Exemple. Soit donnée l'équation différentielle

ou

Comme od aura

ft~* : t

on pourra subsUtuer b l'équation («5) le système des deux fonnalei ou, en d'autres termes, le système des deux ëquaUoos

Or on tirera de ces dernières . en désignant par © , ©' deux constantes arbitraires .

'rfa + G' »

pois, en remetUnt dans la formule (5o) , à la place du produit tt— , sa valeur tiréa de la formule (99) , * .

j r= «' e» + 0' •hf'f't'-f{<B) dx'

Comme 00 trouve d'ailleurs, en intégrant par parties.

on pourra encore remplacer l'équation (3 1 ) par la sniranle

jr=e- je* + G' +^/^(a — *)«-/(«) rf*j ,

Cette dernier^ s'accorde arec la formule (17) de la page «o4 du premier rplume. ReTonoDS à réquation (lo). Si Ton 7 pose n = s » elle deriendra

rf«» • dm

ot son intégrale générale , fooniie pu la nétbode que nous venons d'exposer , sera

(55) y = i- /-/.^''•'•'-(/e-'' VH rfo:) rf« .

r, , ?*, désignant les racines de Téquation algébrique

(36) aor*-f-asr4-^s = o.

De plus, & l'aide de l'intégration par parties, la formule (35) pourra être réduite h

OU , ce qui revient au même » à

On doit seulement excq>ter le cas où l'on aurait r. z= r. . Alors l'équation (35) prendrait la forme suivante

(39) y:=-^e-'ffe-^'flx)dœ'.

et l'intégration par parties donnerait

(40) j=z—^xJ'ô-''''f{x)dx'^rxe-'-'f{x)dx\ ,

ou , ce qui revient au même »

Ed restituant au nombre entier n, dans l'équation (lo), une valeur quelconque, on tirera des formules (i 5)

Telle sera la raleor générale do y t êxffimie par uDa* ûitégrala multiple » que )'o(> pourra décomposer en intégrales simples à l'aide de Tintégration par parties.

Dans le cas particulier oU» le4 raeinea r», i'»».«i^n étant é^lea entre elles, ou suppose (T. = 0 , Téquation (lo) peut être présentée sous Tune quelconque des formes

(44) {D-ryy = /(,<»).

et la Taleur générale de y se réduit à

De plus» en intégrant par parties, on tire de la formule (4^)

— *7 \x'-'J»-'''f(x) dx -^^»"-« /««-'•'/(a!)da:4-"±/«""'«"''/(«)<te •

puis on en conclut , en mettant les constantes arbitraires en éridence ,

(47) y — t"' ©«»— + G'a'"~* + -. + G^""*^® + G^"^*+J i.a..(ii-i) ^""-^^'^^ '

Considérons maintenant une équation linéaire aux différences finies et è coefficients constants entre une variable a? et une fonction y de ceHe yariable. Si l'équation donnée est du premier ordre , en pourra la présenter sous l'une des formes

(48) (A-r)y=/(»), - ou (49) Ay — rjr = /(«), el toB ÎBtégnite générak «en

h=:^x désignant la différence finie de x, et w{x) une fonction périodique, mais arbitraire, dont la Taleur nexhange pas quand x reçoit pour accroissement un multiple de A • Au contraire , si Téquation donnée est de Tordre n et de la forme

(5i) tftA-jr+a.à'-'jr+tf.à»— :r + ••• + «— tAy + iinj = /(«?),

alors , en «e serrant des notations précédemment adoptées , on pourra la remplacer par l'une des deux formules

M F(A)jr=/(ar),

Or , pour intégrer la dernière , il suffira de poser successivement

(A — r,)jr,, = jr,, , (^^) - < etc...,

et il est clair que les râleurs de jn.i > J».t # ••• J^« # J# propres à vérifier les équations (54)» s'obtiendront aussi facilement que la valeur de y propre à vérifier la formule (48)«

Il est important d'observer, 1 •* que» la fonction périodique ir {x) pouvant être censée comprise dans l'intégrale indéfinie

l'équation (5o) peut s'écrire plus simplement comme il suit (55) / = (»+r)*"*l(i + r)"V(»),

».* que les valeurs de jr, y^, y, ... , déduites des équations (54) • renfermeront m

( >77 ) général des iatégralea multiples au différraicei finies. Mais on pourra toujours décom* poser ces intégrales multiples en intégrales simples ; et , pour y parvenir» il lufiira d'Intégrer par parties en recourant à la formule

(56) ZttÀo = cio — l{v-^Civ)^u,

que Ton déduit immédiatement de l'équation

et qui remplace, dans le calcul aux diflférences finies, la formule (i6]. Exemple» Soit donnée l'équation aux différences finies

(57) A'J — aàjr-^ys=/(fl;),

(58) (à«-aA+Or = /W.

Gomme on aura

on pourra substituer à l'équation (S7) le système des deux formules

(59) (A-i)«=/(fl^), (A-.i)jr=sj ou t en d'autres termes , le système des deux équations

Aj— y = *.

Or on tirera de ces dernières

• • (61) « = a*"*Za"V(«),

et par aaite

za

• . . . ' Jl

Si maintenant on veut décomposer en intégrales simples 1 intégrale double que renferme la râleur précédente àe y, il suffira de prendre , dans Téquation (56)

( '78 ) Alors , en tBtt , on troaren , pour nne des t«1oqii 4e « ,

et par suite (63)

1 sa /(x)

puis Ton eu conclura

f"*la? "t

Si 9 dans le second membre de l'équation (64) # on met en éyidence les fonctions périodiqucs» et qu'on les désigne par 9^{x) , v»(œ) , cette équation prendra la forme sui' vante

(as) 4" 2*

Revenons à l'équation (di). Si l'on pose n= s, elle deviendra

(66) «o A»y 4- fl, Ay + «»/ = /(«^) f

et son intégrale générale» fournie par la méthode ci-dessus exposée, sera

^=iiri^î^i(^)^<'+-)"'^w!

D'ailleurs, si, dans la formule (56) , on prend on trouvera , pour u no des valeurs de t' ,

et par suite

l+rO"*/W

( »79 ) DoBc U Takfor ds y pofDtta <lre présentée sons la forme

Si ToD met en é?idence les fonctroot périodiques ^ et qu'on les désigne par v,(as) » '.(a;) , réqaatîoD (69) donnera

LtriL{,.(.) + .(. 4.ro^ Vh}+ ^^^

Dana le cas particalîer 06 ToA a r, = t*, , Téquation (67) «e trouve réduite à la forme

et l'on en conclut , en opérant comme dans l'exemple que nojis avons traité plus haut ,

(7«) 7=-^(» + »-)'"*jx2(>+'')"*7(a')-2-^(»+»')~'/(«)). .

Si l'on mettait en évidence les fonctions périodiques , on trouverait

En restituant au nombre entier n, dans l'équation (Si)» une valeur quelconque , on tirera des formules (54)

(74) v = (lîTil! J.i±!'iri)V.lir:iri)Lifi±!l]\ /(-^) ".

^'^' "^ a,(i+r.)(i+r,J...(i+r„) \ i+r« / W + »'— ./ Vi+J'i/ ?

chacun des signes z étant relatif à la fonction comprise entre ce même signe et la virgule placée à la suite du rapport ■■■t^ ■■ ^ . Ainsi , k valeur générale de j^ se

trouvera exprimée par une intégrale multiple. Mais on pourra toujours décomposer cette intégrale multiple en intégrales simples à l'aide de l'équation (56).

Si 4 les racines r. , r, , ..... r» étant égales entre elles, on supposait a^z^i, réquaUon (5 1 ) pourrait être présentée sous Tune ou Tautre des deux formes

.... n nfn-i) „ , nfn-i) .^ n ,

(75) à>--rA'^'+-ij-^rM'--/-...±-i^

et la valeur générale de x *® réduirait h

(i+r)* j (ii-i)(n-a) a? ^fl? ^^ ^^r « . /\^/*

(77) y=0 + '■)'* Sï...2(«+r) V(*).

De plus , en intégrant par parties , oo tirerait de la formula (77)

î(f.)..(î-«.).(...)-vw~-:(î-.)..(iH'(f")(-'-'^"'

..,..(«-01 . ■ ..a l (r •)"• (f -»+*)Kr •) (^«)('+'r^/(*)-«'c

ou , ce qui revient au même .

xfx \ fx \ ^(9 \ [x A »

1 i.a.5..(n-îï) ^ ' J \ 1-^ i.a.5..(ii-i) ^ ^ ' ^^ '

Il est important d'observer que , dans l'équation (78) ou (79)4 chaque intégrale simple renferme une fonction périodique.

Proposons-nous maintenant d*intégrer une équation linéaire aux différences partielles , et à coefficients constants , entre deut variables indépendantes x, y^ et une variable principale z • Supposons d'ailleurs que les dérivées partielles de z » comprises dam le premier membre de l'équation , soient toutes du même ordre. Si cet ordre se réduit k l'unité^» l'équation pourra être présentée sous l'une des formes

(80) {D,-rD,)z = f{x,j). (8.) ^^r^ = f{x,y).

dx dy

i*t son iolégralc générale sera

? désignant une fonclîon arbkraîre y et ap« une valeur particulière de x. Mais, si réqaation poposée est de l'ordre n et de la forme

alors » en se servant des notations précédemmeut adoptées , on pourra la remplacer par Tune des deux formules

Or, pour inté(;rcr la dernière , il toffira de poser successÎTement

e(c««tt» f (0, — TnDj)z z=zr,

et , comme les équations (86) sont toutes semblables h la formule (80) , il est clair que les inconnues r„, , «„«, , ... s. , «. , s .se déduiront les unes des autres , et l'inconnue

z„ . de la fonction "^ ^^'"^ ■ • par des équations semblables à la formule (851). 1." Exemple. Soit donnée réqtt9tion aux diflërences partielles

(87) -^^ — =ux + by,