DE LA DIFFÉRENCIATION SOUS LE SIGNE
Soit /{xpà) une fonction quelconque de x et de a.' Soient d'ailleurs Xo,X deux valeurs réelles de la variable x. Si Ton pose
j/{^» a) rfoî = -4 ,
on en conclura généralement , à Taide de la différenciation sous le signe / »
n désignant un nombre entier quelconque. Néanmoins, si la fonction * f{x,a) devient infinie pour une valeur de x renfermée entre les limites Xo # 2[ des intégrales comprises dans les formules (i) et (2) » et si, afin.de lever toute incertitude sur Tévaluation de ces intégrales, qui seront le plus souvent indéterminées, on réduit chacune d'elles à sa valeur principale, l'équation (2) pourra devenir inexacte. Mais, pour trouver la cause de cette inexactitude', et fournir les moyens d'y remédier, il suffira , comme nous l'avons observé dans le 1 9. * Cahier du Journal de l'École royale polytechnique , de substituer à l'intégrale
J^fi^la)
dx
la somme dont la valeur principale est la limite. Supposons , pour fixer les idées ,
a désignant une quantité positiva et inférieure à l'unité. Les équationit' (1) et (2) se réduiront aux suivantes
rifL=i.i(,-a).^JLu.=:,(ij:l\,
^ fB-a a ^ .2 \ a I
IL* ANNiB.
/dx I
da'
dont la dernière deviendra inexacte, si Ton prend pour n un nombre impair^ puisqu'alors l'Intégrale comprise dans le premier membre aura une valeur infinie. Mais, pour obtenir la correction que devra subir » dans cette hypothèse » la formule (6) , il suffira de présenter l'équation (5) sous la forme
t (lésigoaot un nombM infiniment petit. Alors , en effectuant n. différenciations relatives à la quantité a, on trouvera
da' On aura donc généralement
J„ — ^î^^^=" dJ +'-'-s-("-')j(-7)'-(Tr)1'
pourvu que l'on réduise l'intégrale
h sa valeur principale. Si, dans la formule (9) , on attribDC ao nombre entier n 00c valeur paire , on retrouvera précisément l'équation (6). Mais , si l'on prend pour n un nombre impair , la même formula donnera
ce qui est exact.
( i«7 ) Supposons encore
j'o • y dé^igoant deux fonctions de la variable x; s^ 9 Z deux fonctions des variables X, y; etc....; et F(a;,j,7,...) une fonction homogène de x, y, z,,..
dont le degré soit inférieur d'une unité au nombre m des variables x, y, z,
Concevons d'ailleurs que le système des valeurs
(i5) x = rt, j==zb, z=:c, etc....
soit un de ceux que les variables x, y» z , .,. peuvent prendre en demeurant comprises entre les limites
(i4) x = Xo^ x = X; y=:y^, y=Y; z = »« . c = Z; etc..
Dans celte hypothèse, l'équation (i) , réduite à la forme
(là) A= 1 r r .. f(^.y,^..-) — ^...rfsrf /
J ,J , J , F(x-«,jr-*,,-c,...) /
•*'0 jo *o
pourra s'écrire comme il suit
Soit meintenant A la différence entre les deux valeurs que prend l'intégrale (12), quand on y pose successivement x=^a^9 ^ x^=^a — c. En différenciant l'équation (16) par rapport à la quantité a, et faisant , pour abréger ,
on trouvera
dA
da
r,yyy'r^^^'''y''''-^'''^'^^'^^s!LtfJJu''^
( >«8) On aura donc
dA pX, pY pz dp
pourvu que Ton réduise l'intégrale multiple
pX pY pz dP
X pY nz dP «o«^ y© ^ «o
à sa valeur principale.
Il ne reste plus qu'à déterminer la valeur de la différence représentée par A . Or , soit S un nombre infiniment petit qui varie avec < , et admettons que , ^ étant considéré comme un infiniment petit du premier ordre , f soit d'un ordre phis élevé. Le rapport
s'évanouira en même temps que ê. Soient d'ailleurs f^, W des quantités qui ne soient pas toutes comprises entre les limites — i » -j^ i. Comme l'expression
deviendra rigoureusement nulle, si Ton suppose i = o; elle sera sensiblement nulle, dès que l'on prendra pour i une quantité infiniment petite d'un ordre su(&ammeni élevé : et par conséquent on pourra établir entre les deux facteurs <^ et t du produit
une relation telle que l'expression
u/A f(tf +•,/,«,...) f(fl-«,:r»^»-0.
s'évanouisse à très-peu près pour toutes les valeurs de y — b , z — c, ... non comprises entre les deux limites — S, 4~^* Cette condition étant supposée remplie, il est clair que la quantité à différera très-peu 4« l'intégrale singulière
(25) r*^* r*^ À J-^"**'!^'"""\ — f(«-'>y>^>»0 j ... rf,rf
( "9 ) Donc, si Ton fait pour plus de Commodité
(«6) yz=z b-^tv , z = c-^iw ,
et si l'on observe que la fonctioa homogène F(x, j, ^« . • • •) » étant par hypothèse du degré tn — i , vérifie l'équation
{^7) F(±:t, it, «tp, .•.) = f"'-"»F(±i f,t>, tp,...),
on Irourera sans ejrreur sensible
F(i,©,f»,...) F(-i,t,tF,.'0
En réduisant « k zéro dans la formule qui précède, et en faisant, pour abréger,
(îiQ) A= / / ... J-=n ; -^r, r-},,.dwdv,
. J ^^J .^ \ n^y^»^^-') F(-i,t,tp,...) I
00 en conclura
Par suite , Téquation (ao) donnera
(5i) — : — = III ...-;— tlx^y^z, ...).. .dzdydx — A;f(a,6, c, ...) .
da •/ opo *' yo «^ *o /ifl ^ "
Si la fonction P était déterminée, non par la formule (17) , mais par ceile-ct
l, Itp -9 désignant des quantités constantes, alors, en posant •
(33) jr=6 + -r-*v» « = c-f-— «w, etc.... ,
et raisonnant toujours de la même manière, on trouverait, k la place des équations (3o) ek (5i)
( '5o) A = |iv ..• kî{a, b,c,*,,) y
—j—= III ••• ,~- ifa;,j',z, ...)... azoyaa? — fiv ..« Af(a»6yC9 ...).
Si les valeurs x = a, j=6, 2 = c,... cessaient d*étre renfermées entre les li-
miles x = Xo 9 a? = A' ; j = J'© # J= y » » = ^o , z = Z; ... ou , si la fonctiou liomôgène F(x,j<, ?, ...) était d'un degré inférieur à m — i , la différence représentée par A dans les formules précédentes disparaîtrait ou s*évanouirail; et Ton aurait simplement
(ta
da
Si, au contraire, la fonctibn homogène F(a3«j, ^, ...) était d'un degré supérieur à m — 1 , la quantité A deviendrait généralement infinie en même temps que Tinlégrale (s5) ; et par conséquent l'équation ( 1 9) donnerait » pour des valeurs de a , 6 , c. . renfermées enlre les limites a: = a?o t a? = -^ ; y = Jo » J^=ï^; « = ^0» z^=Z ;
// / ...— — ({x,y,z,...)...dzdydx:=:dcoQ «o «^ yo *^ 'o "û
Nous observerons encore que, si l'on différencie la valeur de A déterminée |>ar l'équntion (iG) , non plus, par rapport à la quantité a, mais par rapport à Tune des quantités b , c ,... on trouvera simplement , et quel que soit le degré de la fonclion homogène ¥{Xfy, r, ...) *
db dA
db
iA p^ r^ C^ ^^ c, K J J ^
-—= I I I ... ':r't{x,y,t, ...)... dzdydx,
de J xo J vo ^ «o de ^ ^
ClCt • • • • f
pourvu que , dans l'évaluation des seconds membres des formules (38) , chacune des inlégrales relatives à x soit réduile à sa valeur principale.
Pour montrer une application des principes que nous venons d'établir , supposons
et de plus
^ dS „ dS ^ dS
(Lo) A = -T-, Bzzz—', 6=—-, etc.,
^^ ' da do de
m désignant toujours le nombre dos rariables x, y, t , .... et \, \il, v , .... des quantités constantes. Si l'on fait , pour abréger ,
on aura
X nY nz
nx nr nz
(42) 5= I I f .,>Rt{x,YfZ,...).^^dzdrdx;
^^ 'o ^ yo •- *o
ei, coiDOïè l'expression
(43) (as'+j' + ïM*
est une fonction homogène du degré m — 2 , on tirera des formules (36) et (38)
dS px rr /*z dR
y* dS nx nY nz dR
eiC* ■ • • a
On trouvera d'ailleurs
/ dR m^^ x^a
da
dR m-a y-b
db ft
rf/l m-a z-c
de -t^ L » ■ • 1 \m »
et , comme rexpre«8ion
sera une tbûcliôn homogène du degré m — i , on aura encore , en vertu des formules (35) et (38) .
=: / / / ••• -; — f(a5,j<,«,,..)...rf«rfyda5-^ftv,.,4f(a,6,c,...). J »o«^ y» J *• "û*
de mj x^u y,
eirC* • • t y
pourvu que , dans les seconds membres des équations (47) » on remplace chaque intégrale relative à as par sa valeur principale. Ajoutons que la constante k sera déterminée par la formule (ag) , dans laquelle on devra substituer à F(a9, ^, s» • . . ) l'expression (46). On aura donc
f^ ,..dwdv
00»/ -00 (i+«*+tP' + ..0~
(l+«*+tP' + ..-)
Si maintenant on observe qu'on a , pour des valeurs positives de n et de l ,
et par suit
^ — = — — § $ e ds
on tirera de l'équation (49)
lr(— ) •/-«•/ .«0 •/ 0 pù)8^ en ajanl égard à la formule
on Iroavera défioitiveineDt
En d'aatreft termes , on aura , pour des râleurs paires du nombre entier m , (55) k = .-.2tzÉd^,
et» pour des valeurs impaires de m ,
(5€) ifc= ,
GonceYons maintenant que Ton différencie la première des équations (45) par rappovt k la quantité a , la seconde par rapport à fr , la troisième par rapport k e , etc. puis, qu!on ajoute ces mêmes équations ainsi différenciées» après les avoir respectivement multipliées par les facteurs X', ft*» v\ etc.... On trouvera
Cela posé , on tirera des équations (47) et (54)
(58) ^^77 + f*^7r + '' -7- + -= —rti — ^/*^.-f(û.*»«»-)*
aa, ao de y ( \
puis on en conclura » en ayant égard aux formules (4o») >
U.^Aififis. ' f **
d*S , d*S , d*S , a(in*a)ir . .
. l .. « l « l m Il a II—
En conséquence, la yalear de S , déterminée par la formule (Sg}, yérifiera, pour des yaleurs paires de m , l'équation aux différences partielles
et j pour des râleurs impaires de m, Téquation
Les équations (6o) et (6i) supposent» comme la première des formules (47)» que les valeurs x^za, y=:b , z = o ,... sont renfermées entre les limites des intégrations indiquées dans la formule (Sg). Si le contraface arrivait, il faudrait à la première des far* mules (47) substituer l'équation
et Ton aurait par suite
rfa» ' "^ rf6« • rfc
n ne sera pas inutHe de remarquer que Tune des équations (Sg) ou (65) serait encore vérifiée , si la valeur de if était donnée , ttod par la formule (S9) ou (4^) > mars par la suivante
(64) 5= r^ f^f^... iQ + B)î{x.j,z.. ..)... dzdjrdx,
•./ «o *^ yo «^ 'o
Q désignant une fonction qui renfermerait, avec x, y, z, les quantités a, 6, c,... et qui serait du premier degré sealefDcal par rapport à diacune de ces quantités. Si Ton supposait en particulier
(65) <?=— 1, et f(9,y,*„..)=^ /(^♦y.»>;-,) ^
( rt«)
on lirerait de réqaation (64) remue à la formule (4 1)
r ^2 if£::i)+(2:d]+(l:5)+...) *-,
pois , 60 prenant m =: d ,
Alon aossi Téf nation (Sg) donnera tandis que l*équation (65) deviendra
Donc la valeur do 5 , déterminée par la formule (67) , vériGe Véquatiôti (68) , lorsque les quantités a , 6 représentent des valeurs de as et de jr comprises entre les limites » = Xo , x = X; y =iy^ , j' = T; et l'équation (69) dans le cas contraire.
Lorsqu'on suppose m = 5 , la valeur de S , donnée par la formule (Sg) » se réduit à
(,o) . 5= f" r r\ ^'^^^ —^dzdyda>. ^
[—jH.jn—i)
Alors aassi Ton tire des formules (54) et (Sg)
(7») X..^+p'.^ + V^^=-4-Vvf(a.M).
tandis que la formule (63) devient
( lie )
On déduit aisément des principes quo nous venons d'exposer une des propriétés les plus remarquables de l^ïntégrale triple qaï sert k la déteraiiaatîon des composantes rectangulaires de l'attraction exercée par une çiasse quelconque M sur un point nialériQl pris au-dedans ou au>dehors de cette niasse. En eDêt , soient a, b, e les coordonoéet rectangublres du point matériel dont il s'agît , m, jr, s celles d'un point quelconque do la masse M , ({se, y, t) la densité de M au point {x,y,s) , et
la dislance respective des deux points {as, y, t) et (a, b,c). Désignons en outre par As, A j, As des accroissements très -petits attribués aux variables x,j, >> par m un élément de luasse renfermé entre six {dans menés parallèlement aux plans coordonnés parles points {t,y, t), (a:^-Aaj, y-^\y, e-J-As]; et supposons ta masse M terminée par deux plans perpendiculaires à l'axe des x, deux surfaces cylindriques perpendiculaires au plan des x, y, et deux surfaces courbes dont les équations soient reflpectivemeot
(75) x = x„, œ = Xî y=zy,, y=Yi z = s,, z = Z.
On aura , sans erreur sensible , V {76). m=:t{x,y,t)àa^yix:
et, si l'on nomme ^ l'attraction qu'exerceraient Tune sur l'autre deux masses représentées par l'unité, e^ placées k l'unité de-distnnce,
(77) — = 7rH*>J''*)'^*'*J"^*
sera la force accélératrice qui mesurera l'attraction exercéo par la molécule m sur ■; le point {a,b,o) placé k la distance r de celle molécule. De plus, comme le rayon vecteur r, mené du point '(a,i,c) au point {x,y,i), formera évidemment , iivec les drmi-axes des coordonnées positives, des angles qui auront pour cosinus les trois rapports
les projections algébriques de la force accéléralrice dont il s*agit sur les mêmes axes se trouveront représentées par les trois produits
([xpy^z)'^x^y ^ZT=z
dm
t{x,y,z)liaMiy^z,
\ — j-î[x,y,z)^xtLytLz:=i^^^ — î{x,y,z)tixtiy^z.
l-^j^f(aJ,jr,2;)AaîAj^Aaj = — -f(a5,jf,«)Aa5AjA«
Donc » si Ton nomme A, B\ C les projections algébriques de la force accélératrice qui mesure l'attraction exercée par la masse M sur le point (a, fr, e) , on aura
la valeur de S étant donnée par la formulé
Or, la valeur précédente de â\ étant celle que fournit Kéquation (70), quand on suppose X = pi = v , vérifiera nécessairement l'une de* équations (72) ou (73), réduites par cette^supposilion aux deux formules
da
db*
d»Sde*
— liit'kr{a,b,c) ,
da
db
de
savoir, la formule (82), si le point [a, b^c) est situé au-dehors de la masse M y et la formule (83) dans le cas contraire. En d'autres termes, on aura^ dans le premier
cas,
dA dB - dC , * */ ê K
da
db
de
' ' ( lI8 )
el 4a DS le lecohd
L'équQtioa (83) était eeonue depuu loog-temps. Quaot & l'équatloD (8t). M. Poisson ra^démoDtrée daos le Bulletin de la Société PhilouiBtiqiiB de décembre iSiSj et M. Ostro- (çradfky a remarqué le premier qu'elle pourait se déduire des principes que j'avais
établis relatÏTemeat it lu différeociation sous le signe / danslei^'cabierdu Journal
de l'École royale polytechnique. - . ^
Tout ce qui a été dit cî-dcssui montre comment on doit modifier la formule (a) , dans le cas où la fonction f{x, a) devient iafinie pour te = a . Il serait également facile de trouver la correction que devrait subir celle formule , si la fonction f{po, a) , ou l'une des fondions dérivées
dA^ya) d'f{^,«) d^fjs.a) .
da •■ dT' ' dT^ ' "'*'•■•
devenait discontinue pour eb =: a , en conservant néanmoins une valeur finie. Supposons , pour fixer les idées ,
c désignant une quantité constante. Dans cette hypothèse, ta fonction dérivée
'leviendra discontinue pour x = a, ea passant bru«quemetit de la valeur — ((a) h \a valeur -f- f (a) . De plus on trouvera généralement
<'t l'un aura en conséquence, i.* pour des valeurs paires de n ,
?." pour des valeurs impaires de n.
d'où il résulte que les dérivées d'ordre impair de /(»»«) , prises par rapport à la quantité a , offrirent toutes , pour x:=^a, une soluthoû de coblîttnîté. Cela posé , si Ton fait
A=fyix,a)dx=f^
C^'VW^
f (cft) dx ,
' et « Ton suppose la valeur de a comprise edtré ie« timites x», X, la formule (3) deyiendra inexacte , dès que l'on aura n > i. Mais, p«ur corriger cette formule . il suffira de recourir aux considérations que nous allons Indiquer.
L'équation (91) peut s'écrire comme il suit
A= C" e'^^-'H(x)dx+ f^t<'-^H{x)dx.
Or, si Ton différencie la formule (ga) plusieurs fois de saîio par rapport à la quantité « . on en tirera :>
Éd.
da
^ Ç"" c^e<''-'^t{x)dx- f^c^e<'-''^î{^)dx'k^'^cV:{a),
da
\ etc^-
On aura donc^
dJ da
c^/(ap-a)»
f (aï) rfx ,
de sorte que la formule (a) sera Tériflée pour n c=: i . Mais , en supposant n > i 00 trouvera %
da"
=/'-fe)"'"^'.(«'^+'
OU , ce qui re?ienl aiî même ,
la valeur de & étant donaée par TéquatioB
A = ac£f(»-0(«)+c»f<"-«>(a) +c«f ("-«(a) + ...],
ilaiu laquelle la «lite
t'arrête, au terme qui renferme l'une des deux fonctions f (a) , f'(a) . Dans le cas particulier ob les fonctions
f(«), f '(«)•, f («),... fW(») c'éranouissent pour a: = a, les valeurs de
da* *
dU
é tf+'J
da> ' da* ' "•• da"*- '
:4iréea de l'équation (gS) , se réduisent à celles que fournirait l'équation (9).
KacBaar^ttsaBaesaBase
ne
