ENTRE LES PRESSIONS OU TENSIONS ET LES FORCES ACCÉLÉRATRICES
.«■^p^x^MM^
Considérons, dans un corps solide ou fluide, un point quelconque dont les coordonnées rectangulaires soient désignées par x, jr, z. Si Ton nomme p' » p', p'" les prèssions ou tensions exercées en ce points du côté des coordonnées positifeSp contre trois plans parallèles aux plans des y* t, dès z, x, et des x, y; les projections algébriques des forces p\ p'^ p'" sur les axes coordonnés seront deux à deux ^les entre elles [royex la page 4?] » et pourront être représentées en conséquence , comme on Ta déjà fait daQS un autre article [page 49 ]# par les quantités
El
Soient d'ailleurs
p. 9, Di if. P, Ç-
les projections algébriques de la force accélëratriçe appliquée au point (Xj y , s) sur les axes coordonnés. On reconnattra facilement que les quantités (i) et (9) sont toujours liées entre elles par trois équations qu'on peut obtenir ainsi qu'il suit.
Soient A ip, ^y, As des accroissements très-petits attribués aux variables as, 7. z;
t^ = AasA^Az
le volume du parallélipipède rectangle compris entre les six plans menés parallèlement aux plans coordonnés par les deux points (» , / , z)» {x'^Ux, J^ + Aj^ » « + A «) ; p la densité du corps au point (se > /» ') » et m la masse comprise sous le volume V • Les projections algébriques de la force mplrice qui sollicite cette masse seront à très-peu près équivalisntes aux trois produits
mX , mY , mZ ,
( »09 ) ou , parce qu'on a seosiblement
(5) m=tfiv=p^x^J^z ,
aux trois expressions '
(6) pX^9c^yàz , pY^x^Jr^z , • pZiicdHjràz»
De plu», les* six faces rectangulaires, qui lermineiU le volume v^ sereol deux k 4eux égales entre elles , et mesurées par les produis
(7) AJA:?, ^t^Xf ArrA/.
Enfin les trois faces, qui aboutissenl aft point . {x, j^ z)^ supporteront en ce point dés pressions ou tensions dont les projections algébriques seront respectiTcmont
Cela posé 9 désignons par x , jr -{-j, 2-|-z les coordonnées d*un point quelconque situé sur celle des trois dernières faces qui est perpendiculaire à Taxe des x. Tandis qu'on passera du point {p^* y» z) au poîilt {pu, V'^l^ ^^^z) , la projection* algébrique sur l'axe des x de la pression ou tension exercée contre celte face changera de valeur y et deviendra équivalente au polynôme
Par suite , ta taasîaa ou prembti> t»tai« , rapportée pta^ «efte fiioe nare4lë1^incnt h Taxe (Tes X , aura pour mesure l'inlégrale
et sera diHgée dans le sens des x positives ou négatives » suivant que l'intégrale (10) sera elle-mônie positive ou négative. Quant à la pression supportée par la face opposée , parallèlement à l'axe des Xf elle aura évidemment pour projection algébrique sur cet axe l'expression qu'on obtient en remplaçant , dans Tintégcale ( 1 0) , le signe — par le signe + , et la quadttté- A par
IL* AififiB. i5
(110 ) ' dx dx* 1.3
c'est-à-dire le produit
/ X I ^ i dA \ dA t^y ^ dA Lz , \, ,
Donc la résuHante des pressions ou tODsions supportées ^ parallèlement S Taxe des œ^ par les fiices du volume v comprises dans des plans parallèles au plai» det y ^ z ^ aura pour pro)ection algébrique sur cet axe le produit
(lâ) ^— Aa: + ...jAjrA«.
On prouvera de la même manière que la résultante des pressions ou tensions supportées r parallèlement à Taxe des x^ par les faces parallèles au plan des t^^» ou au plaa des as, j, a pour projection algébrique sur cet axe le produit
(i3) (^Aj + ...)A«Aa5.
ou le suivant ^ - ^
(l4> ^-l£.As + ...)AaJAjr.
Donc, si Ton considère Tes différences a a?» Ly ^ x% comme infiniment petites du: premier ordre , et si l'on, néglige les infiniment petits d*un ordre supérieur au troisième» ce qm permettra de réduire les produits (la) » (i3) » (i4) à leurs premiers termes, ' la somme des projections algébriques sur Taxe des 0 des pressions ou tensions» supportées parall^emeut à cet axa par les six fiices du volume v , sera simplement
fdA dF dE\
Or , la molécule m devant » par hypothèse , rester en équilibre sous l'action des diffé* rentes forces qui la sollicitent, savoir» des pressions ou tensions exercées contre ses^ faces , et de la force motrice , ta somme des projections algébriques de toutes ces forces sur Taxe des x devra s^évanouir. Ou aura donc
dA , dF , dE
I dA [dx
dF d\b \ ^
+ -; — + -r — ) XxXyàz ^^^XxxàyH^z = o ,
dx dy dz J
el l'on en ooDclura
On trourera de même
Si le Gorpi que l'on considère se réduisait k une masse fluide » il j aurai! , en chaque points égalité de pression en tout sens» et chaque pression serait perpendiculaire au plan qui la' supporterait. Alors les pressions exercées en un point quelconque , et du
côté des coordonnées positifes , contre trois plans perpendiculaires aux axes des x , jr, s, seraient dirigées parallèlement k ces axes, mais dans le sens des coordonnées négatif». Bsr suite» en nommant p la pression hydrostatique correspondante au point [x, y, z) , on troqferait
A=sB = C=i'-p,
(18) DssE = F—o;
el lei équations (16) , réddtei k
pZ--=o.
ppïocideraieqt avec les formules (a) de I9 page «4«
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