II.* AKHitR
la
^ ^. Sur les diffirencci finies ou tnfintment petius des fancUws de glusiturs variables
inMpcndafUcs.
11 681 facile de voir comment les notations admises dans le paragraphe précédent peuvent être étendues au cas où Vo^ con«idtee.u»Q.i!QOi3lio%dtoplusieurs yarîables indépendantes Xp yp z,».. t[ En effet, soient
une semblable fonction,
àxzssh^ àyz^J;^ ^«^s./^....
les différences^ (ipiwJes iwi^bles a;, j, ^i^ •••^ti eti m» on nombre entier quelconque. En Tortu des conventions ci-dessus adoptées [pages 161 et 16s], on devra évidemment employer ks cac^ctérisliqueSr
Ds, D,y Di,...Dt; Ds^f D^\ DA ••• Atf ; «to... AA 9)^ OA ••-X)^»
et
Aiff V> A,, ...Aif, àx^, Lj*y Ab%.». d|^; etc.. Ax% A,», A.», ... A|»,
placées devant la fonction u pour indi.quer les dérivées partielles et les dii
finies de ti , du premier.,vdu'iecand« ^ • èxt fn"*^ ordre , ptieev par rapport aux diverses
variables indépendantes. Oe.i{luSj^si L'op désigne par
des fonctions entières des variables a, p» y, ••• 0; X, p, y , ••• r , par A un coefficient constant, et par m , n ... p, 9 ••. des nombres entiers quelconqiitft, on diMrra* se servir des expressions
(a) F(I>x9 I>7|I>s> •••PoAjryA,^ A.,. .. ^0^
et '
^ ^ F(D„Z>,,I>.,...l>i,Ai,A„A.,...A|)
pour indiquer, i.* la fonction linéaire de u et de ses dérivées ou différences partielles finies ou infiniment petites mêlées ou non mêlées, à laquelle on parvient quand ^aprè»^ avoir développé l'expression (a) en termes de la forme
on cônitdère Z),"*, Dj^,*,* l^J^t Ay.«« comme de viritablet caractériitiqvei , s«^ la Tâleor générale de v propre k yérifier l'équation aox différences mêlées et partielles
(5) F(0,y0^»D»9...DoÀ«9A,,À«9...Ac)9 = f(2)jr|l>/>Ds9...Do^'>À7>^O«-^<)<<*
Enfin , si Ton désigne par (6)
une fonction quelconque des Tariables « » p f 7 • • • 0 » on defra employer là HttaUtm
?(«iP>r>—^)/t«*y>«f-«)
danstaqoeMe la lettre « se rapporte à la variaMe x , la lettre p à la yariable y^ etc..» pour r^résenter l'intégrale multiple
•^ M» «/ • Sir. Sir av
en sorte qu'on aura identiquement
?(«*Pf«^)/(»f7»*'>')^^
Cela posé, en généralisant les formules (6)., (11) et (is) dû paragraphe a, et attribuant aux coefficients r, s, ..,. des valeurs constantes réelles ou imaginaires, on établira fiieilement les équations
= [f(I>xfD,,...DoAx,A„*„A/).F(D,,I>„..,2)«,A„A^,...Ai)]/(«,y,f,...0-
• F|r + /)„# + 2^,, ...e (1-f.Ai) — i,e (i4.A;^y— I,... |/(aj,j...y.
De plus , Gomoie on aifra , en fcrtu de Téquation (7) de l^ariiele précédeat ^
•^ — • •/ —• "^ ' ' air air air
on troarera encore
(»4) F(D,^D„... A,^A,,...)/(a5,jr,...) =
les intégrations étant tontes effectnées entre les limites — 00 , + ^ « P"^* ^^ ^^^^ de la formule (i4} » en faisant usage de la notation (7) ,
(i5) ¥\D.,DJ,..^r.^,...)f(x,y^.)=Y{ay^^,Py/r,,..t^^
Soient maintenant a,b^o,».. des constantes réelles, et <p(a»p» 7j**0 x("*P»7*"0 des fonctions quelconques des yariajl^les , a > p». 7, .... Supposons d'ailleurs que Ton continue de représenter par la lettre F une fonction entière» et par r,ê, ••.. Aes coefficients' constants» soit réels « soit îitegiaaires. En généralisant les formules (19)» (97) , (3o) et (33) du paragraphe a» on établira sans peine les équations
(16) <p(a>pj7>-0^ =* ?K*f *>•••>>
(17) fCa,p,7^..oCx(«>P>75--0/(î"^y>*i*-03 = [i'(«»P»7.»--OxW>7»--00/(«>7»'»-'-^
( '«9 ) Je lerminerai cet article en indiquant le parti qu'on peut tirer de plusieurs des notations et formules ci -dessus établies pour Tintégration des équations linéaires à coei&cientsconstants»
S 4- Sftt Cemptoi des caraetérUtiqueB D el A dam Cintigraiion des équations Unéairea, aux différences finies pu infinkneht peUies, méUes ou non mêlées^ et à coefficients constants^
Les principes ci- dessus établis relatiyement aux caractéristiques D et A , fournissent le moyen de représenter les intégrales des équations linéaires à coefficients constants par des formules symboliques du genre de celles que M. Brisson a obtenues. On peut en effet y parrenir dani un grand nombre de cas à L*aide,4e deux méthodes dijDférentes, déjk employées par ce géomètM » el; que je vais reproduire areo quelques modifications..
La première méthode est foiidéç sur la remarque suivais te. Soit
(ij
< P(l),,D„...Do^*>^.rf. Ai)tt = /Ca?,jr,aj...f)
une équation linéaire à coefficients constants et avec un dernier terme variable entre la Tariable principale u et les rariables indépendantes œ, j/... i» Si la fonction entière désignée par F peut élre décomposée en deux fSusteurs de même nature qu'elle , si Ton a » par exemple »
(a) F(Dxv,Dj^,-l)^f,A,,Aj.,..AO = F,(D>,Djr,..l)MAx,Aj.,..AO.F.(Dx,l)j.,..l)/A,,Ar,..A,),
«n pourra évidetninent aobsUtuer à l'équation (i) le tyttème des deux équations linéaires
F,(Dx,D,,...D^ryA„A„...At)t)=fi:/(a;,7,...f)
qui seront Tune et l'autre d'un ordre moins élevé. SI les fonctions entières , désignéespar F, , F» , sont eUes-méïnes décomposables en &cteurs ,. l'intégration de la formule ( 1 ) , ou ^ ce qui revient au même , l'intégration des formules (3) , (4) pourra être encore réduite à celle d'autres formules du même genre» mais d'un ordre inférieur. On arriverait d'ailleurs directement k la même conclusion , en observant que , si la fonction F esb décomposable en plusieurs fonctions entières désignées par F,, F,,.., F„,., F„, la» fecmule (i ), pourra élre remplacée par le système des équations lû^iros^
i >70 ) ( f<(D*,D„...lï«,A*,4j-,...A«)a„,e=/(a;,7,...r)
{5) \ etc.. f
qui devront être mtëgrées dans Tordre ob eUes se présentent icL
Cela posé , H est ditfr qm^ rf ta fonction F» étant du degré n , on peot la décomposer en fonctions da prenaiier deçré, rintégratfon de lalbrmde^i^ pourra être réduite k l'intégration de n é<{uations linéaires du premier ordre. Bonc alors, on sopposant connues les intégrales générales des équations fioérfres dû'preiQcder orlro^ on par- TÎendra sans prfne k l'intégrale générale de l'éqoaliou (i).
Pour montrer le parti qu'on peut tirer de l'obserratfon précédente , conMérons d'à* bord une équation différentielle linéaire et k coefficients constants » entre la yariaUa x et une fonction y de c$tte ¥i%riable^ Si Téquatipu^onnén est 4a premier ordre » alors* en désignant par ja un coefficient constant , on pourra la présenter sons Tune des fprmes
«t son int^ale générale sera
ou ^ ce qui revient au pié^e ^
(9) y=*"\fe-"f{»)dx+e^,
jx. désignant une valeur particulière de la yariablo ». Nais» «i TéquatioiL proposée est dé Tordre n et de la forme
alors, en faisant^ ppqr abréger,
(i i) F(f) = aor" 4- aar»--« + n.r— » + .., + an^.r -|- «« ,
^ ( »7» ) et désignant par r^, r,,...rn Ia> valëan réelle» ou ima^airet de r propres à vé^ rifier Téqnation
on pourra subslitaer à là fônnriô (H o)^ Tune qatlcxittifve' dfes émt sUi vantes^
(i4) (fl — r.)(A^»iJ...(/)— r!^)-=.:^..
Or, pour inlégrar k datnière,. il âoffit de poser suecesaiTeméiit
(|5) ^ ete.***
ai il eat dàir qoe les valeurs de jn^x $ yn^% 9 »«• J^i » y $■ propres K Térîfièr Tes équa>- Uons (i5) » s'obtiendront aussi facilement que la valeor de y propre* k véiijkr la iSsi^* mnle (6).
Il esr iinportaiit d'^bserremitte'Iéa'Talëuls der y* yt$ y^,**- déddtea dès équatioi»^ (i5) renfermeront en général des intégrales multiples. Mais on pourra toujours remplacer ces intégrales multiples par des intégrales simples ; et , pour 7 parvenir ; il siiArtt^ de* lecourir à Tintégration. par parties» c'esUà-dire , à la ibrnmle
(16) fudv = uv-~ jvdu^
Gomme on aura
«D ]M>urra tabttitaer k l'équation (17) le systime-des deux formolet
(19) j(2)--l) » = /(«), . (D + Oj^ = .;
im , en d'autres termes , le système des deux équations
Uo)
ds dm
lu»
Or on tirera de ces dernières
«t par suite
Si maintenant on reut décomposer en ioj^grales simples riotégraie double que renferma la Taleur précédente de j« il suffira de poser dans Péquation (16)
SI = / ô*^'/{x) dxt dv=^ô^'dx; Alors en effet on trouvera
J^e*' (y «"•'/(«) <*«) dx = — e*' fc-'fipD) dx -- —Ccf^x) dx ; et Ton en conclura
oUj ce qui revient au même»
(.4) j=-^«'jy]^e-/(«)«<«+c|— î-«-'|/«'/(«)<to+e'j .
C • C détigoant deux constante» ariiitrairet , et «« une valeur particulière de k
variable x.
