemmiept rempljacer , da^i Texpressioii (1 3) , le facteur 2fn$* par l'une des quantités

K — imr*

ou

qui désignent les moments d'inertie relatifs aux axes G G' ou AB. Quant aux produits Afu'y 4fA% Jlfo»% chacun d'eux représente la force vive qu'offrirait la

masse entière concentrée en un point situé sur Taxe OO^ ou G G' ou AB^ et animée de la même vitesse que ce point. Ajoutons que , si l'on suppose le plan qui ren-

ferme les axes AB, OO' perpendiculaire au plan qui renferme les axes AB, GC\ le facteur cos^ se réduira simplement à zéro » et l'équation (la) à la formule

ip* = ilfft»« + 3t«*.

D'ailleurs, dans cette hypothèse, si l'on coupe les trois axes parallèles 00\ GG\ AB par un plan perpendiculaire h ces mêmes axes , les trois points d'intersection formeront

un triangle rectangle dont le sommet sera situé sur l'axe AB. Donp alors tous lei

points de l'axe A B appartiendront à des circonférences décrites, dans des plana perpendiculaires aux trois axes , sur des diamètres propres à mesurer la distance des deux

premiers. Il en résulte que la droite A B sera l'une des génératrices d'un cylindre droit que l'on pourra considérer comme ayant pour base une des circonférences cidessus mentionnées. Cela posé, la formule (i4) entraînera évidemment la proposition suivante.

Thèobâmb. Concevons qu'un système invariable ou un corps solide se meuve dans

f espace. Soient , à une ipoque quelconque du mouvement , OO' Çaxe ins^anUmi ds

rotation de ce même corps , et G G' Caxe parallèle mené par le centre de gravité C. Pn(in supposons que Con construise une surface cylindrique à base circulaire , et dans

laquelle deux géniratrtees oppaies eoîncideni avec leê deux axe$ dont il s^agit* Pour diiemUner la foret vive du corps solide » il suffira de ealeuler celle que lui attribueraii^ en se considérant comme immobile , un observateur placé en un point pris au hasard sur la surface cylindrique, et df ajouter à la force vive ainsi calculée celle qu'on obiicndraii^ si la masse entière était,, concentrée au point dont il s'agit , et animée de la même vitesu que ce point.

Si robserfateor se plaçait sur l'un des axes ÔO\ GG\ la fiiesse «> se trouverait réduite à Tune des fitetaes v, a; el la formule (i4) à Tune des équations (7) et (9). Ajoutons que la seconde de ces deux équations est précisément celle qui exprime la propriété connue du centre de gravité relativement à la décomposition de la force - vive.

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