II.'AHRiE

OU \

(88) (/>,' — /)/)« = «»+*/, a et 6 désignant deux quantités constaqtes. Comme on aura

0/ — D/ = (£).- D,) (O. + D,) , ■ on pourra substituer h l'équation (87) le système des denx formules

(89) {D,^Dj)t, = ax-\-by. (0. + Z),)« = »., ou, en d'autres termes, lo système des deux équations

dz* di, ^ dt dz

Or on tirera de ces dernières

D'ailleurs , si Ton pose on trouvera

et la seconde des formules (91) pourra être réduite à

(9*) ^=-T — I— îr+*(j'+*)+*«(j'— *)•

L'équation (gt), dans laquelle «, «. désignent deux fonptions arbitraires , est effecli- Tement l'intégrale généralo de Téquation (87].

( ifô )

t.* Exemple Soil doimée réqaation aux différences partielles '

da* dxdy T dy^

On pourra lui suBsltloer le sytlème des deux formules

ou, en d'autres termes « le système des deux équations

da dy

dz . dt

dx dy

Or on tirera de ces derDièrea

gfcO-f-x)

puis » en posant » pour abréger ,

on trouvera simplement

L'équation (98) dans laquelle ^ » ^^ désignent deux fonctions arbitraires est effectif ▼ement l'intégrale générale de l'équation (95).

Considérons enfin une équation linéaire aux différences finies partielles , et è coefficients constants , entre deux variables indépendantes x^ y et une variable principale s. Supposons d'ailleurs que les différences finies de z^ comprises dans le premier membre de l'équation, soient toutes du même ordre. Si cette équation est de Tordre n , et de la forme

(99) «.Ax"^+tfi^*"*'A^«+«.A,»-*V«+—+«»-iA»A/""'"«+«*V«==/{<«^»/)i

on pourra , en se serTaot des noUttons précédemment adoptées , la réduire à

(loo) (A,— r.A,)(», — r,A^)... (A, — r„A^)î = ^'-"^^

et lui subslituer le syslëme des formules

^Ax — r,A,)ri,«., = — t

('*") - l etc

La question se trouvera ainsi ramenée h Tintégration de plusieurs équations du premier ordre» et qui seront toutes de la forme

( « oa) (Ax — r A^) r = /(«,r) •

Nous montrerons dans un autre article comment cette intégration peut être effectuée.

A la méthode dont nous venons de faire usage pour intégrer des équations linéaires à coefficients constants, on peut en joindre une seconde .qui s*appuye sur le théorème dont voici renoncé.

Th6ob£Me. Supposons que. les teUres f» F, accompagnées ou dépourvues d* indices, désignent des fonctions entières quelconques, que la fonction entière

(io3) F(«,p,...ô,;,fi,...T)

soit divisible par chacune des suivantes

(io4) ï'i(«>Pv««^y^>f*f-t); F,(«,p,...0,>,fi,w.T), etc.. ,

et que la fraction

soii décomposabU en plusieurs fractions de mêinc espèce, en sorte qu*on ait

F(a,p,...ô,\,p, ..t) ~ F.(a,p,...0,X,fA,...T) "^ F.(a,p,...©,>,tA,...Tl

Svii fTailUurs f {x,;y ,...,. i) une fonction quelamiiuô des varlabla indépendante^ 0?,^» ... I : La valeur de u dcnnée par la formule

c'Ml-À-{iîr6 , Cintégrate générale de Céqualibn linéaire

0tt cffi moins Cune des valeurs de u , propres à vérifier cetu équation, coïncidera toujours avec la somme

{108) tt=

Démonstration» Soient Ug, u, , ... les différents termes qui composent le second membre de Téquation (108). Cette équation donnera

tt = Us -)- fia + etc.... ,

et les fonctions u, «,,.*• vérifieront les formules

(110) ^ F,(Dx,D/,...D/,Ax,V> — ^0"* = M^'»A'^>"«'D'>^'^^'''-'^0/(^>J^>-'0>

De plus , comme chacun des rapports

F(g,p,...0,X,fi,...T)

F,(a,p,...ô,>,fA, ...t) ' Fa(a,p,...ô,^f*,...T)

etc...

sera » par hypothèse , une fonction entière de «# pt ••• d » ^ > p » v , ..^ r> on eonchira des formules (110)

F(I>jr»^/f*I)f9^«>A^»*>> ^1)1(9 =

r,(Dx,D..,...DoAx,A^,...AO *"l^'''^7*--^MA„A^,-.A,)/(a),7....0.

eic« • • •

( f86 ) Enfin » comme, en vertu de Téqualkm (io5) » on aara identiqaemenl

(in) ( . '

on tirera des formules (m) » ajoutées membre à membre»

(i i5) F(2)x, *j5 ... !>/> Ax, Ar, .. Ai)(te, + «, +..) = f (Dx, D^ , .. D/, A^, A,, .. Ar)/(x,jr,.. /).

Or il résulte évidemment de Péquation (i i3) que la somme u. 4* C'a + etc... est une valeur de u propre à vérifier la formule (107).

Le théorème qui précède fournit un nouveau moyen de parvenir très- facilement aux intégrales générales des formules (10] \ (5i} et (83). Considérons d^abord la formule (10) ou (i3) , de laquelle on tire

Si les. racines n » r, , ... r» de Téquation (is) sont inégales « on aura

F(r) ~ F'(rO r-r^ ^ F'(r,) t-t^ ' \ F'(r„) t^t^ '

et Ton conclura du théorème dont il s*agit qu*on peut encore satisfaire è 4a formule (10) «a prenant

t"«») y- F,(^^) ^„^ + j.,(^,j TITT ^ ••' ^ "Fôg !>-'- •

De plus » comme la notation ^

sert à représenter riniégraie générale de Téquatton

e^est-b-dire, uo produit de la form^

C^' r C'-' f{x) dx ,

il est clair que la foroiule (116) pourra s'écrire commo il siuit

;i— «''''Je '''f^^\!^^'^J^^^*'S^ ''*"/(a;)dx + ...+e'^" Je '^'f{x)dx.

On doit observer que, dans le secoad membre de Téquatiou (119) « chaque intégrale» étant indéfinie , comprend une constante arbitraire. Donc la valeur de y » fournie par cette équation» renfermera n constantes arbitraires» et représentera» aussi bien que l'équation (;ii4)« l'intégrale générale de la formule (10).

Si plusieurs des racines r. » r^t^'^rn devenaient égales eotr^elles» si Ton arait , par exemple ».

(lao)

rt = r, = • .. r= r^ := p ,

alors il faudrait» dans le second membre de la formule (ii5) » substituer à ta somme des m premiers termes le résidu de la fonction

relatif k la valeur f de la yariable *, ou , ce qui revient aa même « le coefficienl de — dans le développement du rapport

(lîi«)

en une série ordonnée suirant des puissances ascendantes de 1. Gomme on aurait d'ailleurs '

nv — c

TT^-TT-^-Tw^""^ (1-p)— +'f;f"^***

et par suite» en faisant pour abrégea =sg »

1 — £ ' 1 u JE. ' , E I

il est clair qac le coefficient de — , dans le déTeloppcment du rapport (las) , serait ce quo devient le polynôme

i.a.5...(m-i) rf««-» r^^ ^ \ dt (r-p)'"-* "^ (»'-p)'" '

quand on pose, après les différenciations t = o. Il en résulte qu'on dsTrait, dans rhypolhèse admise, modifier le second membre do la formule (ii6) , en y remplaçant In somme des m premiers termes par l'expression

r,o/A i d-^--E f{m) X dE 1 i

ou plutôt par la suivante

dans laquelle

désignent les valeurs des coefficients

'^ F(p+0 • dit

i.a é/i» "" i.a.3...(m-i) rfe"'-' "

correspondante» à une voleur nulle de •. De plus , comme la notation

«erl àreprésentet l'intégrale générale de l'équation

c'e«t-îi-dirc, le produit •

(lag) e"ff...fe-"/(x)dx%

on peut évidemment à Texpression (isS) substituer la suivante

(i3o) t^''[B^^.ft'^''f{x)da^^B„..l^^

Les diverses formules que l'on vleat d'obteair s*accordent ovec celles que nous avons établies dans les Leçons données à FËcole Royale Polytechnique » ainsi qu'arec la formule (i4) de la page 8o4 du i.** Tolume des Exercices.

Considérons maintenant Téquation (5 1 ) do laquelle on tire

11 suit du théorème précédemment démontré que, si les racines r, , r^^ ...r^, sont inégales , on vérifiera encore Téquatiou (5i) , en prenant

ou , ce qui revient au même , •

Il est bon d'observer que» dans le second membre de Téquation (i33) , chaque intégrale> étant indéfinie » comprend une fonction périodique. Donc la valeur de y fournie par cette équation » renfermera n fonctions périodiques , et représentera , aussi bien que la formule (i3i) « l'intégrale générale de l'équation proposée.

Si les racines r, » r, , ••• r» devenaient égales» p désignant la valeur de chacune d'elles t il faudrait , dans l'éqaatioB (i3s) ou (i33) , substituer à la somme des m premiers termes l'une des deux expressions

r.VI B -^^'^ MB JM-M I n /(^) I B -^^'^

(i35) (i+p)^" lil«-,î(i+p)"V(*)+il— .ïï(«+p) */(*)+"+*«2ï"2(>+P) '/{*)

Considérons enfin l'équation (83). Si l'on pose dans cette équation

(i56) /(a5,j) = I>,— f(aj,j^),

ou , ce qui revient au même, si l'on fait,

C *9o ) elle donnera

^"'^^ '-^ Dr"F(^) ^^""'^"^ "^ «o{^.-r.D>)(l).-r,Z),)...(l>,-r„Z),) ^^^'^^ '

et comme y ûd supposant d'abord les racbcs r. , r.,... r,^ inégales ^ on aura identiquement

Dr"-'

a^{D^ - r, D , ) (Dx - r. D ,) . . . (Z>x - r„ D^) ~

on tirera de Ti^quation (i«^8) et du théorème précédemment démontré

(,39) 8=:—! [Ml,± n^,y) 4....+—! l(î!Z>.

De plus ^ comme la nolation

sert è représenter l'inlégrale générale de l'équation

c'est-à-dire ,. un produit de la forme

(141) / f[9,jr + r{x'—ê)]ds'^ff{j+rx),

la lettre 7 désignant une fonction arbitraire ; il est clair que la formule ( 1 «^9) pourra s'écrire ainsi qu'il suit

{«4«) * = r^\fj[s,y + r,{x

TTTjjy*^ f [*,J^ 4- '•-(oî — *)]d« + (p«^^

Cette dernière valeur de t » renfermant n fonctions arbitraires , représentera , aussi bien que la formule ( 1 38) » Tintégrale générale de l'équation proposée.

Il est important d'observer que , dans l'équation (i4>) » on peut attribuer à la fonction

^ .( i9> ) {{Xpy) Tune quelconque des valeurs propres à yérifier la foramle (i36) ou (iSj), et supposer » par exemple »

(.45) H..jr) =fX->^fA^,or) ér-' =/' T^^ /(-.O rf^.

Dans ie cas particulier ob la* fonction f{o^py) s'évanouit, réqualion (i43) donne pareillement f{x,y) = o , et la valeur de z se réduit à

( » 44) « = ?» (:r + '•t «) + î>(r + ''a «) + • •• + ?«( J +rnx).

^Si les racines r^, r. , ... r» devenaient égales » p désignant la valeur de chacune d'elles, il faudrait, dans le premier membre de Téquation J^iSg) , substituer à la somme des m premiers termes le polynôme

^'^'^ ^-'T::r^^"-- {D.^pDry ^--^^^ (Dx-pd.)- '

Or il est facile de calculer ce polynôme , quand on regarde comme connues les expressions de la forme

(«46) J^'tK •

D'ailleurs Texpression (i46) n'est aalre chose que l'inlégrale géoérale de l'équation

(>47) {D.-r-rD^yz^fix.y),

et cette intégrale, que fournit la première des deux méthodes ci-dessus indiquées, peut i*écrire ainsi qu'il suit

+ a?"-»f ,(jr 4- rx) +«"-»?.(/ + rai) + ... + «?n-i(y -|-ra?) + ff„{jr -J- rx) .

Donc le polynôme , qui doit être substitué à la somme des m premiers .termes , dans le second membre de l'équation (i^g) , lorsque la condition (lao) se trouve remplie , c'està-dire, le polynôme (i45) » ^^^ équivalent à l'expression

I ^ % •/ »^ » ay

La formule (83) n'est pas la seule équation linéaire aux diffiérences partielles qui s'in-

( «90 lègre à l'aide des mélliodcs exposées dans ce paragraplie; et 1*00 pourrait appliquer ces uiélliodes à Tintégration de beaucoup d'autres équations du même genre. Considérons , par exemple » réquartion aux différences partielles

(•50) «^i;4--*«-*'-^MF+*V""*r^'^*^"*"'=^-^^'^^'

Cojnme on aura identiquement

il est clair que , pour obtenir l'inlégrale générale de Téquation (i5o) , il sdfira d'intégrer successivement les quatre équations du premier ordre

{aDs + bDj^i)zi = f{x,y),

{aDj, + bDj— i) z, = Sa ,

ou , ce qui revient au même , les quatre équations

dx dy

dZx dz,

dx dy

dz , dz

dx dy

Or l'intégration d'uiie équation du premier ordre peut toujours être effectuée par le« méthodes connues , sans aucune difficulté.

Je montrerai , dans un autre article » les avantages que présente l'emploi des notatîoni

?(«)/(») , ?(ajp>7--)/(«>y»*»'*0?

quand on se propose d'intégrer des équations linéaires aux différences finies ou infioiment petites , mêlées ou non mêlées , et h coefficients constants.

ADDraON A L'ARTICLE PRÉCÉDENT

On a TU, daQ8 Tarticle précédent qu'il était facile d'intégrer les formules (lo) , (5i) , (83) et (gg) du § 4 « quand on e^raiiisêaSt les intégrale^ générales des quatre équations du premier ordre

oa (D — r) jr = /(») ,

A j — rjr = /(«) , ou (A — r)y == f{x) , — — r — = /(a5,jr)/ ou (A, — rA,)« = /(x,7), Ax« — r A,« = /(«, j) , ou (A, — r A,) « = f{x,y).

Nous allons montrer ici le parti qu'ion peut titef des caraeléristiques Z) et a pour int^er ces qjuatre équations , dont les trois premières ont été sourent traitées par les géomètres.

Considérons d*abord Téquation (i)« Si Ton y suppose f{x) = o , elle donnera

et par suite

-^ ^=:rdx , l{j) = r» + const.,

y = ec^\

Q désignant une constante arbitraire. >Mais, si la fonction J'(fc) - cesse d*étre nulle »

alors , pour 4{ue la fonnule (5) continue 4e Xo«mir rintégrale ehercbée, il ûniéra nécessairement 7 remplacer la coiManta Q par une fonctioa 9 de k rariable m . Po«

sons , en conséquence , dans le cas dont il s'agit »

En substiluant la valeur précédeote de j dans l'équation (i)^ et ayant égard à la pre- I mière des formules (lej d^a la page 162 , on trouvera

IL* ANuftE. a6

( «94 ) et par suite

Donc la valeur cherchée -de y sera celle que présente la formule (8) de la page 1 70 , savoir

II est bon d'observer qu'on peut intégrer de la même manière l'équation linéaire

(9) (l>-rry = /(a:).

En effet , si Ton substitue dans cette équation la valeur de y tirée de la formule (6) , el si Ton a toujours égard à la première des formules (is) de la page 16a , on trouvera

et par suite

(n) y^ê"-' Çf...Ce-''*f{x)dx^ .

On pourrait encore parvenir aux équations (8) et (1 1) à Taidedes remarques suivante»^

Si, dans la formule déjà citée de la page 16s , on remplace la fonction /(2c) par le produit^ «"""'/C®)» ®û en conclura

(la) F(D)[/(a;)]=s-F(D+r)[.— /(^)] .

De plus, il est aisé de s'assurer que l'équation (la) subsiste dans le cas oii la fonction F(D) cesse d'être entière , et devient fractionnaire. En partant de ce principe , on tirera immédiatement de la formule (1) , amsi que l'a observé M» Brisson,

et de la formule (9)

( «95 ) Cooiidéroiis maioteDani réqaation (s). Si Ton y suppose d'abord f{x) = o , on en tirera» en désignant par A la différence finie de x, et par ${x) la ralenr gêné-

raie de y^

OU , ce qui revient au même ,

${x + A) = (i + r) /(«) , et par suite

pnis , en combinant ce> dernières fomuiles par vole de moldpUcatioa , on troavera j (i5) ^(» + nA) = (i+r)-^(«).

Si, daos-l'éqnaUon .(i5), on attribue à x une ?a)eQr particoUère «r. > die donnera (»6) . /(«.+ «A) ==(»+»•)•/(•.)•

Enfin , si Ton pose dans l'équation (16) a?o = 0 , n A = « , on en conclura

Par conséquent /lorsque a: sera un multiple de A , la valeur de y propre à vérifier Téquation

(18) Ay — rjrsso

sera de la forme

Q désignant la valeur constante de y qui correspond à se = o.

Concevons à présent que la variable œ, et la fonction f{x) comprise dans le second membre de Téqualion (a) , reprennent des valeurs quelconques. Alors , pour que la formule ( 1 g) fournisse encore Fîntégrale de cette équation , il faudra que la constante C soit remplacée par une fonction ' z de la vaHable x • Posons en conséquence

C »96 ) £a «ubsUtoantUva^. précédente d^ j dao4 relation <«), on trouTer»

(a.) (A-ra[(l4-'-)*«]=/(«).

D'ailleurs , si Ton écrit à — r au lieu de F(A) , et ' . ^ an lieu de r , dans

la seconde des formales (is) de la page iGa^» on en .tirera

M (4-r)[{l+r)iJ=s(i+r)?"*"*À«.

DoncJ'éqaalioD («l>.doi»w«t ,

et par suite

la valeur de l'intégrale aux différeacQt finiea compMivtBt une fonction périodique. Donc la valeur de y, * propre à f érifier Téquation {%), sera celle que présente la formule (55) de la page 1 76 , savoir

Il est bon d'observer qu'on pounrait inté^r de la même manière, l'équation linéaire (a5) (A -r)V = /(»).

En effet , si Ton substitue dans cette équation la valeur de y tirée de la formule (se), et si Ton a toujours égard à la seconde des formules (la) de la page 162 , on trouvera

(A-r)''[(i + r)ïJ=(i+r)ï + V.»/(«),

(a6) « = (i+r)''"ïî...ï(i+r)"* »/(•)»

(a?) y«(»+'-)* "SÏM-ïCi+r) */(*)

On pourrait encore parvenir aux équations (a4) et (27) à Taide des remarques suivantes.

Si, dans la formule déjà citée de la page 16s , on remplace r par ^* ^' , et là

fonction /(a;) par le^roduit (i+r) ^/{aà), on en conclura

De plus , il est aisé de s'assurer que Téquailon (t8) subsbte dans le cas où la fonction F(A) cesse d'être entière « et devient fractionnaire. En partant de ce principe , on tirera immédiatement dé^ la formule (a)

(,9) j.=2^^(,+r)^ ^"(,Ïy"^ =(.+r)^'.(.+r)-V(«), et de la formule (aS)

Passona mainteiunit à i'éqnalion (3) , et toit

une quelconque des valeurf de t propres k vérifier celle équatian* Si l'on conçoit que la variable j devienne elle-mfime fonction de la variable ta , et si l'on désigne par ç la valeur que prend alors la variable s; on aura , en considérant y comme une

fonction de x , et faisant '■— ^^y'.

et pAr suite

Ç = /(fl'»7)==«»

rfç ^* i / ^^

dm^^ dw ^ dy

D'ailleurs» pour faire coïncider le second membre de la formule (35) avec le premier membre de Téquation (3) , ni suffira de supposer

ou , ce qui Mvient au même p

Q désignant une constante arbitraire. Alors la formule (35) se trouvera réduite k

rfÇ di dz

^ ' dof d9 dj *

et pourra s'écrire comme il suit

Ajoutons que» dans la même hypothèse, on tirera de l'équation (5)

(58) (Dx — rjD,)» = /(x,.G — f»)- On aura donc définitivement

(Sg) Z),ç = /(»,e — ^«)-

Or rintégrale générale de cette dernière équation est

(4o) ç = J'/(a5, G — rx) dx = J" V(i» G — *•*) ds + G. .

Xo désignant une valeur particulière de ce» et Gi une nouvelle constante arbitraire qui pourra dépendre de la première d'une manière quelconque* Donc , si Ton représente par f (G) une fonction arbitraire de G > la valeur la plus générale de ç, exprimée en fonction de x et de Q» sera de. la forme

(4i) C=/V(^G — ")rf' + ?(G)-

Il importe d'observer qu'on ne diminuera pas la généralité de cette valeur de ç » eo réduisant à zéro la premiers limite de l'intégration relative à «, c'est -à -dire la quantité x^»

En résumé » toute valeur de z , propre à vérifier l'équation (5) , prendra la forme

(4«) ^ z=J f{x,Q — rx)dx,

ou la forme équivalente

(45) * = /V(».G — «)rf* + ?(G). »

( '99 ) quand on supposera m et y Uét entre eux par l'iqoaUon (S&] , ou ce qui revient au mime, parla sDiraole

(44) ^ e=^y+rx.

Donc alors cette valeur de s ne différera pas de celle que foumit une équation de la forme

{45} t^f*/{9.jr + rx — r$)dt + ^[jr + rx).

Cette concluiioD devant subsuter, queUes que soient le* valeurs de x el de Q, par conséquent, quelle* que soient les valeurs de te et de y, l'équation (45) sera évidemment l'intégrale générale de l'équation (5).

Si, dans les calculs qui précèdent, on échangeait l'une contre l'autre tes variables x et y, on reconnaîtrait , i.* que, dans le cas ob ces variables sont liées entre elles par l'équation (44) > l'une quelconque des valeur* de z tirées de l'équation (3) se présente souB la forme

«6) ,^-±f/[-^,fjd:r.

on loui la forme équivalente

a.* que l'intégrale générale de l'équation (S) peut s'écrire comme il (uit

(48) , = --iJ^y(«' + f-7)rf' + T(j' + ''«).

Ajoutons qu'ordinairement la fonction r changera de valeur dan* le passage de l'équaUon (4^} ^ l'équation (4S).

La méthode que nous avons employée ponr int^rer l'équation (3) s'appliquerait encore très^cilement h l'intégration de l'équation linéaire

(49) {I>.-rJO,)-z~f(x,y).

■ Admettons en effet que l'inconDue t doive vérifier l'équation (49). Si l'on nomma toujours C la fonction de x k laquelle s se réduit, quand les variables x d y ■ont liées entre elle* par la formule (44) t on IroaTeray comme ci-dessus , en supposant

Gela posé , concevons que , dans les polynonoies

rf4P» rfa?rfj ^ dy* / ^'

rfiç5 dw^dy ^^ dxdy* dy^ ^ ^' '

qui représentent généralement des fonctions de x et de j^ on continue de regarder y comme équivalent à Q «^ ra;. On tirera évidemment de Téquation (37), dififérenciée n — - 1 fois par rapport à x ,

(5o) Dj'^^{,D> — rD,Y^,

puis Foa conclara de cette dernière , combinée avec l'équation (49) •

Or l'intégrale générale deTéqHAtioa (Si) aerft

(5«) K^ff...ff{x,Q — rx)dx',

ou « ce qui revient au même ,

-'Jf{x,0-r»)dx-^^x'''''rxf{x,B-rx)dx+..±Jx'~'/{œ,C-rx)dx

et , si Ton met en évidence les constantes arbitraires introduites par rintégration , elle prendra la forme

Ce» constantes pouvant d^aîlleurs cire des fondions quelconcjues de G . la valeur précédente de ç pourra s'écrire comme il ^\\\i

En résumé, toute valeur de s , propre h vérifier l'cqualion (49) » prendra la forme

ou la forme équivalente

rjf'i '. ; . f

/^ ne '

^"-'?.<C)+a!"-«t,(G)+.,+a?„-.CS)+?,(£)+ / ■^''^Z'^t^J,"^ ^^.

quand on supposera x et ^ liés entre eux par l'équation (44)* Donc alors cette valeur de z ne différera pas de celle qne fournit J'équation

>^ ce ' i '

Cette conclasion deviont isubsister f uf Iles qiJ§ saienUes val^i^s de x .et de G 9 par conséquent » quelles que soient les valeurs de x et de j » l'équation (58) sera évidemment l'intégrale générale de Téquation (49)*

Considérons enfin Ti^uation (4). Si Ton désigne par» ^Ate=î:*A, Ajr = A:, tes différences finies des variables indépendantes a; , y , et par ^{x^y) la valeur générale

de la variable principale z , cette équation pourra s écrire comme il suit (59) ^{as + k,y)-^r^{x.y + k)'-{i-'r)g{x,y)=f{x,jr), .

et r^ en conclura succQssivememt , .