SUR L'ANALOGIE DES PUISSANCES ET DES DIFFÉRENCES

S 1.*' Cofisidiratians géniraUSi

On a reconnu depuis long-temps Tanalogie qui existe entre les puissances el les différences des divers ordres finies ou infiniment petites. En suivant cette analogie, et employant une seule caractéristique placée devant une fonction de ce, pour indiquer la fonction dérivée^ puis, se servant de caractéristiques différentes a, p, y^... placées devant une fonction u de plusieurs variables x, jr, z^., pour indiquer les dérivées de ' u relatives à ces diverses variables » on se trouve naturellement conduit & représenter une fonction linéaire de u et de ses dérivées successives d'un ordre égal ou inférieur à m , par un produit de la forme

/(«, p, 7»«f) désignant une fonction entière dû degré m. Ea étendant cette notation au cas où le degré m devient infini , M. Brisson est parvenu à exprimer les intégrales des équations linéaires h coefficients constants, avec ou sans dernier terme variable, par des formules symboliques* qui méritent d^étre remarquées, et qu^îl a exposées dans deux Mémoires portant les dates de mai 1821 et de novembre 1823. Le même auteur observe que, si la fonction y*(<<, P» 7y*) n*est pas développable ' en série ordonnée suivant les puissances ascendantes, entières et positives de «, p, y^ ••• » on pourra dé-* velopper cette fonction d*une autre manière, par exemple, en une série dont les différents termes seront proportionnels aux puissances négatives de «^ p, 7,... ; et, pour fixer « dans ce dernier cas, le sens de la notation (1), il propose de considérer, ainsi qu'on Tavait déjà fait , les caractéristiques affectées d'exposants négatifs comme indiquant des dérivées d'ordres négatifs, c'est-à-dire des intégrales des divers. ordres* Enfin,

* Ponr empêcher qne l'expreuion (i) ne paUie être confondue arec on ▼éritable produit , H. Briiioo renfeme «aire deax crochets , l'an lapériear, l'antie inférienr, la fonction /* (o^ p, 7, • •.) qa'U place après U lettre u , aiofi qa*U iiiit

dans le Hémoiro de 1823 , H. Brisson a indiqué la transformation de Texpression (i]en î^égri^ défink» ptr le ftkéorêaie de ']^* Fourier coo^me on dernier «aoyeo prop \ faire connaître la valeur de Texpression dont il s'agit. Celte transformation» appliquée aux formules symboliques qui représentent les intégrale» des équations linéaires aux différences partielles , reproduit les formules qtt*oa « obtenues dans les problêmes des ondes 9 de la chaleur , des plaques vibrantes » elc*..«> et celles que j'ai données dans le ig.* cahier du Journal de TÉcoIo Royale Polytechnique. De plus^ lorsque la fonction f[oL,^9lf***) cesse d'être entière » il est aisé de voir, 1.^ qu'on ne saurait établir la convergence des séries, dans lesquelles l'expression (i)peut être développée, indépendamment de la valcur-attribuée à la fonction u; s.* q^ue , parmi les divers développements, l^s uns se composent de termes dont les valeurs sont complètement déterminées, et les autres de termes qui renferment des constantes arbitraires 1^ d'où il résulte que ces Aèvelpppements fournissent , pour l'expression (1), diverses valeurs qui n'ont pas toutes le même de^ré de généralité. On doit même observer que lés développements qui ont pour termes successifs des Intégrales des divers ordres , renferment une infinité de constantes arbitraires. IL suit de ces réflexions que l'usage dôs développements en séries laisse subsister beaucoup d'incertitude sur le sens de la notation (1), et sur le degré de généralité qu'elle comporte , dans le cas oh la fonction /^(a, P» 7» •• •) cesse d'être entière, et devient y par exemple, irrationnelle. Cet inconvénient paraît s'opposer à ce qu'on adopte généralement la notation (1), on y considérant «,P,7, ••• comme de véritatables caractéristiques ji et attribuant une valeur q^uelconque à la fonction f{<t, p^Tt»...). Toutefois il m'a semblé qu'on pouvait procurer au calcul infinitésimal , aipsi qu'au calcu\ def différences finies, la plupart des avantages que cette notation présente » et même simplifier encore les formules relatives à l'intégration des équ^ions linéaires , en substituant à la notation (1) d'autres notations du même genre., établies df9 manière à recevoir, dans tous les cas, une interprétation claire et précise. Tel es( l'objet que je me suis proposé dans plusieurs paragraphes des Mémoires présentés à l'Académie Royale des Sciei^ccs le 27 décembre 1824» ^^ I^ ^7 janvier 189 5. Parmi les diverses notations que l'on peut employer pour arriver à ce but , celles que je vais indiq^uer me paraissent devoir être adoptées dé préférence*

$ s. Sut les différcnceê finies ou infiniment petites des fonctions (Cune seule variaiUe^

Soient yz=f{x) une fonction de la variable indépendante x, à!c=zh ia dîtférence finie de celte même variable , et n un nombre entier quefconquo. Je désignerai

dy pér By 00, i)tj^-. laftmcl»0Hri4fW^. d^^^'^^^^ ^ . •

par ^y ou â,^ ^tr^U différence finie /(«TH-^») /^/(a?) ,

par /)"7 ou »,"y--Ja^fiBi»<rtîott4(Sriféô^rû**^re», »wîr, ^

par aS» bu- A/tK.; ladiOârj^iieiefiiiîe, du ?lP^0B4rt,i & la fonction y.

Soient de plus F(«) , f (a);, F(a, ^ , f («,p) de» fonctîom'eBiîèWÉrdei^vaiiîtfWw» i«r|i et ^ un coeflBcîent constant. Je représentera! par les noIalioD»

(2) n^» Fc%.' ^(fi.A)^

les fonctions linéaii^ de y^ Dy^ Ay» D*y ,. tDy^ à^y^** auxquelleft on* parvient^ quand, après avoir développé les expressions (2) en termes de la forme

on considéra £^ tk i^ oobmbq 4tt vériiUibliB» cara«tér

(4) ' .=i^/W, »-4g}/VK. ,=-^/(«0.'

les valeurs de a , t> , iv » ••• propres à vérifier les équations

(5) F(Z))ct=f(Z))./(«), F(A)t»=f(À)./(«), F(D.A)w = f(D,A)./(,).,'

Cela posé y on établira aisément les formules

¥{D) [f (0) ./(«)] = iT{D) . t(B]-]f{x) = f (Z)) [F(Z)) . /(a,)].,

(6) [ F(A^Iir(A)'/(f»)] = tr(A).£(A)]/(«)=£(A)tF(A)./^)].

F(0, A) [f (0,4). /(»)] = [?(DvA);f(Z»',â)f]/(«) =:f(B^)CFt»*A)./(aO] ; '

et, comme, en attribuant ao coefficieai. r. iipe T^eur constante, soit réelle, witt imaginaire , on aara évidemment

on trouvera encore

(u) F(B).«" = <"ÏW . F{l)<"=."r(<"-i), F(i>,i)."=«"F(r,."-l),

- F(D) [."/Wl = '"'{' + «)/(») .

Ajoaloni qu'il est facile de transformer cbacuoe des expressions' (s) en jnl^ale double. En efièt, on a généralement [roj. Téquation (s) dej'artide précédent]

Or, OD tire de la formule (i5) combinée arec lea éqnsUons (7) et (8)

(■4) F(4)/w = s.fjyc-'yy^-Ti.'-^-- ,)./(») d.i^ .

F(0.4)/(a>) = JL/J/y(-»'*^'F(.^:T, .'"'"■ - .)./(>) d.J..

Ainùi chacune des eipreiùoiu (9) peut être conrertie en une iot^rale double da U

forme

f[«) détigaant une foDction eoliirg de n et de l'expoDenlietlo f »V-\

Dana le ca« ob f («) derient une fonction quelconque , l'intégrale (1 5} continuo k jouir de propriétés importacîes , dont nous ferons un fréquent usage. Nous allons en exposer ici quelques-unes , et , poor abr^er , oous désigneront l'inlégrale dont II s'agit par la notation

en sorte qu'on aura identiquement

(■7) »W-/W=^/^/"/t'-')*^',M./(»)^.ii.

Cela posé , soit a une constante réelle. Si , d«u l'éqnation (17) , on rempUce /(^ par «"*V-» ^ {,Q trooTera '

t,A\ /\ ^«*V^> » T' f^ «(«-X)V:Î a\\/Tt ... .

(lo) f(«).« "^ =-r- / 1. « ^ - *^ e *^ f<«)rfctdX.

D'ailleurs, si, dans la formule (i5), on échange entre elles les variables a et^ X, et ii Ton j remplace en même temps œ par a, on en tirera

puis, en posant s . '

On aura donc définitivement ' i* ' >

(19) ?w« .*^ ïp« *^ •?(«).

Soient maintenant cr, 6, c, ..••.. plusieurs constantes réelles, ^{o)$ x(^) ( fonctions quelconques de la variâlfle " or,"., et^-^* B^^JCr^,*.. des ^coefficients; réeH oin imaginaires. On tirera immédiatement de 1^6quation (19)

(ao) { V . . . . . j , , .

= As "^'^ , f^l^Bc"''^'' ,,.(6).+ C.ry^, (p) ^. ,,. , ,^ «l par mte ■

(♦•) tW-s« "^ z(«) = ï». "^ .t(«)z(«h ■' .

le signe- z indiqaaut une somme de termes semblables aa produit

On t^uvera de m^e , en désignant par r^ , H Ae^x• valeurs distinctes de la qui^itiKé r supposée réelle , et par Ar un élément de la di^i^cnce A — r. ,

> i " ••, Ii :: .

^•J Ji .-^i'^r.!..-! . . ''( ii(

le signe 2 s*étendant à tous les éléments de * — r, ; puis on en oondura , 1 .•' en. faisantdécrôitre ceaélémettls'«tt-délà4e tpiiitt U^^^^ (' j 1 i) . r - '

f^^" en prenant r,, ;;;;: -^ po , ^;;;7aQ»

Gomme on tire d^ailleurs de Téquation (17) ^ en remplaçant ta fonction f par la fone^ tion X* ^1^ lettre « par la lettre r dans le second membre ,

(tS) ^{.).f{s}-^J-r f /^"'^^•ic(r)/().)4lrrf>,

on tronyera , en ayant égard à la formule' (s4) ^

on plus simplement "

(•7) " ■ ?*W[xW/(3l] = [f W.xW]/(5).

De même» eommè on aura, éti désiglnant par tt une coostantef réelle , (.8) c'''^\{.)f(^\^^f^Sl/^'^'^\'^^^^^

on trourera encore

ou plus simplement

(5o) fWt"^*^ x(«)/(5)3 = e"^*^'[T(« + «)xW3/(ï).

JLes formules (97) et (3o) eKprÏKMiitriileMb^tt^riâldi MiawqwbliB» 4»Jk ii>iuMM# 4«

m représentée par la notation (i6). Dans le cas particulier oix la fonction f est entière» il sdiBrait, pour établir ces mêmes propriétés» de combiner Icfs premières des formules (6) et (ta) avec la première des équations (i4)* En effet, lorsqu'on fait usage de k notation (16) > les équations (i4) ^ réduisent à

F(D)/(x)=F(«v/ïr)/(î), F(A)/(«) = F(«*"y^»- i)/(x) ,

Par suite , les équations (6) et (is) donneront

Or, si Ton pose

F(«i/:r)=f(«). f(«v/n")=xW. r=a|/:r.

7 («) » X (^) seront des fonctions entières de a; et la première des formules (Sa) se réduira immédiatement à l'équation (27) , tandis que la première des formules (33) » réduite à l'équation (3o) , sobsistera non-seulooiçnt.pour des râleurs réelles, mais encore pour des râleurs imaginaires de la constante a.,.

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