II.* Avviz
g{x + ^h,y) = r <r(œ + A.jr + A) + ( , - r) 0{x + k,y) ^ f{x -f A.j-) ^ . ' '>frf{x.y^k)>\.{i-^r)f{x,y)
Soit maintenant n un nombre entf^r quelconque. Pour obtenir la valeur générale de ^\x 4- nh^j) exprimée à Taide des quanlitéa
on commencera par observer qu'on a identiquement
De plus y le rapport
I ' ■ I' s:= "I iiii ■■Ml) ' ■ j' Il
étant une fonction entière de a^ et A , • on tirera de réqualton (4)
(6a) [(, + A,)--(, + rA^)-],=
et par suite
(63) /(^.4* nJh.y\r^ (1^ A^)>T=,;(i -h r A^^ <r(p* Jf> .
+[(>+A,)»— +(i+M"~*(«+''4/)+" +(«+A,) (i4-rA,)«-»+(i-frA.r)— ]/(*,/).
(«4) ê{x-^nh,y)^{i+r^,Yg{0i,y)
+/[4;+(n-i)A,;r]+(i+rA,)/[«+Cft-»)A,y]+M+(i+rA,)"-»/(«+A,/)+(» + '^*/)*"'/(^y)'
Cooioie d^ailleurs on aura évidemméot^.poar ùÀo tàfelif entière de ' ty^/ et^bur une
valeur quelconque dé '/(a?,j) .
(1 +rA^)-/(aJ,7) = [ir(i +A^) + I — r]-/(«.jr)]
il est clair que la formule (64) donoera
g{pii + hh,y)s=
f'0{»jy-t-nle) + — r'-'^i -r)g[x,y+(n-ï)k]+ + {i'r)''g(^,y)
+r'-'fix,y+{n.\)k-]+ r»-»(i-r)/[a!,j+(»-«)A] + + (• -»-)"-'/(a.y)
*î* exv« • • 9 +r/[(8+(«-ï)A,y+A]+(i-r)/[a!+(n-a)A,j'] +/[a>+(n-i)A,jr].
Cela posé , si Ton désigne par a?» nne yalenr particuliëre de la variable x , et par
la valeur correspondante de ^{x,y) , on trouvera
(67) • ^(aftH-nA;7)»i= i'. "■"T(y+n*)+~-r»— (i-r)f[y+(ii-ifA]* + (l-r)*T(y)
+r"--*/£iïoyy+in-i)4^]+— -'^-•(i^r)/[«o,7+(n^a)*]+....-.'«-(ï-^')''-V(*o,y^
■»-r->/t«o+A,j+(ii-a)A]+^r->(i-r)/[«,+A,yt(«-3)*]+.. + (l-r)«-»/(«.+A,r)'
Cette derrière éqaatipa coïncide av^cl), formule
que Ton déduit do l'équakiou (64) eo posant a; =± a;« .
La formule (67) ou (68) suffit pour déterminer la valeur de l'inconnue z = 0{x,j)
correspondante h sb = iCo -^^nh , quand on considère comme donnée la valeur ?(^)
de s 9 correspondante à sd = Xo •
Dans le cas particulier où Ton a f{x,j) =0 » la formule (4) se réduit à (69) ^xt = ràJi,
et l'on tire de Féquation (68) , en posant Xo = o«a; = na,
(70) «=^(«>j')=(«4"'-Aj^)*tO')-'.
Si l'on transforme la valeur précédente de 2 , è l'aide des notations et des principes ci-dessus établis [pages 162 et suiv.] » on trouvera
la lettre caractéristique p élftfil, /relative à la variable y. . En d'auiijçi; ternies on aora
^ " OÙ%/ -CD . 1 M '«• . iS
Or il est facile de s'assurer que la valeur de z,4 : donnée par la formule (71) ou (79) , vérifie l'équation (69) , non-seulem«nt> quelle que soit la fonction arbitraire <f {j) , dans le cas où la variable x devient un multiple.de Av mais açssi quelle que soit lavaleur attribuée if cette dernière variable. On peut même, pour plus de généralité» substituer à tf{j) une)foncLion ^(as^) > des deux variables Xp ^^ . qui ^ étani périodique relativement à la variable x, et propre è vérifier la conaition
renfermerait d'une manière queletiri|Me-ié-HrAriètble- 1 y. A-tAdo^ wi iieu de la formule (71) , on obtient la suivante . .\ ', ....
( aoô )
Ajoutons que les valeurs de z, déterminées par Ie$ formules (72) et (74)9 peuvent Tune et Tnatre se déduire de la valeur plus générale
dans laquelle le signe S indique une somme composée de termes finis ou infinimentpelits, semblables au produit
P[i + r{p^i)rp',
la lettre p une quantité réelle ou une expression imaginaire qui varie d'un terme à l'autre , et la lettre P une fonction des trois variables p» x, y, qui soit périodique relativement aux deux dernières, c'est-à-dire, propre à vérifier les deux conditions
ArP=0.
La valeur de z , donnée par la formule (75) » vérifie évidemment Téquation (69) , et il est naturel de penser qu'elle offre Hnlégrale générale de celle même équation. Mais il serait peut être difficile de le démontrer rigoureusement.
Revenons à la formule (68)* Si l'on y pose y (j) = o , Xo = o ei nh = x , elle donnera
ou , ce qui revient du même ,
■ lit
=/[(»- 0A.^]+[»+»-(«*^*'"'- ')]/[(«-») ^7]+.'+['+''(«'-0]''"'/(o»JP)
/• ' h* r AP%/rr n-i , \
P(y-fA)/" dpdit
air
D'ailleurs, sU'o^i désjgne par.b notatîoA lf{x) l'intégrale aux différences finies de
f{x) , prise à partir de œ = 0 , oi) trouvera
( ao6')
. (80) /[(«-iJA,p]-(-t>+'-(«** ''■'->)]/[("-«)*»ftl+-+[»+'-(«* "-03'*"/(o,m)
= t,+.(.'P>'^„l-|/(o.rt + — ^e-l
/[(n-OA,ri
En conséquence » In formule (79) pourra être réduite à
, = [,4-r(e*^^'-i)3' '•[,+r(e*^^'-.)] '/(«JT)
pCjrrrt/
1 O P air v' .*/, -
Or il est facile de s'assurer que là valeur précédente de z vérifie Téquation. (4) > nonseulement dans le cas oii la variable x est un multiple de h , mais encore » quel que soit x . Si Ton désigne par a cette même valeur de :; , - et par u + ^ l*în* tégrale générale de réquation*(4) » on aura tout à la fois
•et par suite
Ax (tt 4- r) - r A.y (« + tO = /(^,7)- ,
AarP — rA*t? :k0.
Donc , pour obtenir l'intégrale générale de l'équation (4) * il êuflm d'a^oaier au second membre de la formule (81) la valeur la plus générale de t; propre à vérifier la fonnole (83) , c'est-à-dire, Tîntégraie générale de l'équation (69).
11 est bon d'observer que , si à la valeur de z^ fournie par l'équation (81) , on ajoute le second membre de la formule (74) » la somme sera une nouvelle valeur de z; propre à vérifier l'équation (4) # et pourra s'écrire comtne jl soit
l'intégrale indiquée par le signe 2 étant indéfinie, et •'(a?,/) étatat une Ibnction
arbitraire^ distincte do celle que comprend la formule (74) » mais toujours assujeilie M la condition (yS). Ajoutons que la fonction arbitraire et périodique ^{x^jr) peut être censée comprise dans l'intégrale indéfinie, ce qui permet de réduire Téquatton (84) à la forme
(gS) » = [i+r(/^^'-i)]*""ï[i+«'(e*^'^'-03"V(«J)-
Dans le cas partîcalier où l'on a
on peut satisfaire à Téquation (4) par une valeur de z de la forme
pourra que Ton suppose
on 9 ce qni reviebt au même
Axy(*)— r(«»*— i).f(«) = P(a?),
Par CQiiié<i«ej|t <ib Tértfie Inéquation
(86) A,s — rA^s = «*yF(«)
en prenant '
«r=e*J^[i + r(«**— i)]* 2[i+r(«**— 0] *F(aî).
Or cette deaâtee valw de z eat effiMDiivMMAl Tune de oeUea ^e Vou déduit de l'équation (85) en y posant
Afin de montrer une application des principes que nous Tenons d'établir , concevons qtfttf^flghto'd»»»#f€r l'intégra to de Péquatîon
Ax» — rA,« = #«*■♦• *r
pour une valeur de x nmlliple de A ^ et en supposani auUe la valeur de z qui correspond à x = o. Dans ce cas « on tirera de Téquation (81)
( sp6 )
et comme on a d'ailleurs
on trouvera définitÏTement
Ay
II est, au reste y facile de s'assurer', i.® qu6 la ?alcur précédente de z vérifie Téquation (88) , lors luéme que x cesse d'être un multiple de h , a.^ qu'elle s'évanouit ayec x.
II est important de remarquer qu'en vertu des pruiclpes établis è la page 2 du premier volume , les notations <
(i + r)S (i+r) S . [,+r(«^*^i)]V • etc....
et autres semblables , comprises dans les formules de cet article et de l'article précédent , doivent être abandonnées, lorsque* la variable x cessant d'être un multiple de h , les quantités
(gS) i+^t i+r(«**— i), etc., ,
deviennent négatives. Mais , pour étendre aux cas de cette espèce les formules que nous avons obtenues y il suffira d'y remplhder les expressions (92) par les produits
{—i^rye'"^'^'\ (—1-0 ''è /*^"', [— i-.r(6*^—i)]*4i''*t'"
1' .xi
toutes les fois que les quantités 1 + V% 1 -f* ** (^^^ -!^ 1^) » «te. • ^> deviendront. in£irieuk^ à zéro» Ainsi , par exemple , sr dans l'équation (2) on prend r = -— 2 , comme on en conclura* -,..--. ^
on devra , dans la formule (24) qui représente l'intégrale de cette équation , substituer aux exponentielles - .
les deux expressionjS imaginaires
Donc rinlégrale générale de l'équation
(95) Ay + ij'=/e»)
sera
Si Ton sappoae 00 particulier /(«)=«", réquation (96) te trouvera réduite k
et son intégrale générale deviendra
ir»
DoDC , si ToD tkii pour abréger
(99) OQ aora
>ax
(100) J^=-7rï7r+*^®^'
Dans réqaation (loo), la fonctioii 4»(x)» déterminée par la formule (99)» est une fonction périodique quelconque assujettie k changer de signe j en conserrant, au signe près , la mfime Yaleur , quand on fait croître la variable x de Li quantité &• Il est facile de s'assurer que , sous cette condition » la faleur précédente de j , vérifie effectivement Téquation (97).
IL*AHlliB« aS
