D'UNE SEULE VARIABLE EI^ OU'ÉGIU.LES J)OI}BLES
M. JPourier. a fait rqir q(|*oa peut traasfojripçryfie Sonçiiw: de |a ^^fiàkh ^ ^ tui^ inlipiilp dQuî)Ie^ da^a laquelle celte y^n>>Je^'eotins pJlu3tque spu^ le-l^iie «U* ou cos. Lp6 deux formi/Ies q|i'il a données jipur CÇt oJi>}c|t jie^ureptigjtrf ut|leffMaatjPfi0i|^)aç^s par une autre ,x|ue j'ai indî^ué^ d^rj.^ |ç jig/ cdlMer 4u jQlfrQ^ dei'£çqlo PO74I0 polyieobnique, e,t qui renferoie^,^ au )iey 4'w.^'nus QU 4*iW lOQsiAV^ » MUQ .aeul^ ley^imitîelle imaginaire. Elles se trouyent 4'9illei2r9 c;pfPj^riA^8^ comn^ (v^ fa(ti|5ulierf , dt^ ceU«» que |e rais établir.
Soient r(;>»r) , x{Pp^) • /*(<) trol3 {oBCtiona aéelles des yariableê p, r, t; et Po 9 Pp T^ » R des râleurs réelles attribuées aux variables p» r. Ainsi que je l'ai prouvé dans le Mémoire sur les intégrales définios f iipçes entre des limites imaginaires , on aura généralement
•/ De
^[f(p»'*o) + i/r,x,tf^fvî3 ^. V .
dp
fWiP'r,) 4- vCz (/».»•.)] rf/»
A désignant une somme dont chaque terme est égal au produit de l'expression
air^/!!7
p«nr l'un des résidus de f{t) Correspondants ft celles des racines de l'équation
que ToD peut déduira de la lormide
en altribaant è la yariabJe p de» yaleurs oemprises ealre les limites />« 9 P, ci h la variable r des yaleurs comprises entre les limites r^, R. Ajoutons que, dans
l'expression (9) » le double signe devra être réduit au signe -}" • ou au signe ,
suivant qu*il s*agira d^jin résidu correspondant h une valeur positive ou négative de la
différence
^ ' dp dr ^ dr dp '
Observons enfin que» si la fonction
oc devient pat iofisie povr ios valeurs de ;» ai de r renfisriDées entre les Irmites p=zp^, pz=zPf rz=ro 9 r:=n p on aura simplement
Parmi les 'applications que Ton peut faire de la formule (1) , on doit remarquer celles qui se rapportent au cas où Ton suppose
ou bien encore
(9) ^^{p,r) = rco9p, x(j^pr)=^rsinp.
On retrouve alors les formules que j^ri données dans le premier volume des Exercrces [pages 95 et suiv. , toi et suiv.]. Si Ton supposait» au contraire,
(10) y(p,r) = ar, x[pfr)=pr, a étant une constante positive, la formule (1)
Lorsque le produit, r /[(a -4" P\/^) ^1 s'^^ADOuit pour r = oo ^ quel que »oit p , alors» en prenant
r. = o, iï^oo, > Po = o, P = b , on tire de la fornuile (il)
ou , ce qui revient au même »
(la) /*(a + 6v/:r)/t(a + *i/:T)r]rfi' = y^VWrf^ + A,
Gé|te dernière équation comprend , comme cas particuliers , plusieurs formules connues. Ainsi , par e^Lcmple , si l'on pose
/(r)=r— «é-^ n désignant une quantité positive , on aura à = o » et Ton tirera de la formule ( i a)
(i3) rr'-"c-^'**^=^^'"dr= 1^±^;
puis , en faisant , pour abréger ,
b (i4) o = arctang — ,
on trouvera
(i5) r*r--'e-''^cos6rrff==-iîîî^r(n). /"%•-•' e^-'^sin6r£<r==-22ilLr(ii),
Goncevoqs encore que, daqs la formule (ii), on pcenae
p^zzzCj, P:=xih , 1*1^ = 0, R = — ,
s désignant une quantité lrës-petite« Alors» en supposant la fonctioii f{t) choisi^ de manière que a s*évanouisse , on trouvera
J** j (a + 6i/n)/[(a + 6i/:r)r] — (« + ev^)/[(a 4-«i^)'] j 4r. (•6) i
Soit mainleDaiil x une ûouT«Ue rariable renfermé» entre les limites x. » X , en sorte qu'on ait
Si Ton pose
f{fL) désignant une fonction de fi qui ne devienne pas infinie entre les limites (1 = sDo » p = ^ » on tronrera
puis , en faisant
on obtiendra la formule
Comme on a d'ailleurs
a '^ f{x — fa)<fa =
1 x-aTo
a f{x-^ts)ds+J , a '^ ' f{x^iê)dê.
et que » pour des râleurs infiniment petites de < , les deiix intégrales ,. comprises dans* le second membre de l'équation (ao)', se réduiront» Tune au produit
Faatre à zéro» on tirera évidemment de l'équation (19) » en prenant c rr o ^
(ii6) Cela posé, M Ton fait, pow abréger»
ou y ce qui revient au môme .
on conclura de la formule (i6) , en y substituant la valeur de f{t) donnée par Tcquation (i 8) ^ et réduisant' « hiéro.
Si Ton supposait , au contraire »
on trouverait» en opérant toujours de la môme manière ^
f{\»)djf.dr.
(26) r(cr) =
f{l^)d^dr.
Enfin» si l'on ajoute la formule (74) ^ !& fortnide (26)» en ayant soin de remplacer X — fA dans la première» et ft-r-oî dans la seconde » par le radical |/(«-pi)» qui représente » dans tous les cas possibles » la valeuc numérique du btnome x — ft » on oblieftdtia l'équation
Si la variable x cessait d'être ren&rméa. entre }€& liiQiii3& se, » J^ ; alm» » en supposant
et prenant ^
on tirerait de la formule (16), à l'aide de raisonnements semblables à ceux que nous avons employés ci-dessus »
Si Ton supposait au contraire
(5l) CB < a5« < -rï ,
alors en prenant
on trouverait ^
(55) /7;[(-+*V^ro*-<-*^>'<''-'>- (a*cï/ro.-<--^>^<''-'> j /'(,)rf,^
Les équations (3o) et (33) peurent être remplacées par la seule formule (54) J^y^' j (a+^v^ro.-^'**^=>''^<=^=ï^'^
f{n)d^dr=o ,
qui subsiste toutes les fois que la râleur attribuée à la yariable x est située hors des limites x^ ^ X.
Lorsqu'on prend c = — 6 « les équations (a3) donnent
b (55) ^ ^ = a arctang — , fi = o ;
et Ton tire des formules (97) et (34) , 1.^ en supposant la variable x renfermée entre les limites x^p X^ ^
r4arctaog — j v/Ti IL* Affir&jB. ' 16
8/ en supposant la variable x située hors des limites x^, X ,
f(fA)d(|&</ra:0.
(3,) /;£J(a+*i/ro.-^-'^=^'^^^-(— *V^0«
Dans U cas particulier où l'ooprend a = o , 6 = i . la formule (36) se réduit k
ou plus simplement à
(38) n-) = 17/X I /^'-"^^^ +a-^^'-''^^ j fW é,ér.
Par suite, on aura , pour des Talmrs^e x <5oiliprîseiï entre les limites Xo , -ï t
ou , ce ijtiî revient au même ,
On tirera, au contraire , de fa formule (87) , en <opp«»à!it la variable te siwieiwr» des limites œ„, X, et prenant toujours a = o, b=i ,
(4i) jf / coBr{X'^i»).f{i*)diAdr = o,
ou, ce qui revient au même.
Dans le cas où Ton suppose b = o\ la fraction qtte' renferme le second ja^re de l'équation (36) se présente sous la forme — . Mais, en réduisant cette fraction à sa véritable valeur , on tire de l'équation dont il s'agit
A*) = T /oY«!t ' ~ *''*^'^^^' I •'"''^'^^^''^ '^'*'''" •
La formule (43) , qu'on peut encore écrire coaime il suit
«ubstste , poar toutes les valeiirs de x oemprise^ ent^e les limites x^p X. Au contraire • lorsque la variable x est située hors des Kmites œ^^ X , on a , en vertu de Téquation (3'7) ,
On troaTera , par suite , en supposant x> X>Xai
et » en supposant x<Xo<X ^
y**y* j 1 + ai" (05 — fi) j •"'■^'"'*V(t») «'frf»' = 0 .
II importe d'obswver qne les équations (43) et (44) peoTmt encore être présentées sous les formes
(48) ' fi^) = -JJ^-^—. ifi^)di^dr.
(49) f^^)=lJJ,,'^^-ra ^Ap)rfMr
Lorsque 9 dans les formules (-27) # (4o)* (48) et (49)» on suppose Xo = — 00 ,
X'=z€o p on obtient les équations
a(fi+^t/1)
00 /loo
(50 /(«) ^izfj^ i""''=''M d,dr.
qui subsistent j pour toutes les râleurs positives ou négatives de la variable x.
Concevons à présent que l'on prenne Xc^=o , ^ = 00. Alors , si Ton attribue à la variable x une valeur positive , on tirera des équations (3g) et (48)
(54) f{x) = — f f CMr(aj — («).f(ft)rf(irfr.
(55) ^^*)=tJo Jo -^ — rfï Af)rfj"'»--
De plus, on conclura des fohnules (4i) et (47) , en remplaçant x par — x ,
pco pCO
(56) ^ = J J Ço*^(« + f*)-Af*)^f*<'»'»
(57) o = y*"y**Ii— a«'(a3 + rt]<>""'""^'"*"^Y(f*)rff*rf^
Si d!ailleurs on a égard aux équations
Icosr (a? — f*) = cosrx. cosrfi -f- sinr jj^sinv'fA ^ cosr(» + f*) = C08ra5,cosrfA — sinrx.sinrf* ,
on tirera des formules (54) et (56) , combinées entre elles ,
(59) f{^) = — / / CO$rx.cosrit.f{fi)d^dr,
00 yftOO
(60) f{x)=:-^ I f sinrx.smrit.f{it)diidr.
aw «/ o «/ o
Ces deux dernières formules sont celles que M. Fourier a données dans ses Recherches
( lâl )
sur la théorie de la chaleur. Ou peut s'en servir pour io(égt*er de:^ équations linéairts aux diiTérenoes partielles et à coefficients constants. Mais , pour rendre la méthode d'intégration plus générale » il conyient de substituer aux deux formules dont il s'agit l'équation (4o) ou (di), ainsi que je l'ai remarqué dans le 19.* cahier du journal de l'École royale polytechnique : [voyez aussi le Bulletin de la Société philomatique pour Tannée i8ai, et l'Analyse des travaux de l'Académie des sciences pendant la même année.] Ajoutons que /dans beaucoup de cas, il sera utile d^employer» au lieu des formules (4o) ou (5i) » les équations (97), (5o) » (Sa), (53). C'est ce que j'expliquerai plus en détail dans un autre article.
Une observation essentielle à faire , c'est qu'on peut établir directement les formule'» (27) et (34) avec celles qui s'en déduisent, en effectuant d'abord dans chacune de ces formules l'int^ration relative à la variable t, après avoir multiplié la fonction sous
et en considérant « comme un nombre
le signe / par Texponentielle 0
infiniment petit que l'on devra réduire à zéro, quand les intégrations seront achevées. Ainsi , par exemple , en opérant de cette manière, et posant a{pB — ;&) = ti , on reconnaîtra que le second membre de la formule (43) est équivalent au produit
Si Ton intègre , par rapport à ja quantité a , et à partir de a^=::e^ les deux membres de l'équation (49) , on en tirera
on, ce qui revient au même r
^^*^ = T77m /o"/'!!"""^''^- "-''^^'"^^î fM 'i^'ir ,
e étant positif, ainsi que a. On peut aisément vérifier la formule (61). Car, hi Fou fait, pour abréger,
(63) fw='-xy^*'<^=^/'(^)rf..
on trouvera , en posant p — « = — , et r = oo.
et par suite la formule (61) sera réduite II
Comme oa aura d'ailleurs f (b) =:0, il est clair que l'équalion (65) pourra encore être présentée sous la forme
Or, cette derni^, qui comprend, comme cas particulier, l'équation connue
et qui coïncide, quand f(oo) s'énaouit, arec une formule que j'ai donnée dans le !<).' Cahiel' du Journal de l'École polytechnique [voyez la formule (c) , page 576], te déduit aisément, ainsi que M. Ostrogradsky , en a fût la ronarque, de l'équation
(68) j;-f'(„0<ir=ifc)fW
intégrée par rapport h la quantité a , On pourrait au reste établir l'équation (66) , aussi bien que la formule dont il s'agit , k l'aide de la théorie des intégrales singulière».
L'équation (ds] subsiste seulement pour les valeurs de œ comprises entre les limite» x=:Xt.x = X. Le second membre s'évanouirait , si la valeur de x devenait inférieure ou supérieure aux deux limilcs dont il s'agît; et il se réduirait è — f{x) , si l'on
avait x = £rg ou 3i-=:.X. On trouveraiteneflèl, dans le premier cas. r(ee)=io, et dans les deux derniers f(oo) :=/'(j:). Si l'on prenait x,:= — 00, X-=^'a , niors OQ aurait, pour <!cs valeurs quelconques de x,
(69) fW = ^/.X.j.,-"'!'=i^„-"'<=^jrt.).'f*,
OU » ce qui revient au même ,
al(l) -^•^- t )' •
Ces dernières formules peuvent être utilement employées dans l'intégration des équations aux différences partielles*
Si, dans la formule (36) , on prenait a = fr = 1 » on trouverait, en supposant la variable x renfermée entre les limites œ^^ X ^
11 est facile de vérifier directement la formule (71) , dans certains cas particuliers , par exemple, dans ceux où l'on supposerait flx) =«•"', f{x) = cosas, etc. ..•.
On pourrait encore déduire de la formule (1) une multitude d'équations, analogues aux formules (27) et (54). Supposons , par exemple , lès fonctions f (p, r) , x {p, r) , et /(«) tellement choisies que l'on ait
,p(p,o)=o, x{p»^)—Of^ ?(p»»)=o, A = o.
Alors , si l'on prend
Po = <î»
Pzsnb r ro=o, It==: — ,
I désignant un nombre infiniment petit, on tirera de l'équation (1)
rf[y(^r) + \/nx(^r)]
-/[?(M + v/^x(fr.O]-rf^
Si Diuifilcnanl on suppose
et . s>i Ton fait pour abréger
c«n tirera de l'équatioD (7s) » par des raisonnements semblables à ceox que nous aroos
employés pour établir la formule (97) •
(70) fix) =
-W^^iV^JJ., Tr • MM'-
La (proHile (75) subsiste « comme la formule (97), pour des valeurs de x comprises entre les limites x^, X. Le second membre deviendrait égal à zéro, ai la variable
X était située hors des limites Xo» X, eiè — f(^)» si Ton avait £d = Xo» ou ic = X
Je terminerai cet article en observant que Ton déduirait immédiatement la formule (i) de l'équation identique
('') Tr Tf •
dans laquelle % = ^ (p,r) + v/m x(p*^) • ^> 1*0Q intégrait les deux membres de cette équation par rapport lî Ip variable p entre les limites p=p^, pr=zP, et par rapport à la variable r entre les limites r = ro» r=:B, Alors » pour déterminer ^, il suffirait de remplacer chaque intégrale relative à r par sa valeur principale , et de recourir à la théorie des intégrales singulières. Au reste , les applications que nous avons faites ci dessus de la fonnulc (]) , n^exig^nt pas que l'on calcule la valeur de A , puisqu'elles se rapportent au cas dans lequel on a simplement à = o.
