SUR LES FONCTIONS RÉCIPROQUES

Soit X une variable réelle et positÎTe , et f{x) une fonction quelconque de cette ▼ariable. Il résulte des formules (Sg) et (60) [page i9o], données pour la première fois par M. Fourier , que » si l'on suppose

f («) = (•^j ' j] cosi-sr. f{r) dr ,

on aura réciproquement

(3) /'(«) = (-^j 'y[* cosra. ? (r) rfr;

et que, si Ton suppose

on aura réciproquement

f(x)=:| — i' / vOkTOt.it^y^ér .

On voit donc ici se manifester une loi de réciprocité ^ 1.* entré les fonctions f et <f , s.* entre les fonctions f et '^i de telle sorte que chacune des équations (1) et (3) subsiste quand on échange entre elles les fonctions f et ff » ou f et ^, C'est pour cette raison que » dans le Bulletin de la Société philomatique d'août. 1817 , j'ai désigné les fonctions f{x) , r {x) sous le nom de fimetionê réciproques de première eipèee , et les fonctions f{x) , ^ (x) souf le nom de fancHans réeiproqueê de seconde espèce. Ces deux espèces de fonctions peuTent être » ainsi que les foroàules citées de M. Fourier , employées avec avantage dans la solution d'un grand nombre de problèmes , et fouissent de propriétés importantes que je vais rappeler en peu de mots.

D'abord, en différenciant plusieurs fois de suite par rsqiport à jx l'équation (1) , on reconnaît fiicilement que , si

f(xy et f{x) sont deux fonctions réciproques de premier^ espèoe , *

IL* AfiKÉE. 1

'YW

«eront encore deux foiictioDS réciproques de première e«pèce , et qu'il en sera de n des fonctîoni

et

^''Ax) ,

et

etc....

Au contraire

et

'fM,

et

etc....

et

seront dea fonctions réciproques de seconda espèce. On arrirerait ii des conclusionj analogues, en diffârenctant plusieurs fois desuitc, par rapport à x, les deux membres de l'équation (3).

De mtaie, en désignant par k une constante réelle, on reconnaîtra sans peine que, li

sont deux fonctions léciproques, de première espèce, la fonction

f(a)) Costa; aura pour nâoipreque de pretoière espèce

taodia qiM la fooelioo

aura pour réciproque de leGonde eapèce

On peut obserrer encore que , si f{v) 0t' ;; (ai) «ont deuc fonctions réciproques de

première OU de seconde espèce, ^f{^) et ax(^) sei'ciit réciproques de même espèce » a étant une constante prise à volonté.

Lorsqu'on pose

a et fr» désignant deux constantes positives» on tire des équations (iS) delà page ii4

/* rfm) ( ' * )

y"'-'e'~*''cosrx.di'= ■ ^ ^-^ co^jmarctang — > ^

I r'"-'e"""'8mrx.dr= ^ ^ sm <marctaog — î •

(tt*+X»)*'

Or, de ces dernières formules, comparées aux équations (i) et (3) , il résulte évidemmetit que la fonction (5) a pour réciproque de première espèce

(;) ç(x) = ( — 1 i-^cos|marctang — J = (— J ^ — !^— ^ — -^ r ^ ■ r(m),

et pour réciproque de seconde espèce

(8) +(»)=^(-j ^«nJmarctaDg- =M atA ' ^W-

Par suite , en prenant pour b une constante réelle , on ooqclura s^ns peine , des remarques précédemment faites , que la fonction

(9) f{x) =»"-'•— 'ctaboi

a pour réciproque de première espèce

/a\^ [fl-(«+x)v/r.]-'"+[a+(6tx)t/r.]-'".H[a-(t-x)v/r.]-'"4.[a + (6-r)i/r.]-»'

tandis que la fonction

('») /■(x)=«"— e-'"8in6aj

a pour réciproque de seconde espèce

9\} [a-(*+x)V/r,]-'"+[«+(6+x)|/r»]-"-[a-(*-ar)V^r,]-'"-[a+(6-x)vri)]-'"

Dans le cas particolier ofa Ton prend m = i » la fonction (5) , réduite h U forme

a pour réciproque de première espèce

et pour réciproque de seconde espèce

Concevons maintenant que^ dans Téquation (33) de la page io4 du premier volume » on pose successivement

^v^^ désignant Qoe fraction rationnelle. On en tirera , en échangeant entre elle* le» variables te ^t r.

/* f(r) 'xV'. . ^ 'c' Hr)-*'"^'

et

00 TXJ'

m.» %. M>^ tm 00 m/ \ ^ ▼

^FPÔ* ''»-=«'i^A ((F(.r))) ^

OU 9 ce qui revient au même »

/•O ^ ^ rxJTl ,

De plus, <m conclura des formules (i6) et (i8) , combinées entre elles par voie d'additioQ et de soustraction >

( 145) cosra8rfr = ic|/tT o

>-^ ain-rx ar F{r)

fW

rx^Ti

OU , ce qui revient an même.

(iO)

rfr = ir|/!T £.

Or , il résulte évidemment de* éqnaf ions précédeotea que la fonction

a pour réciproque de première etpèce

,(«) = (a«)tv^ 'i

nry^ H- A

tandis que la fonction

a pour réciproque de seconde espèce

GonceT<ms enCn que l'on prenne

L'équatbn (i5) de la page 56 du premier Tolnme donnera

* cosrxifas=f — I

( i46 ) ^ar coniéquent la fonction (lO) ce conloqâ avec u réciproque de premiers ^espèce. Il eu aisé d'en coDclur« que la fonction

(27) , f{x)=:e " cosAa: ,

a pour réciproque de première espèce

Les priocipMUt auge* «oxqueli oq peut employer les foiiQlioiu réciproques, ou les forioules de M. Fourier déjb citées, sont ceux dont qcus allons faire mention.

Premièrement, elles serrent à la délerminstion des intégrales défînits. Ainsi , pat exemple , en prenant pour f{x) la fooctioD (£) , on tirera des équations (9) , (7} et (8)

■ • ■ ■ — i * •• • cosra;<fr=" . «"-'«-

ai/n ar(m) '

puis on conclura des formule* (99) , combinées entre elles par roie d'addition et de soustraction , , . .

A jouloni que , si l'on diffémacie le> rocimilea (ig) , (Jo) og (3 1 ) par rapport iVamia quantités x m m , ou par rapport à toutes les deux, on ep déduira de nouselies équations dignes de remarque. Ainsi , par exemple , un désignant par a un nombre entier quelconque , on trouvera

3r(m) du'

puis j en ayant égard k la formule (a&) de la page 61 du premier volume , on tirera des équations (3o) et (3 1 ) ,

^ (a+rl/rO- r(m) J i-f ^ M

/l(«-ri/r,) rxy^r; ^ g ar = o«

e désignant la constante dont Euler fait menikm à la page 444 de son Calcul différentiel, et dont la valeur approchée est o>577ài6t...

J*ar donné les formules (ag) au commencement de 181 5, dans un Mémoire où elles étaient appliquées à la conversion des différences finies des puissances positives en intégrales définies. On peut / au reste, opérer cette conversion en s'appuyant ou sur la formule (3o)« ou sur une autre qui s'accorde avec elle, et qui a été donnée par M. Laplace.

Lorsque , dans les équations (sg) , on pose m = 1 , on obtient les formules

cosra?--:- — --=î= — «-•', | s»

raw If

(54) / co«ras-;^J27^=^-e-". / wnraj-jr.^;j^ = - e

•^ax

qui ont été données par M. Laptaee , et qui se trouvent comprises l'une et l'autre dans les équations (90).

Les fonctions réciproques peuvent encore servir à transformer les intégrales aux différences finies , et les sommet des séries , quand la loi de leurs termes est connue , en intégrales définies ordinaires. En effet > si l'on pose ^x = k, et si l'on désigne par Xo , X deux valeurs de x teUemeot choisies que la différence X — Xo soit un multiple de A , on aura , en vertu des équations (a) et (4) •

X /'.• /»* sinfrJt-— )-sin(rXo-— ] (55) z /-(«>) = (^) J — i '-L-^ '-^f{r)dr.

asm —

et

«0 cos (rxu - — ) - ces (rX - — ]

2f(x) = (- / -^^ {r)dr.

De même , si l'on représente par z une variable comprise entre les limites — 1

( »48 ) -f- I , et par a une quantité constantei on déduira laos peioede l'équaliuo (>) oa (3) les sommes des séries

(57) f{o), zf{i), z'fi-,). x7(5), etc.... et

(58) f{o) , zf(c.) . s7(«,) ; ,Y(3.) , etc....

On trouvera , par exemple , en considérant la seconde de ces deux séries ,

(39)r{o)+»fW + «'n»«) +•■;== (-7)*/" (» + '«»-»■ + «'cosa»^^-...)H'•)d^ et

Wo)a/'W+«Y{«*) + = (-i-\'y[°(*iin«r + «'»»na«i' + ) + ('-)dr.

On a d'ailleurs , en supposant z* < 1 ,

(i +2COS»r4*>*co8seir-H"') + («sinar4-«»sm»«r + ...)|/.i

~ i-tcotar-taiaar.\/Ti i-ascos«r+s* i~itooifir+t'

et par suite

I +sco8«r 4* *'€<>•'•«»' + •■• =■