i-f)(asin

Dans la même hypothèse , en prenant

anw , r=zis, ou r = + «s#

on tirera des formules (57) et (58) j

(6„ A=r '-^^ .=./>' firr*'-)'.

! (- ï / i—Lf -I ;

( i5s ) paii , en rédaisant « - k zér», <]'{«j) h >|'(o)=:o, et l'intàgrale

(65) ■ r'-iî^L.

à sa valeur principale , c'est-à-drre & zéro , l'on trouvera Héfiaitivetnent nii plus «implemeat

(OS) ^ = ^|i,(„) + ,(^)+,(^)^+.„|.

n« /anff\ f aitU

Faisons maintCDant, pour abréger, ^P • en sorte qu'oD ait

Il est clair (|ae, pour des valeurs dëcroissaDles de ■, les seconds Diembres des fur- □lules 155) et (56) convei^eront vers deux limites équiraleotes ,1a première à la quantité

la seconde & la valeur principale de l'int^ale définie

(S) f'm^^ir^l- r'jW.cclil.ir..

•/ o 4sin' — »/ o

h'mc, la formule (5^) pourra être remplacée par l'équation (45). «* '» formule (53) donnera

(;o) |/-(o)'+A") + f(=>) + = -^^[.^,(o) + f(P) + ,(tfi) + ...|,

fil , ce qui revient- au même ,

Ainsi ^ TéquatioD (71) subsiste entre les fonctions réciproques de première espèce ^ dési- ^ gnées par les lettres /^ et f » toutes les fois que les nombres a et ^ vérifient la formule (67).

Si, dans l'équation (71)9 on remplace la fonction f{x) par le produit

/(a;)cosda9^ ,

0 désignant une constante réelle 9 on devra , en vertu d'une remarque précédemment faite p remplacer en môme temps la fonction <p {x) par la demi-somme

et l'on aura par suite , pour toutes les valeurs de B comprises entre les limites o , fi.

(73) a"| — /•(0)+/*(a)cO8Ôa + /*(aa)c0S

aOa + ...J = -i-^''|T(Ô)+?(p.G)+y(P+0)+ç(ap-Q)+..j

Lorsque, dans les équations (71) et (73), on pose «= 1 , p se réduit à sir, et l'on trouve

^Ao)+r(o+A^)+-=(^^)'|i?(o)+?(î^^)+?(4^)+..-}.

(75) —/'(o)-K/*(i)cosO + /•(») 008 a

ô+- = (^)'|?(ôî+T(a^-^)+?(

•i7r-KG)+ç(47r-ô)+ç(4ir+ô)+.. |

La formule (7^) subsiste seulement pour les valeurs de 0 renfermées entre les limites 0/ sir. Si Ton y remplace l'arc G par l'arc G -j" ^' on en tirera , pour toutes les valeurs de 0 comprises entre les limites — 1^ , +^

Jl-/'(o)-jf(l)<J08G + /'(a)cOSaO-... =-|— j'|«p(7r-9) + (p(tr

Appliquons maintenant les formules que nous venons de trouver h quelques exemples , et d'abord supposons» les fonctions f{x) , f{x) , ^(cc), déterminées par les équations (5) , (7) , (8). Alors on tirera des formules (45) , (71) et (75) , k* en supposant m > i.

\n) { - I sinfmarctang — j

ar c/r t»l — — ■

I cosfmarctang— j cosimarctaog — -j cosf marctang -jpj 1 —f 1 JL-J h...

ar(m)

a * V cosf marctaoe — j cosfmarctaM-^ — ^j cosfmarctang ]

= -4— ri«-''»co89«+a'"~'<~»"*co8aOa+5'"~'#~***co83fla+...> ; «•• en prenant m == 1 , et ayant ^ard k la première de» formoles (4«)

/ a fl*+r» 4-1

air 4ir

aap âTT ait

eT-e~T

+ ... = — {-+c-**C09Ôa+e""'**C0Sada+.

aarr 2air

0 «^ -aoos— T— + « "^

Concevons maintenant que l'on échange entre elles les valeurs de f{x) et de <f (x) , déterminées par les formules (&) et (7) » ou les valeurs de f{x) et de ^{x) déterminées par les formules (5) et (8). Alors on tirera des formules (45) et (73) de nouvelles équations qui se réduiront , pour m = 1 , aux deux suivantes

I t col — ar = «a{ 1 1 — -.i... i

I cosda cosa^ft COsSOa ir ( -âO -a(A-d) -a(6-fO) i

-aft -dï6-0)

VT V "Va 7

aaa -aô aao&

air flYT a a

Les formules (7g) , (8a) et (841) supposent le nombre 0 renfermé entre les limites o

Sir

et ô = — .

Considérons encore le cas où les fonctions f{pi) » ^ (x) se réduisent k la fonction (a5). Faisons d'ailleurs

(85) a»=aa>, p« = a^», û» = aTS Téquation (67) donnera

(86) a^=:irf

puis Ton tirera des formules (45) t (71) , (75) ,

/>" -. J^ ar '( —a" —4a* — oa* >

(87) J^ ^ • col-r^rfr = (air)'?e +(î +g "^ +...>^

eu plus simplement

I « cot(ïr.ar=ir <« +« +e +•••/;

cl de plus

(89) a'(-e +.. +e -^ +...J==fc.J 4.e +e ^ +« * +...J,

(90) a'?-4-c crss^rr + c (:os4«r +.. J = -6 Je -|-e +« +••[•

La dernière équation suppose t < 6.

J'ai signalé les formules (71) et (8g) avec la méthode par laquelle, je viens de les établir» dans le Bulletin de la Société philomathique d'août 1817» et)'ai déreloppé cette méthode dans les Leçons données en 1817 au collège de France. J*ai remarqué d'ailleurs, dans le Bulletin dont il s'agit , qu'on pouvait déduire immédiatement de la formule (71) la sommation des séries qu'Enler a traitées dans son Introduction à l'Analyse des ioGniment petits; et de plusieurs autres qui renferment les premières. Telles sont , par exemple, les séries (81) , (8â) , (84) , ctc ! La formule (89) parut digne d'attention

h l'auteur de la mécanique céleste , qui me dit l'avoir vérifiée par une méthode particulière , dans le cas oîi l'un des nombres - a et b est très-petit. Enfin , dans le ig."* Cahier du Journal de l'Ecole polytechnique , et dans un Mémoire sur le calcul numérique de^ intégrales définies , M. Poisson a reproduit les formules (71) et (89) avec leurs principales conséquences, en s'appuyant aussi, pour établir la formule (71) > sur la décomposition d'une intégrale définie en intégrales singulières, c'est-à-dire, en intégrales dont chacune est prise entre des limites infiniment rapprochées de la variable. De plus, il a donné, dans le Mémoire que je viens de citer, la formule (90) , en la déduisant de la formule (71).

On pourrait encore se servir des fonctions réciproques, ou des formules de M. Fourier, pour l'intégration des équations aux différences partielles, comme on le fait dans la

théorie delà chaleur, dans la théorie des ondes, etc Mais, ainsi que je l'ai déjà

observé, la méthode d'intégration devient plus facile, lorsqu'aux formules dont il s'agit on substitue l'équation (5i) de la page 1 1^. C'est ce que je montrerai plus en détail dao^ un autre article.